实验2 微分方程(基础实验)

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1、119项目四 无穷级数与微分方程实验 2 微分方程（基础实验）实验目的 理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用Mathematica 求微分方程及方程组解的常用命令和方法.基本命令1. 求微分方程的解的命令 DSolve对于可以用积分方法求解的微分方程和微分方程组,可用 Dsolve 命令来求其通解或特解.例如,求方程 的通解, 输入023yDSolvey x+3y x+2yx=0,yx,x则输出含有两个任意常数 C1和 C2的通解:2Ce1xx2注:在上述命令中,一阶导数符号 是通过键盘上的单引号 输入的 ,二阶导数符号 要输入两个单引号,而不能输入一个双引号.又如,求解

2、微分方程的初值问题:,10,6,034 xxyyy输入Dsolveyx+4 yx+3yx=0,y0=6, y0=10,yx,x(*大括号把方程和初始条件放在一起 *)则输出x2x3e148(ey2. 求微分方程的数值解的命令 NDSolve对于不可以用积分方法求解的微分方程初值问题,可以用 NDSolve 命令来求其特解.例如要求方程 5.0,32xyy的近似解 , 输入)5.10(xNDSolveyx=yx2+x3,y0=0.5,yx,x,0,1.5(*命令中的x,0,1.5表示相应的区间*)则输出y-InterpolatingFunction0.,1.5,注:因为 NDSolve 命令得到

3、的输出是解 的近似值. 首先在区间0,1.5 内插入一)(xy系列点 , 计算出在这些点上函数的近似值 , 再通过插值方法得到nx,21 ny,21在区间上的近似解.)(y3. 一阶微分方程的方向场一般地,我们可把一阶微分方程写为 ),(yxf的形式,其中 是已知函数. 上述微分方程表明:未知函数 在点 处的斜率等于函数),(yxf yx在点 处的函数值. 因此,可在 平面上的每一点, 作出过该点的以 为斜率f O),(yf的一条很短的直线(即是未知函数 的切线). 这样得到的一个图形就是微分方程y ),(xf120的方向场. 为了便于观察, 实际上只要在 平面上取适当多的点,作出在这些点的函

4、数的Oxy切线. 顺着斜率的走向画出符合初始条件的解,就可以得到方程 的近似的积分曲),(yxf线. 例如, 画出 的方向场.0)(,12ydx输入True,ScaleFunction-(1&),ScaleFactor-0.16,HeadLength-0.01,PlotPoints-20,25;则输出方向场的图形（图 2.1）, 从图中可以观察到, 当初始条件为 时, 这个微分2/10y方程的解介于 和 1 之间, 且当 x 趋向于 或 时, 分别趋向于 与 1. )(xy-3 -2 -1 0 1 2 3-2-1012-3 -2 -1 0 1 2 3-2-1012图 2.1 图 2.2下面求解

5、这个微分方程, 并在同一坐标系中画出方程的解与方向场的图解. 输入sol=DSolveyx=1-yx2,y0=0,yx,x;g2=Plotsol1,1,2,x,-3,3,PlotStyle-Hue0.1,Thickness0.005;Showg2,g1,Axes-None,Frame-True;则输出微分方程的解 ,以及解曲线与方向场的图形（图 2.2）. 从图中可以看xey21)(到, 微分方程的解与方向场的箭头方向相吻合.实验内容用 Dsolve 命令求解微分方程例 2.1 (教材 例 2.1) 求微分方程 的通解.2xey输入Clearx,y;DSolvey x+2x*yx=x*Exp-

6、x2,yx,x或DSolveDyx,x+2x*yx=x*Exp-x2,yx,x则输出微分方程的通解:1Cex21y2其中 C1是任意常数.例 2.2 (教材 例 2.2) 求微分方程 在初始条件 下的特解.0xeyeyx21输入121Clearx,y;DSolvex*y x+yx-Expx=0,y1=2 E,yx,x则输出所求特解:xey例 2.3 (教材 例 2.3) 求微分方程 的通解 .xey2cos52输入DSolvey x-2y x+5yx=Expx*Cos2 x,yx,x/Simplify则输出所求通解: )x2Sin1c4x(2Cos)2c81(exyx例 2.4 (教材 例 2

7、.4) 求解微分方程 , 并作出其积分曲线 .ey输入g1=TablePlotEx+x3/3+c1+x*c2,x,-5,5,DisplayFunction-Identity,c1,-10,10,5,c2,-5,5,5;Showg1,DisplayFunction-$DisplayFunction;则输出积分曲线的图形（图 2.3）.-4 -2 2 4-40-20204060图 2.3例 2.5 (教材 例 2.5) 求微分方程组 在初始条件 下的02yxdtet 0,10ttyx特解.输入Clearx,y,t;DSolvex t+xt+2 yt=Expt, yt -xt- yt=0,x0=1,

8、y0=0,xt,yt,t则输出所求特解:)tSintCose(21ty,Costxt122例 2.6 验证 是微分方程 的通解.cyx)305(152 2)(4yx输入命令n,n,-3,3,x,-3,3;g2=PlotVectorField1,x2/(y4-2),x,-3,3,y,-3,3,Frame-True,ScaleFunction-(1&),ScaleFactor-0.16,HeadLength-0.01,PlotPoints-20,25;g=Showg2,g1,Axes-None,Frame-True;ShowGraphicsArrayg1,g2,g;则分别输出积分曲线如图 2.4(

9、a), 微分方程的方向场如图 2.4(b). 以及在同一坐标系中画出积分曲线和方向场的图形如下图 2.4 (c).-3-2-1 1 2 3-2-112-3-2-10123-3-2-10123-3-2-10123-3-2-10123(a) (b) (c)图 2.4从图 2.4(c)中可以看出微分方程的积分曲线与方向场的箭头方向吻合, 且当 时, x无论初始条件是什么, 所有的解都趋向于一条直线方程.例 2.7 (教材 例 2.6) 求解微分方程 并作出积分曲线.,)1(22/5xydx输入-1,1,-2,2,PlotStyle-RGBColor1,0,0,DisplayFunction-Iden

10、tity;g2=PlotVectorField1,-2y/(x+1)+(x+1)(5/2),x,-0.999,1,y,-4,4,123Frame-True,ScaleFunction-(1&), ScaleFactor-0.16,HeadLength-0.01, PlotPoints-20,25,DisplayFunction-Identity;Showg1,g2,Axes-None,Frame-True,DisplayFunction-$DisplayFunction;则输出积分曲线的图形（图 2.5）.-0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1-1.5-1-0.5

11、00.511.52图 2.5例 2.8 求解微分方程 并作出其积分曲线.,)21(2yxy输入命令-3,3,-3,3,PlotStyle-RGBColor1,0,0,DisplayFunction-Identity;gg2=PlotEvaluatet2,x,-3,3,PlotRange-3,3,-3,3,PlotStyle-RGBColor1,0,0,DisplayFunction-Identity;g1=ContourPloty-x3/3-x*(-2+y2),x,-3,3,y,-3,3,PlotRange-3,3,Contours-7,ContourShading-False,PlotPoi

12、nts-50,DisplayFunction-Identity;g2=PlotVectorField1,(x2+y2-2)/(1-2*x*y),x,-3,3,y,-3,3,Frame-True,ScaleFunction-(1&),ScaleFactor-0.16,HeadLength-0.01,PlotPoints-20,25,DisplayFunction-Identity;124Showg1,g2,Axes-None,Frame-True,DisplayFunction-$DisplayFunction;Showgg1,gg2,g2,Axes-None,Frame-True,Displa

13、yFunction-$DisplayFunction;则输出微分方程的向量场与积分曲线, 并输出等值线的图 2.6.-3 -2 -1 0 1 2 3-2-10123-2 -1 0 1 2 3-2-10123图 2.6用 NDSolve 命令求微积分方程的近似解例 2.9 (教材 例 2.7) 求初值问题: 在区间1.2,4 上的近1,0)1()( 2.xyxy似解并作图.输入fl=NDSolve(1+x*yx)*yx+(1-x*yx)*yx=0,y1.2=1,y,x,1.2,4则输出为数值近似解(插值函数)的形式:y-InterpolatingFunction1.2,4.,用 Plot 命令可

14、以把它的图形画出来.不过还需要先使用强制求值命令 Evalu-ate, 输入PlotEvaluateyx/.fl,x,1.2,4则输出近似解的图形（图 2.7）.1.5 2.5 3 3.5 410203040图 2.7125如果要求区间1.2,4内某一点的函数的近似值, 例如 ,只要输入8.1xyy1.8/.fl则输出所求结果3.8341例 2.10 (教材 例 2.8) 求范德波尔(Van der Pel)方程 5.0,0)1(2 xxyyy在区间0,20上的近似解.输入Clearx,y;NDSolveyx+(yx2-1)*yx+yx=0,y0=0,y0=-0.5,y,x,0,20;PlotEvaluateyx/.%,x,0,20可以观察到近似解的图形（图 2.8）.5 10 15 20-2-112图 2.81)