水平方向上的碰撞及弹簧模型

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1、水平方向上的碰撞弹簧模型模型概述在应用动量守恒、机械能守恒、功能关系和能量转化等规律考查学生的综合应用能力时，常有一类模型，就是有弹簧参与，因弹力做功的过程中弹力是个变力，并与动量、能量联系，所以分析解决这类问题时，要细致分析弹簧的动态过程，利用动能定理和功能关系等知识解题。模型讲解一、光滑水平面上的碰撞问题例 1. 在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球 A、B，质量都为 m，现 B 球静止，A 球向 B 球运动，发生正碰。已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为 EP，则碰前 A 球的速度等于（ ）A. B. C. D. 解析：设碰前 A 球的速度为 v0，两球压缩最紧时的速度

2、为 v，根据动量守恒定律得出 ，由能量守恒定律 得 ，联立解得 ，所以正确选项为 C。二、光滑水平面上有阻挡板参与的碰撞问题例 2. 在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应” 。这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似，两个小球 A 和 B 用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板 P，右边有一小球 C 沿轨道以速度 v0 射向 B 球，如图 1 所示，C 与 B 发生碰撞并立即结成一个整体 D，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A 球与挡板 P 发生碰撞，碰后 A、D 都静止

3、不动，A 与 P 接触而不粘连，过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失） ，已知 A、B、C 三球的质量均为 m。图 1（1）求弹簧长度刚被锁定后 A 球的速度。（2）求在 A 球离开挡板 P 之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。解析：（1）设 C 球与 B 球粘结成 D 时，D 的速度为 v1，由动量守恒得 当弹簧压至最短时，D 与A 的速度相等，设此速度为 v2，由动量守恒得 ，由以上两式求得 A 的速度 。 （2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为 EP，由能量守恒，有 撞击 P 后，A 与D 的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转弯成 D

4、 的动能，设 D 的速度为 v3，则有以后弹簧伸长，A 球离开挡板 P，并获得速度，当 A、D 的速度相等时，弹簧伸至最长，设此时的速度为 v4，由动量守恒得 当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为 EP”，由能量守恒，有 解以上各式得。说明：对弹簧模型来说“系统具有共同速度之时，恰为系统弹性势能最多”。三、粗糙水平面上有阻挡板参与的碰撞问题例 3. 图 2 中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块 B 相连，B 静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态。另一质量与B 相同滑块 A，从导轨上的 P 点以某一初速度向 B 滑行，当 A 滑过距离 l1 时，与 B 相碰，碰撞时间极短，碰后A、B 紧贴在一

5、起运动，但互不粘连。已知最后 A 恰好返回出发点 P 并停止，滑块 A 和 B 与导轨的滑动摩擦因数都为 ，运动过程中弹簧最大形变量为 l2，重力加速度为 g，求 A 从 P 出发时的初速度 v0。图 2解析：令 A、B 质量皆为 m， A 刚接触 B 时速度为 v1（碰前）由功能关系，有A、B 碰撞过程中动量守恒，令碰后 A、B 共同运动的速度为 v2有 碰后 A、B 先一起向左运动，接着 A、B 一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设 A、B 的共同速度为 v3，在这一过程中，弹簧势能始末状态都为零，利用功能关系，有此后 A、B 开始分离，A 单独向右滑到 P 点停下，由功能关系有由以上各式，

6、解得 四、结论开放性问题 例 4. 用轻弹簧相连的质量均为 2kg 的 A、B 两物块都以 的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原 长，质量为 4kg 的物体 C 静止在前方，如图 3 所示，B 与 C 碰撞后二者粘在一起运动。求：在以后的运动中，图 3（1）当弹簧的弹性势能最大时物体 A 的速度多大？（2）弹性势能的最大值是多大？（3）A 的速度有可能向左吗？为什么？解析：（1）当 A、B、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由于 A、B、C 三者组成的系统动量守恒，有解得： （2）B、C 碰撞时 B、C 组成的系统动量守恒，设碰后瞬间 B、C 两者速度为 ，则设物块 A 速度为 vA

7、 时弹簧的弹性势能最大为 EP，根据能量守恒（3）由系统动量守恒得设 A 的速度方向向左， ，则 则作用后 A、B、C 动能之和实际上系统的机械能根据能量守恒定律， 是不可能的。故 A 不可能向左运动。 模型要点系统动量守恒 ，如果弹簧被作为系统内的一个物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影响系统的机 械能。能量守恒 ，动能与势能相互转化。 弹簧两端均有物体：弹簧伸长到最长或压缩到最短时，相关联物体的速度一定相等，弹簧具有最大的弹性势能。当弹簧恢复原长时，相互关联物体的速度相差最大，弹簧对关联物体的作用力为零。若物体再受阻力时，弹力与阻力相等时，物体速度最大。弹性碰撞模型及应用(一) 弹

8、性碰撞模型弹性碰撞是碰撞过程无机械能损失的碰撞，遵循的规律是动量守恒和系统机械能守恒。确切的说是碰撞前后动量守恒，动能不变。在题目中常见的弹性球、光滑的钢球及分子、原子等微观粒子的碰撞都是弹性碰撞。已知 A、 B 两个钢性小球质量分别是 m1、 m2，小球 B 静止在光滑水平面上， A 以初速度 v0 与小球 B 发生弹性碰撞，求碰撞后小球 A 的速度 v1，物体 B 的速度 v2 大小和方向解析：取小球 A 初速度 v0的方向为正方向，因发生的是弹性碰撞，碰撞前后动量守恒、动能不变有： m1v0= m1v1+ m2v2 22由两式得： ， 210)(vv2102mv结论：（1）当 m1=m2

9、时， v1=0， v2=v0，显然碰撞后 A 静止， B 以 A 的初速度运动，两球速度交换，并且 A 的动能完全传递给 B，因此 m1=m2也是动能传递最大的条件；（2）当 m1 m2时， v10，即 A、 B 同方向运动，因 ，所以速度大小 v1 v2， 即两球不会21)(m21发生第二次碰撞；若 m1m2时， v1= v0， v2=2v0 即当质量很大的物体 A 碰撞质量很小的物体 B 时，物体 A 的速度几乎不变，物体 B以 2 倍于物体 A 的速度向前运动。（3）当 m1 m2时，则 v10，即物体 A 反向运动。当 m1mB 经时间 T 发生下次碰撞且发生在平衡位置C如果 mAmB

10、 经时间 T/2 发生下次碰撞且发生在平衡位置右侧D如果 mAmB 经时间 T/2 发生下次碰撞且发生在平衡位置左侧m2v2m1v1Bm1v0BA图 1A解析 当 mA=mB 时，A 、 B 球在平衡位置发生弹性碰撞，速度互换， A 球静止，由于 B 摆长是 A 摆长的 4 倍,由单摆周期公式 可知,A 周期是 T， B 的周期是 2T， 当 B 球反向摆回到平衡位置经时间为 T，再次发生碰撞。gLT2故 A 选项正确。当 mA mB 时，发生第一次碰撞后两球同向右摆动，但 A 球的速度小于 B 球的速度，并有 A 的周期是 B 周期的一半，T/2 时 B 到达右侧最大位移处,此时 A 向左回

11、到平衡位置,A 继续向左; 再经 T/2, B 完成半个全振动向右,A 恰好完成一次全振动向左同时回到平衡位置发生碰撞，故 B 选项正确，C 选项错误；当 mAmB 时，碰撞后 A 反弹向左运动，B 向右，若 mA 越接近 mB 发生下一次碰撞的时间越接近 T，若 mAmB，A 接近原速反弹，B 几乎不动，发生下一次碰撞的时间越接近 T/2，当 A 经 T/2 经平衡位置从左向右运动时 B 恰好在右侧最高点，而 A、B 碰撞的位置只能在平衡位置的右侧，或十分接近平衡位置，不可能在平衡位置的左侧，故 D 选项错误。例 2 质量为 M 的小车静止于光滑的水平面上，小车的上表面和 圆弧41的轨道均光

12、滑，如图 3 如图所示，一个质量为 m 的小球以速度 v0 水平冲向小车，当小球返回左端脱离小车时，下列说法正确的是：A小球一定沿水平方向向左做平作抛运动B小球可能沿水平方向向左作平抛运动C小球可能沿水平方向向右作平抛运动D小球可能做自由落体运动解析：小球水平冲上小车，又返回左端，到离开小车的整个过程中，系统动量守恒、机械能守恒，相当于小球与小车发生弹性碰撞的过程，如果 m M，小球离开小车向左平抛运动， m=M，小球离开小车做自由落体运动，如果 m M，小球离开小车向右做平抛运动，所以答案应选 B，C，D 两物体通过弹簧相互作用,与弹性碰撞相似。弹性碰撞模型的应用不仅仅局限于“碰撞”，我们应

13、广义地理解 “碰撞”模型。这一模型的关键是抓住系统“碰撞”前后动量守恒、系统机械能守恒（动能不变） ，具备了这一特征的物理过程，可理解为“弹性碰撞”。我们对物理过程和遵循的规律就有了较为清楚的认识，问题就会迎刃而解。 碰撞问题考点透析一、考点诠释两个(或两个以上)物体相遇，物体之间的相互作用仅持续一个极为短暂的时间，而运动状态发生显著变化，这种现象称为碰撞。碰撞是一个基本，十分重要的物理模型，其特点是：1瞬时性由于物体在发生碰撞时，所用时间极短，因此在计算物体运动时间时，通常把碰撞时间忽略不计；在碰撞这一极短的时间内，物体的位置是来不及改变的，因此我们可以认为物体在碰撞中位移为零。2动量守恒性

14、因碰撞时间极短，相互作用的内力大于外力，所以系统在碰撞过程中动量守恒。3动能不增在碰撞过程中，系统总动能只有减少或者不变，而绝不会增加，即不能违背能量守恒原则。若弹性碰撞则同时满足动量、动能守恒。非弹性碰撞只满足动量守恒，而不满足动能守恒（系统的动能减少） 。二、解题策略首先要根据碰撞的瞬时性特点，正确选取相互作用的研究对象，使问题简便解决；其次要确定碰撞前和碰撞后系统中各个研究对象的状态；然后根据动量守恒定律及其他规律求解，并验证求得结果的合理性。三、边解边悟1在光滑的水平面上有三个完全相同的小球排成一条直线2、3 小球静止，并靠在一起，1 球以速度 v0 射向它们，如图所示设碰撞过程不损失

15、机械能，则碰后三个小球的速度为多少？解析：本题的关键在于分析清楚实际的碰撞过程：由于球 1 与球 2 发生碰撞时间极短，球 2 的位置来不及发生变化，这样球 2 对球 3 也就无法产生力的作用，即球 3 不会参与此次碰撞过程而球 1 与球 2 发生的是弹性碰撞，质量又相等，故它们在碰撞中实现速度交换，碰后球 1 立即停止，球 2 速度立即变为 ；此后球 2 与球 3 碰撞，再一0v次实现速度交换所以碰后球 1、球 2 的速度为零，球 3 速度为 v02用轻弹簧相连的质量均为 m=2的 A、B 两物体都以 v=6m/s 的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量 M = 4的物体 C 静止

16、在前方，如图所示。B 与 C 碰撞后二者粘在一起运动，在以后的运动中，求：（1）当弹簧的弹性势能最大时物体 A 的速度。（2）弹性势能的最大值是多大？解析：（1）由动量守恒定律得当弹簧的压缩量最大时，弹性势能最多，此时 A、B、C 的速度相等2 mv=（2m+M）v 1 v1=2 mv/（2m+ M）=3 m/s即 A 的速度为 3 m/s（2）由动量守恒定律得 B、C 碰撞时mv=（m+ M）v 2 v2= mv/（m+M）=2m/s由能量守恒可得mv2/2（mM）v 22/2=（2m M）v 12/2E P解得：E P=12Jv0 2 3 1 A B Cv碰撞与类碰撞从两物体相互作用力的效果可以把碰撞问题分为：一般意义上的碰撞：相互作用力为斥力的碰撞相互作用力为引力的碰撞（例如绳模型）