《随机事件及概率》ppt课件

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1、概率论与数理统计,数理学院应用数学系,概率统计课程组,概率统计是研究随机现象数量规律的数学,学科, 理论严谨, 应用广泛, 发展迅速. 目前, 不,仅高等学校各专业都开设了这门课程, 而且从,上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为,本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真,学好这门不易学好又不得不学的重要课程.,教材 概率论及其统计应用,主要教学参考书,汪忠志等编 合肥工业大学出版社 2005年,国内有关经典著作,国外有关经典著作,本学科的 A B C,概率(或然率或几率) 随机事件出现,的可能性的量度 其起源与博弈问题有关.,16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博,中的一些问题；17世纪中

2、叶，法国数学家B. 帕,斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方,法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理,分配赌注问题” ( 即得分问题 ).,概率论是一门研究客观世界随机现象数量,规律的 数学分支学科.,发展则在17世纪微积分学说建立以后.,基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速,第二次世界大战军事上的需要以及大工业,与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息,论、控制论与数理统计学等学科.,数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、,整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的,问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策,和行动提供依据和建议的 数学分支学科.,论；使 概率论 成为

3、数学的一个分支的真正奠,对客观世界中随机现象的分析产生了概率,统计方法的数学理论要用到很多近代数学,知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数,学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这,样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计,学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列,的数学分支学科，并无从属关系.,本学科的应用,概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有,科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个,部门中. 例如,1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预,测都与 概率论 紧密相关；,2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在,3. 寻求最佳生产方案要进行 实验设计 和,数据处理；,临床中应用，均需要用

4、到 假设检验；,5. 探讨太阳黑子的变化规律时，时间序列,7. 在生物学中研究群体的增长问题时 提出,了生灭型 随机模型，传染病流行问题要用到多,过程 来描述;,6. 研究化学反应的时变率，要以 马尔可夫,分析方法非常有用;,变量非线性生灭过程；,4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制与发射,8. 许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、,都离不开 可靠性估计;,购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率,模型来描述，其涉及到 的知识就是 排队论.,目前，概率统计理论 进入其他自然科学领,域的趋势还在不断发展. 在社会科学领域 ，特,别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长,等问题，都大量采用 概率统

5、计方法. 正如法国,数学家 拉普拉斯所说 : “ 生活中最重要的问题，,其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”,机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、,第一章 随机事件及其概率,1.1 基本概念,1.1.1 随机现象,1.1.2 随机现象的统计规律性,1.1.3 样本空间,1.1.4 随机事件及其运算,生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质 上只是概率的问题 . -拉普拉斯,我又转念，见日光之下，快跑的人未必能赢， 力战的未必得胜，智慧的未必得粮食，明哲的未 必得资财，灵巧的未必得喜悦，所临到众人的， 是在乎当时的机会. -传道书,第一章 随机事件及其概率,概率论是研究随机现象的规律性的数学

6、 分支，为了对随机现象的有关问题作出明确 的数学描述，像其它数学学科一样，概率论 具有自己的严格的体系和结构。本章重点介 绍概率论的两个基本概念：随机事件和概率。,1.1 基本概念,1.1.1 随机现象,客观世界中存在着两类现象，一类是在一定的条件下必然出现的现象，称之为必然现象：另一类是在一定的条件下可能出现也可能不出现的现象，称之为随机现象。,在重力的作用下，物体的位移随时间变化的函数x(t)，由二阶微分方程 来描述，其中g为 重力加速度，这是确定的，必然的。,随机现象 掷一枚硬币,观察向上的面; 下一个交易日观察股市的指数上升情况; 某人射击一次,考察命中环数; 从一批产品中抽取一件,考

7、察其质量; ,确定性现象 抛一石块,观察结局; 导体通电,考察温度; 异性电菏放置一起,观察其关系; ,1.1.2 随机现象的统计规律性,虽然随机现象中出现什么样的结果不能事先预言，但是可以假定全部可能结果是已知的。在,上述例子中，抛掷一枚硬币只会有“正面”与“反面”这两种可能结果，而股指的升跌幅度大小充,其量假定它可能是任意的实数。可见“全部可能,的结果的集合是已知的”这个假定是合理的，而且它会给我们的学习研究带来许多方便。,进行一次试验，如果其所得结果不能完全预知，但其全体可能结果是已知的，则称此试验为随机试验，一般地，一个随机试验要具有下列特点：,（1） 可重复性：试验原则上可在相同条件

8、下 重复进行; （2） 可观察性：试验结果是可观察的，所有 可能的结果是明确的； （3） 随机性：每次试验将要出现的结果是不确定的，事先无法准确预知。,由于随机现象的结果事先无法预知，初看起来，随机现象毫无规律可言。然而人们发现同一随机现象在大量重复出现时，其每种可能的结果,出现的频率却具有稳定性，从而表明随机现象也有其固有的规律性。这一点被历史上许多人的试验所证明。,表1.1抛掷硬币试验,试验者,抛硬币次数,出现正面次数,出现正面频率,Buffon,De Morgan,Feller,Pearson,Pearson,Lomanovskii,4040,4092,10000,12000,24000

9、,80640,2048,2048,4979,6019,12012,39699,0.5069,0.5005,0.4979,0.5016,0.5005,0.4923,表1.1列出Buffon等人连续抛掷均匀硬币所得的结果。从表中数据可以看到，当抛掷次数很大时，正面出现的频率非常接近0.5，就是说，出现正面与出现反面的机会差不多各占一半。,上面的试验的结果表明，在相同条件下大量地重复某一随机试验时，各可能结果出现的频率稳定在某个确定的数值附近。称这种性质为频率的稳定性。频率的稳定性的存在，标志着随机现象也有它的数量规律性。概率论就是研究随机现象中数量规律的数学学科。,1.1.3 样本空间,随机试验的

10、每一个可能的结果称为一个样本点，因而一个随机试验的所有样本点也是明确的，它们的全体，称为样本空间，习惯上分别用 与 表示样本点与样本空间。,例1.1.1 抛掷两枚硬币观察其正面与反面出现的情况。其样本空间由四个样本点组成。即 =（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）。这里，比如样本点 =（正，反）表示第一枚硬币抛出正面而第二枚抛得反面。,例1.1.2 观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数，其样本点有可数无穷多个：i次，i=0,1,2, , 样本空间为=0次，1次，2次, ,例1.1.3 连接射击直到命中为止。为了简洁地写出其样本空间，我们约定以“0”表示一次射击未中，而以“1”表示命

11、中。则样本空间 =1，01，001， 0001， ,例1.1.4 观察一个新灯泡的寿命，其样本点也有无穷多个：t小时， 样本空间为：,写出下列各个试验的样本空间: 1 掷一枚均匀硬币，观察正面(H)反面(T)出现的情况； 2.将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的情况； 3.某袋子中装有5个球,其中3个红球,编号A、B、 C,有2 个黄球，编号D、F，现从中任取一个球,观察颜色.若是观察编号呢？,课堂练习,4.袋中有编号为1,2,3,n的球,从中任取一个,观察球的号码； 5.从自然数 1,2,3,N(N 3)中接连随意取三个,每取一个还原后再取下一个.若是不还原呢？若是一次就取三个呢？ 6.接连进

12、行n次射击,记录命中次数.若是记录n次射击中命中的总环数呢？ 7.观察某条交通干线中某天交通事故的次数。,1.1.4 随机事件及其运算,我们时常会关心试验的某一部分可能结果是否出现。称这种由部分样本点组成的试验结果为随机事件，简称事件。通常用大写的字母 等表示。某事件发生，就是属于该集合的某一样本点在试验中出现。记 为试验中出现的样本点，那么事件A发生当且仅当 时发生。由于样本空间 包含了全部可能结果，因此在每次,试验中 都会发生，故称 为必然事件。相反，空集 不包含任何样本点，每次试验必定不发生，故称 为不可能事件。,1.事件的包含,如果事件A发生必然导致B发生，即属于A的每一 个样本点一定

13、也属于B，则称事件B包含事件A，或 称事件A包含于事件B。记作,2.事件相等,如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，则称事件A与B相等。记作 A=B。,3.事件的并,“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事 件A与B的并，记作 ,4. 事件的交,“ 事件A与B都发生”这一事件称作事件A与B的交,记作 或 。,5. 事件的差,“ 事件A发生而B不发生”这一事件称作事件A与 B的差, 记作 A-B .,事件A与B不能同时发生，也就是说AB是不可能事件,即 ，则称A与B是互不相容事件.,6. 互不相容事件,7. 对立事件,“事件A不发生”这一事件称作事件A的对立事件，记作 ，易见， .,8.完

14、备事件组,则称 是一个完备事件组。显然，A与 构成一个完备事件组。,为了帮组大家理解上述概念，现把集合论的有关结论与事件的关系和运算的对应情况列举如下：,表1.2,符号,集合论,概率论,全集,样本空间：必然事件,空集,不可能事件,推广:,注:,1.设事件A=甲种产品畅销，乙种产品滞销， 则A的对立事件为（ ） 甲种产品滞销，乙种产品畅销； 甲、乙两种产品均畅销； 甲种产品滞销； 甲种产品滞销或者乙种产品畅销。 2.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位 置，试说明下列各对事件间的关系 A=|x-a|,B=x-a(0） A=x20，B=x20 A=x22，B=x19,课堂练习,A与B对立,A与B互

15、斥,思考题: 设A、B、C为任意三个事件,试用它们表示下列事件: (1) A、B出现，C不出现； (2) A、B、C中恰有一个出现； (3) A、B、C中至多有一个出现； (4) A、B、C中至少有一个出现.,解答:,1.2 随机事件的概率,1.2.1 概率和频率,1.2.2 组合记数,1.2.3 古典概率,1.2.4 几何概率,1.2.5 主观概率,1.2 随机的概率,1.2.1 概率和频率,概率论研究的是随机现象的统计规律性。对于随机试验，如果仅知道可能出现哪些事件是不够的，更重要的是要知道各个事件发生可能性大小的量的描述（即数量化）.这种量的大小我们称为事件的概率。,随机事件在一次试验中是否发生带有偶然性，但大量试验中，它的发生具有统计规律性，人们可以确定随机事件发生的可能性大小。,若随机事件A在 n 次试验中发生了m 次，则量 称为事件A在n 次试验中 发生的频率，记作 ，即： .,它满足不等式：,如果A是必然事件,有m=n,则 ;,如果A是不 可能事件，有m=0,则 ;,就是说： 必然事件的频率为1，不可能事件的频率为0。,的客观规律性，它是事件A在一次随机试验时发生可 能性大小的度量。,随机事件A发生的频率，总是在某个确定值p附近徘徊， 而且试验次数越多，事件A的频率就越来越接近p,数p 称为频率的稳定中心，频率的稳定性揭示了随机现象,的