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1、1.7 无穷小的比较,观察与比较,观察两个无穷小比值的极限,两个无穷小比值的极限的各种不同情况 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度 在x0的过程中 x2比3x趋于零的速度快些 反过来3x比x2趋于零的速度慢些 而sin x与x趋于零的速度相仿,上页,下页,铃,结束,返回,首页,无穷小的阶,设a 及b 为同一个自变量的变化过程中的无穷小,下页,阶的比较举例,所以当x0时 3x2是比x高阶的无穷小 即3x2=o(x)(x0),所以当x3时 x2-9与x-3是同阶无穷小,例2,例3,例1,下页,所以当x0时 1-cos x 是关于x 的二阶无穷小,所以当x0时 sin x 与x是等价无穷小 即s
2、in xx(x0),例4,例5,下页,阶的比较举例,例6,阶的比较举例,证明: 当,证:,定理1,b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a),下页,关于等价无穷小的定理,必要性:,证明,所以b a=o(a),因为,设ab,只需证b a=o(a),充分性:,设b=a+o(a) 则,因此ab,所以当x0时 有,sin x=x+o(x),tan x=xo(x),例6,下页,定理1,b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a),关于等价无穷小的定理,下页,定理1,b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a),关于等价无穷小的定理,定理2,证明,求两个无穷小比值的极限时 分子及分母都可用等价无穷小来代替 因此 如果用来代替的无穷小选取得适当 则可使计算简化,定理2的意义:,下页,定理1,b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a),关于等价无穷小的定理,定理2,解 当x0时 tan 2x2x sin 5x5x 所以,解 当x0时sin xx 无穷小x3+3x与它本身显然是等价的 所以,例7,例8,结束,注意：等价无穷小替换定理应遵从因式代替规则,界, 则,例如,例9 求,解:,原式,常用等价无穷小,推广,作业 P60 4 (1) , (2) , (4),
