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1、新乡学院2010 级毕业论文论文题目：数学归纳法的发展历程及其应用姓 名 学 号 10140302033 所在院系 数学与信息科学系 专业名称 数学教育 指导教师 指导教师职称 副教授 2013 年 04 月 20 日 1目录内容摘要2关 键 词2Abstract2Key words21数学归纳法的发展历程31.1 数学归纳法的起源 31.2 数学归纳法的发展推广41.2.1 数学归纳法的发展 41.2.2 数学归纳法的推广 6 2数学归纳法的应用82.1 数学归纳法的原理分析92.1.1 数学归纳法的逻辑原理 92.1.2 数学归纳法的原理 92.1.3 数学归纳法的原理分析102.2 数学
2、归纳法的探析及应用132.2.1 数学归纳法的理论依据132.2.2 数学归纳法的适用范围142.2.3 数学归纳法的证题技巧142.2.4 数学归纳法的应用15参考文献21致 谢212内容摘要：本篇文章论述了数学归纳法的发展历程及其应用。数学归纳法的原理分析和探析及应用是本篇文章的主要内容。数学归纳法的发展几乎经历了整个数学的发展，从而从侧面给出数学发展的缩影。数学归纳法作为一种工具通常用在证明数学上的猜想，是解数学题最基本和最重要的方法之一，它在数学各个分支(解题、图论、中学数学等)都有着广泛的应用。数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，也是中学数学一个非常重要的内容,用于证明与无穷的自然
3、数集相关的命题。关键词：数学归纳法 发展历程 应用 原理分析 中学数学 自然数集Abstract：This article discusses the development history of mathe- matical induction. The principle analysis and analysis and application of mathematical induction is the main content of the paper. The develop- ment of mathematical induction almost witnessed th
4、e development of the whole history of mathematics, thus giving the epitome of mathematics from the side. Mathematical induction is one of the fundamental and the most important method of solving math problems, which has a wide range of applications in various branches of mathematics (problem solving
5、, graph theory, secondary mathematics, ect). Mathematical induction is an important method of proof in mathematics and a very important content in middle school mathematics, which is used to prove propositions rel- ated to infinite natural number set.Key words: Mathematical induction Development App
6、lication Prin-ciple analysis middle school mathematics Natural number set 31 数学归纳法的发展历程数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，也是中学数学一个非常重要的内容，用于证明与无穷的自数集相关的命题但凡涉及无穷，总会花费数学家大量时间与精力，去理解并弄清它的真正意义普通归纳法与自然数这一最古老的数学概念及“无穷”这个无法直观感觉的概念相结合的“数学归纳法” ，自然也需要一个漫长的认识过程有限个数字、元素、对象的认识很容易，因为它们很直观，一个个“数”或一个个“考察”即可，当数字、元素、对象多到无数个，即“无限”或“无
7、穷”个时，就不是这么简单数数、看看的事了，因这无穷多的对象是无法完全“摆”出来直观感受的，如果再带上一些复杂的关系，那就更加无法直观反映了在“无穷”多个对象时，较简单的情形就是与自然数相关的“无穷” ，比如用P ( )表示与自然数 有关的无穷多的数字、元素、对象或性质、命题nn等为了“数”清这无穷多的对象，或“看”清摆不出来的对象是否也带有看得到的对象所具有的复杂关系，那只能用“归纳”的办法去合理地“猜” ，这就是普通“归纳法” 的作用，是人类认识未知的一个普遍有效的方法，它是通过少数几个对象所显现的特征，根据后面对象与这少数对象在看得到、感觉得了的“相似”关系中，合理推测这些对象特征的办法这
8、时，也许你运气好恰好“猜”对了，也许没那么好的运气，一而再再而三地猜错，即使你猜对了，对数学家而言也不敢轻易恭维，因为他们需要的是“准确”的计数或“清晰” 地看到性质，也就是说，必须对你的猜测给予严格的证明才能认可如此一来，如何“准确”数、 “清晰”看对象或其性质，就成了数学家伤脑筋的一个问题，这一“数”就数了两千多年从普通不严密的“归纳法”发展到精确的“数学归纳法” ，再到更一般的“超穷归纳法” 、 “连续归纳法” 1.1 数学归纳法的起源追根溯源，数学归纳法可以在印度和古希腊时代的著作中找到丝缕痕迹，例如，印度婆什迦罗（Bhskara ，1114 约 1185）的“循环方法”和欧几里得素数
9、无限的证明中都可以找到这种踪迹欧几里得几何原本第九卷命题 20 为：质数比任何指定数目都要多（注：质数也称为素数） ，即：素数无穷欧几里得对这个命题的证法是经典的他假定素数是有限的，不妨设这有限的 个素数n4为 、 、 、 然后作自然数 +1，并证明还存在新的素数，1p2np1p2n从而得到矛盾因为若所作的数是素数，则它比全部给出的 个素数都要大，因此是一个新的素数，这与假设有 个素数矛盾；又若它不是素数，它必能被n一素数整除，但它被已知全部的 个素数 、 、 、 除都有余数 1，故1p2np整除 +1 的素数必定是这 个素数以外的新的素数，从而又与假设1p2n有 个素数的条件矛盾n欧几里得素
10、数无穷命题即是说，素数的个数与自然数的个数一样多上述证明可以这样 翻译，首先，至少有一个素数存在，因为 2 就是素数，这一点在欧几里得的证明中没有指明；此外，上面欧几里得的证明表明，假如有 个素n数，那么就必定有 个素数存在也就是按现代数学归纳法的要求，证明了1n从 到 的递推关系，即完成了数学归纳法证明的关键性一步但欧几里得n没有使用任何明显的术语与现在的推理格式，因此，我们只能认为它蕴涵了现代数学归纳法的痕迹1.2 数学归纳法的发展推广1.2.1 数学归纳法的发展直到十七世纪后，在数学归纳法有了明晰的框架后，各种形式的数学归纳法逐步得到发展，具体使用中的各种变异形式，如奠基步骤中的起始命题
11、证明、归纳步骤中的跳跃台阶设置等都作了相应推广，发展出了最小数原理、第一和第二数学归纳法、反向归纳法、递减归纳法、螺旋归纳法、双重甚至多重归纳法等各种形式的数学归纳法由于分析算术化的需要，数的理论也得到了充分发展，并最终将整个分析建基于自然数之上，至 1889 年意大利数学家 C皮亚诺（CPeano ，18581932，意大利）发表 算术原理新方法，给出自然数的公里体系，不仅使全部微积分理论根基于此，也使数学归纳法有了一个准确、合理的理论基础Peano 自然数公理系统：1 是一个自然数；1 不是任何其他自然数的后继；每个自然数的后继是自然数；5若两个自然数的后继相等, 则这两个自然数也相等；
12、若 M 是由一些自然数所组成的集合，而且 1 属于 M，且当任一自然数 属于 M 时， 的后继也属于 M，则 M 就包含了全部自然数aa其中公理 V 被称为归纳公理，是数学归纳法的逻辑基础几乎同时，在分析算术化的过程中，对“无穷”概念作出了深刻的分析，扫除了微积分发展中的主要障碍，并对分析中的“不健康”点（不连续点、不收敛点等）逐渐有了深刻认识，为最终建立实分析奠定了基础在对“例外”的考虑中，康托尔是独具慧眼的数学家，以此为起点，康托尔在 1897 年建立了集合论基础，并对自然数作了深入、细致的研究，发明了超穷数，建立了超穷序数与超穷基数理论，并论述了良序集的特别理论，在此基础上将数学归纳法扩
13、展为超穷归纳法我们熟悉的归纳公理用集合论的语言可表述为：设 S 是自然数集合 N 的一个子集，如果：（1）1 是 S 的元素；（2）从是 S 的元素可推出 + 1 是 S 的元素. 那么， （3）S= Nkk对于良序化的集合也有类似的性质：设 A 是良序化的集合， S 是 A 的一个子集，如果（1）A 的最小元素是 S 的元素；（ 2） 是 A 的元素，而从所有在 A 中比 小的元素是 S 的元素可x x推出 也是 S 的元素. 那么， （3）S= Ax由彼此相似的良序集确定的数称为序数, 对于这样的良序集和序数相应的有下列超穷归纳法（有些教材或专业书直接将上述命题称为超穷归纳法）：超穷归纳法
14、 设 是序数 的一个命题，并且满足：如果任给 0，使 P ( )对一切实数xyy1 自然数集 N 有最小数 113 当 1A，A 有最小数 1当 1A 时，假设 A 没有最小数构造集合 T= xx N 且对 aA x 表示可吞食 ）ka1k下面考虑 n=k+1 时的情形，即在上面情形里加进一种害虫 1ka（当然，我们还可以将 k+1 种害虫分为两组，一组 k 种，一组一种，由归纳假设第一组 k 种可排成 ， ， ，使前一种可吞食后一种，再将第二组1a2ka的一种记为 加入） ，将有下面两种情形：1a若 ，则可将 置 前，则有 命题为真k1ka1ka2ka若 ，再将 与 放在一起试验，若 ，可将 置 后1a2 11ka16前即可，这时有 ，命题为真否则可重复往下试验，经过有2a1ak2ka限次（ k 次） ，必有下列情形之一： ，问题解决1-ikia否则 ，则可置 ak+1 于 ak 之后.此时有 ，命题亦成a1 12ka1
