§7-6 全同粒子体系的波函数 泡利原理,一、两个全同粒子体系的波函数 二、N个全同粒子体系的波函数 三、忽略L-S耦合情况下体系的波函数,§7-6 全同粒子体系的波函数 泡利原理,一、两个全同粒子体系的波函数,,1．单体近似,不考虑二粒子的相互作用，即忽略 ，则哈密顿写成,本征方程,令,设第一个粒子处于第i态，第二个粒子处于第j态，有,且,（不显含时间）,则,能量本征值,若交换两个粒子，则,能量本征值仍为,交换两粒子后，能量本征值不变，这种简并称为交换简并下面讨论体系的波函数前面讲过，全同粒子体系的波函数必须有确定对称性1）当 时，,（2）当 时，,它们既不对称也不反对称，因而不满足全同性原理的要求是对称函数；,构造,显然,即 是对称波函数， 是反对称波函数它们都是 的本征函数，对应本征值 和 还可写成,其中 表示两个粒子在单态中的某种排列， 代表对粒子不同排列的求和，规定一种排列为偶排列，交换一次则为奇排列还可表示成行列式的形式,若 ，即 中有两种排列相同或行列式中两行相同，则,于是得到泡利原理：,费米子组成的全同粒子体系中，两粒子不能处于相同的状态2．非单体近似,仍然存在着能量的交换简并。
对称化的波函数,或,泡利原理仍成立，但 不能写成行列式的形式二、N个全同粒子体系的波函数,忽略粒子之间的相互作用，并设单体哈密顿不含有时间，则体系的哈密顿为,且,有,交换任意两个粒子，体系能量本征值不变，即存在交换简并···················,玻色子体系波函数,费米子体系波函数,对N个粒子组成的玻色子体系，若单粒子态的个数小于粒子数，譬如有n1个粒子处于i态，n2个粒子处于j态，…，nl个粒子处于k态，且N=n1+n2+…+nl，则因相同单粒子态的交换不会产生新的结果，故所有可能排列的总项数（简并度）等于下列组合数,玻色子体系波函数,泡利原理：全同费米子体系中不能有两个或两个以上的粒子处于相同的状态泡利原理是全同性原理的推论全同性原理比泡利原理广泛得多，它不仅适用于费米子体系，而且适用于玻色子体系对N个粒子组成的费米子体系，体系的波函数应为反对成波函数，所以组合中的总项数（简并度）为,费米子体系波函数,三、忽略L-S耦合情况下体系的波函数,单体近似下，体系的波函数,若忽略 耦合，单体波函数可写为,···················,则体系的波函数可改写为,费米子系统， 反对称,玻色子系统， 对称,例1．以两个全同粒子体系为例，写出体系的波函数。
解：,费米子体系,玻色子体系,例2．设有三个无相互作用的全同粒子组成的玻色系统，每一个粒子均可以处于三个单粒子态 中的任何一个态，求体系的可能状态数及每一状态对应的波函数解：,（1）体系的可能状态数,粒子数,单粒子态数,可能状态数为10，如图所示2）波函数表示,（a）每一状态上有一个粒子这种情况只有一个态，波函数的项数,（b）某一个状态上有2个粒子，另一粒子处于其它态这种情况共6个态，对应的波函数分别为,其它波函数可同理写出波函数的项数,如果是费米子体系，则,作业 7-6,（c）三个粒子处于同一状态这种情况共3个态，对应波函数分别为,其它波函数可同理写出波函数的项数,。