三维空间的向量2011

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1、ba+b图 1a三维空间的向量 平面与直线【内容提示】 本章讨论三维空间的向量及其运算向量加法、数乘向量以及内积，并且利用向量研究平面与直线以及它们之间的位置关系线性代数的主要研究对象 n 维向量是从三维向量的概念发展而来，因此，了解直观的三维空间有助于更好地理解抽象的 n 维空间本章中三维向量及其运算首先作为一个几何系统提出，经过空间直角坐标系建立向量的坐标后，转化为一个代数系统这两个系统之间保持着完全的一致性，这一过程再现了人类的认识过程对一组三维向量位置关系的讨论为下一步研究 n 维向量组的线性关系提供了直观的背景材料而平面与直线对研究线性方程组提供了直观背景第一节 三维向量及其线性运算

2、在中学物理中讨论过一种既有大小又有方向的量，称为矢量，例如力、速度、位移等等在数学中这种量称为向量物理学中的矢量大多除了大小、方向外，还与起点（或作用点等）有关，而本书中讨论的向量与起点无关，即：大小相等、方向一致的向量被认为是相等的，而无论它的起点在那里，这种向量称为自由向量通常将向量看作一个有向线段，有向线段的长度表示向量的大小，称为向量的模（或长度） ，有向线段的方向表示向量的方向以点 A 为起点、点 B 为终点的向量记作 ，有时也用粗斜体字母表示三维向量，AB例如 a，b，r 等等向量 a 的模用|a| 表示，| |=|AB|（|AB| 表示线段 AB 的长度） 模为 1的向量称为单位

3、向量，模为 0 的向量称为零向量，通常用 o 表示，零向量的方向被认为是任意的如果两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量共线，向量 a 与 b 共线记作a/b零向量方向任意，因此认为零向量与任何向量共线 如果一组向量可以放到同一个平面上，则称这组向量共面共线的向量一定共面一、向量的线性运算1、 向量加法a，b 是两个向量，将向量 b 的起点 放在向量 a 的终点，以 a 的起点为起点，b 的终点为终点的向量称为向量 a 与 b 的和，记作 a+b， （见图1） 例如 称这种方法为三角形法物理学中力的合成、位移的叠加就是ACB向量加法的实际应用用中学物理学中定义力的合成的平行四边形法也可以计算

4、向量的加法，其结果是一致的 （见图 2）2、数乘向量k 是个实数，a 是个向量，依照下列方法定义的向量称为 k 与 a 的数量乘积，记作ba+b图 2akaka 的大小依下列规定：|ka|=|k|a| ；其中|ka|表示 ka 的模，| k|表示 k 的绝对值，| a|表示a 的模ka 的方向遵循下列规定：若 k0，k a 与 a 方向相同，若 k 显然 0 将向量 r 的起点放在空间直角坐标系的原点，用角 ， ， 分别表示 r 与 x 轴，y 轴，z 轴的夹角即 =；=；=，数组（ ， ， ）称为向量 r 的方向角零向量不确定方向，因此零向量没有方向角任何非零向量都有唯一一组方向角用向量的方

5、向角可以表示向量的方向，但是，任意三个角不一定构成一组方向角，构成一组方向角的三个角之间应该满足的数量关系也不是很明显的，所以用方向角表示向量的方向不很方便向量的方向通常用方向余弦表示如果向量ro，称（cos ，cos，cos）为 r 的方向余弦，其中 ， 是向量 r 的方向角由于当 0 x 时，余弦函数 cos x 单调，所以方向角与方向余弦一一对应如果 r=（x ，y，z） ，显然有cos= ；cos= ，cos = ， (8)ryrz或 x=|r|cos， y=|r|cos， z=|r|cos (8)不难看出，cos2+cos2+cos2=1 (9)这也是一组数构成一个向量的方向余弦的充

6、分必要条件如果将一个向量的方向余弦也看作是一个向量，显然它是与这个向量方向一致的一个单位向量如果 ro，用 r0表示与 r方向一致的单位向量：r0= r (10)1一个向量可以用其模与方向余弦表示为：r=|r|（cos，cos，cos） (11)或 r=|r|r0 (11)例 3 求与三个坐标轴夹角相等的方向角解：设此方向角为（， ，） ，因为 =， cos2+cos2+cos2=1 解得 cos=cos=cos= 满足这一条件的角有两个，即31（arccos ，arccos ，arccos ） ， （arccos ，约 0.3） ，3131与 （arccos ，arccos ，arccos

7、） ， （arccos ，约 0.8） 31第三节 向量的内积一、内积的定义在物理学中一个质点在力 F（矢量）的作用下经过位移 s（矢量）所做的功 w（标量）等于这个力在位移方向上的分力乘以位移的距离w 可以用 F 与 s 的运算表示为w=|F|s|cos定义 1.1 向量 a、b 的模|a|、|b|以及 a、b 之间夹角余弦的乘积称为向量 a 与 b 的内积记作 ab（读作“a 点 b”，内积亦称点积） 即ab=|a|b|cos (1)向量的内积是个数量，是用两个向量运算出的一个数量二、内积的性质由内积的定义可以直接看出向量的内积满足交换率1、ab=ba (2)这一性质称为向量的内积具有对称

8、性2、a(b+ c)=ab+ac (3)证明：图 8 中的两个平面都与向量 a 所在直线垂直，b的终点即 c 的起点在平面 1 上，c 的终点在平面 2 上，因此b+c 的终点也在平面 2 上两条虚线分别在两个平面上，所以都与 a 所在直线垂直因此可以看出：|b+c|cos=|AC|；|b| cos=|AB|；|c|cos=|BC|所以，b cb+ca图 81 2A B C|b+c|cos=|b|cos+|c|cos由此得到向量的内积与加法满足分配律（注：内积运算优先于加法运算，所以（3）式右端没有加括号）3、 （a）b=（ab）= a（b） (4)(4)式称为准结合律我们只证明前一个等式，由

9、交换律即可得到第二个等式：由定义 （a）b=|a| b|cos； |a|=|a|，当 0 时， |a|=|a|，= 所以 （a）b=| a|b|cos=| a|b|cos=（ab） ；当 =，cos = cos所以 （a）b=| a|b|cos=|a|b|（cos）=(ab)注意上式等号左边 a 是数量与向量的数乘运算，（ab）是数量 与数量 ab 的普通乘法性质 2、3 合称为向量的内积具有线性性4、aa 0；当且仅当 a=o 时，aa=0 （称为向量的内积具有正定性）今后我们记 aa 为 a2当 a、b 中有一个是零向量时，显然 ab=0因为零向量不确定方向，可以认为零向量垂直于任意向量从

10、向量内积的定义可以看出，定理 1.4 ab=0 的充分必要条件是 ab设 r=(a，b，c)=ai +bj+ckri=(ai+bj+ck)i=a； 或 ri=|r|cos= a；rj=(ai+bj+ck)j= b； 或 rj=|r|cos= b；rk=(ai+bj+ck)k=c 或 rk=|r|cos=c向量的坐标就是这个向量与基向量组的内积从右边三个式子也可以看出用向量方法建立坐标系与定义向量的坐标并不需要坐标原点，用基本单位向量组i，j，k就可以建立坐标系因为空间任意向量都可以被三个不共面的向量唯一分解，即使i，j，k不相互垂直，只要它们不共面，就可以作为坐标系的基来建立坐标系这种不需要基

11、本单位向量相互垂直的坐标系称为仿射坐标系三、用坐标计算向量的内积设 a 的坐标为（a 1，a 2，a 3） ，b 的坐标为（b 1，b 2，b 3） ，即a=（a 1，a 2，a 3）= a1i+a2j+a3k，b=（b 1，b 2，b 3）=b 1i+b2j+b3kab=（a 1i+a2j+a3k）（b 1i+b2j+b3k）=a 1b1+a2b2+a3b3，所以ab= （5）1ii例 1 用内积表示向量的模与两个向量之间的夹角由内积定义得到： |a|= = (6)2321ia此处 a2 表示 aa如果 a、b 都不是零向量，则cos= = (7)312312iiiiba零向量不确定方向，因

12、而也不存在与其它向量的夹角由|cos |1，得到一个代数中很重要的不等式，a31|iab321iib等号成立的充分必要条件是 a1，a 2，a 3 与 b1，b 2，b 3 成比例，在几何中就是 /b这个不a等式可以推广到 n 项例 2 设 c=ab，则 cc=（ab）（ab）=aa+bb2ab即 |c|2=| a |2+|b|22| a |b| cos图 9 中，a = ，b= ，c = ，|a|=| CB|=a，|b|=| CA|=b，| c|=|AB|=c以CBAB上等式就是余弦定理：c 2=a2+b22abcos C例 3 证明平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和（广义勾股定理）

13、如图 10，AC 与 BD 是平行四边形 ABCD 的对角线； = ； =ACBDAB= + = +22)(C2)(2)(C)(= + =2（ ）2BA2BA2BA即 = +2|DC|C22|D第四节 三维空间的平面与直线一、平面及其方程经过空间一点可以且只能做一个平面与已知直线垂直设 n 是一个非零向量，如果它与平面 垂直，则称 n 为 的法向量给定平面 上一个定点 M0 与 的法向量 n，这个平面就完全确定了下面讨论在空间直角坐标系O ；x， y，z下过定点 M0（x 0，y 0，z 0） ，以非零向量 n =（a，b，c）为法向量的平面方程（见图 11） 设 M（x，y，z）为空间一动点

14、，M 点在 上的充分必要条件是：向量 与 n 垂直，而两向量垂直的充分必要0A BCD图 10M0M图 11C BA图 9条件是内积为 0，即 n =0将 n 与 的坐标代入，得到M00a(xx0)+b(yy0)+ c(zz0)=0 (1)称为平面的点法式方程任何平面上都存在点，都有法向量，所以，任何平面的方程都是一次方程，今后我们称一次方程为线性方程那么，是否任何一个线性方程都表示一个平面呢？三个变量的线性方程的一般形式为ax+by+cz+d=0 (2) 其中 a，b，c 不全为 0这个方程显然一定有解设(x 0， y0，z 0)是方程（2）的一组解，则ax0+by0+cz0+d=0 (3)

15、 (2)式减(3)式，得到 a(xx0)+b(yy0)+c(zz0)=0 这是一个经过点(x 0，y 0，z 0)，以 n=(a，b，c)为法向量的平面方程方程（2）称为平面的一般方程综上所述，任何平面的方程都是线性方程，任何线性方程都表示平面例 1 方程 x+2y5z+3=0 表示一个平面， (1，2，-5)是它的一个法向量 将它化为点法式方程：解：(0，1，1)是方程的一组解，所以这个平面的点法式方程为：x+2(y1)5(z1)=0例 2 方程 x+2y5z=0 表示一个平面，(1 ，2，-5)是它的一个法向量，方程常数项为0，故(0 ，0，0)是方程的解，这个平面经过坐标原点例 3 方程 x+2y1=0 表示一个平面，n =(1，2，0) 是它的一个法向量，因为 n 垂直于 z 轴，所以这个平面平行于 z轴注意方程 x+2y1=0 在平面直角坐标系中表示一条直线，而在空间直角坐标系中表示一个平面，它可以看作是 XOY 平面上的直线 x+2y1=0 沿着平行于 z 轴方向延伸而成 （见图12）例