《浅谈积分在几何中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浅谈积分在几何中的应用（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1浅谈积分在几何中的应用学生姓名:张芳芳 学号:20085031252数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导老师:沈明辉 职称: 博士摘 要: 积分在几何中的应用多种多样且技巧性强 ,为使学生灵活运用,熟练运用积分求几何图形中的体积和面积,本文将数学分析中积分在几何中的应用系统的进行了归纳.分析积分在几何中应用范围和方法:由积分求面积,由积分求体积,.它对快速了解并应用积分求几何有一定的意义.为了便于学生对定积分在几何中的应用易掌握，作者通过多年的教学经验研究出了一种形象、直观、易懂的教学方法：通过图形来选择定积分的上（下）限、积分变量、被积函数，最后求出图形的面积或体积。关键词: 二重积
2、分; 三重积分; 定积分On the calculation of indefinite integralAbstract: Indefinite Integral method of calculating a variety of skills and strong, To allow flexibility in the use of students, skilled choice of integration method for calculating the indefinite integral, In this paper, mathematical analysis of
3、various methods of calculating the indefinite integral of the system is summarized . Analysis of the four basic indefinite integral solution: direct integration, the first element method for, element method for the second category, Integration division Its indefinite integral quickly solving a certa
4、in degree of significance. Keywords: Indefinite Integral；for integral ； distribution points引言 正如加法有其逆运算减法,乘法有其逆运算除法一样.微分也有其逆运算积分法.它是研究求一个未知函数使其导函数恰好是某一已知函数。这个问题的提出首先是因为它的出现在许多实际问题之中。例如，已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点的斜率（或某一点的斜率所满足的条件）求曲线方程等。而这些2问题的解决都与大家的日常生活息息相关。研究不定积分的方法,以后对生活,科研都有很大作用.1.预备知识1.1 原函数及不定积
5、分的概念 是函数 的一个原函数，是指对定义在区间 内的已知函数 ，如果存)(xF)(xf I)(xf在可导函数 ，使对于任意的 ，都有Ix或 )(fF dxfdF)( 的不定积分，是指 的全体原函数 （ 为任意常数）记作)(xf xf Cxf)()(原函数存在定理: 连续函数一定有原函数.1.2 不定积分的性质 )()(/xfdf dxfxfd)()( Cff/ CF dxgkxfkdxgkxf )()()()( 21212.运用积分的求体积的方法及举例2.1 由平行截面面积求体积设 为三维空间中的一立体，它夹在垂直于 轴的两平面 与 之间xxab。为方便起见称 为位于 的立体。若在任意一点
6、处作垂直于 轴的平面，()ab,ab,x它截得 的截面面积显然是 的函数，记为 ， ，并称之为 的截面面积函数。x()Ax,ab由截面面积函数求的立体体积的一般公式为： 。 bad例一：求由两个圆柱面 与 所围立体的体积。2yx2xz2.2 换元积分法32.2.1 第一类换元积分法: 定义：设 f(u)具有原函数 F(u),即 , .设 u 为中间变量: , _F(u)=f()()fduFc ()ux可微,则根据复合函数微分法,有 .根据不定积分的定义,就有()xdxx.()()()(uxfdxcf 即简化为：设 f(u)具有原函数, 可导,则有换元公式()ux ()()(uxfxdf 第一换
7、元积分法（凑微分法）主要是处理复合函数求积分的方法, 它的基本思想是“变换积分变量, 使新的积分对于新的积分变量好求原函数”, 采用的手段是 “凑微分”, 将凑成 , 如果说被积函数可以凑成 这样两个因子的乘xfd)(xfd)( )(xf积（其中一个是 的函数, 另一个是 的导数）, 方可使用第一换元积分法.)()( 用第一换元法的目的：求出积分, 因此, 换元以后的积分 必须容易求出()()(uxfxdf积分. 一般地, 换元后的函数 是积分基本公式中函数的形式或积分基本公式中函数的线)(uf性组合形式. 例题：例 1: 求 132dx解:令 ,则原积分=u111ln|23|22duucix
8、c例 2: 求23()xd解:令 ,则原积分=u2231233()(4)(4)ududuud12 2ln| ln|2|()cxcx 方法总结题型： ;(a )1()()(faxbdfaxbd04 ;1()()nnfxdfxd ;11()()nnnfxd ;()()xxfefe ;1lnld ;2(ta)sec(tan)tfxfxd(7) ;2222111()arctn()bxbxdbba 22221()()dxdxaa xb 1lnln2baccxa ；2 21()arsi1bbxddbax 212sincossincosknknxx(1)coknd ；212 2sicsicsii(1sin)
9、iknknkxdxxxd 2 1io(o)(co)(cos)(1s2)l lkl k klkxd ；2tansectantk kxdxdx 2121sectansecnk()()kxxkN 1sinsinsi)2mxdmd 1()in(2xmx511cos()cos()2()2()mnxmnxc sincosinimxdd11co()cos()2()2()nxnc cosssxndmd11in()sin()2()2()xmxc2.2.2 第二类换元积分法 （变量代换法）： 定义：设 是单调、可导函数，并且 ，又设 具有原函数，则()xt()0t()ft换元公式 ，其中 是 的反函数1()()t
10、fdftd 1x 例题： 求 2abx解:令 ， ， 则原积分 =tn2(,)t222sincoscosaattdtdb=221()(in)44tttb22(arcsin)xbaxc 求 （a0）21dxba解：令 ， ，tnx2(,)t则原积分= 21secsecln|secta|tdtbb211l| |()xax3 求 2(0)db6解：令 ，2(,)x则原积分= 2111ln|secta|ln| |(ln)bxacab b2.3 分部积分法 定理：（分部积分法）若 和 可导，不定积分 存在，则 也存在，并()uxv()uxvd ()uxvd有 ()dx简写为：uvdx 规律：如果 和 选
11、取不当就求不出结果，所以应用分布积分公式时恰当的选取和 是关键，选取 和 一般要考虑以下两点：uv（1） 要容易求得；（2） 要比 容易积出dxuv（3） 对于积分 ,u、v 哪个函数放进 d 里面呢1.幂函数与三角函数相乘(把三角函数积到 d 里,若等号两边不平,并进行配平)2.幂函数与指数函数相乘(把指数函数积到 d 里,若等号两边不平,并进行配平)3.幂函数与对数函数相乘(把幂函数积到 d 里,若等号两边不平,并进行配平)4.三角函数与指数函数相乘(把三角函数积到 d 里,若等号两边不平,并进行配平) 例题： ；cosinsisincoxdxdxx 221arttatartarctnl(
12、)1dxxc ；43lnl()(ln)16xxdxc 求 和1cosaxIeb2siaIebd解： ；21()(cosin)(cos)axxaxaxd ebI；2 11sinsin)aIeI ；解之得：12ciaxbI71 2sincoscosaxaxbbxIede2in sssincossin(cosin)axx xxxeedeed所以， 。1i()2d2.4 有理函数和可化为有理函数的不定积分 定理（有理函数的不定积分）： 两个多项式的商称为有理函数，又称有理式。当分子的次数小于分母的次数时称为真分式，否则称为假分式。有理函数10()nnaxaPRxQbb当 n=m,假分式=多项式+真分式
13、;当 n1 时，原积分 = ；1()()()() kkk xadxdc 求 22,40()kLxMdpqq解：令 ，原积分=t2221()()()kkkLxNtdtdNdttrrtr，2;(,4pprqM记 上 式 为 （ *） 其 中当 k=1 时，（*）式= ；22221ln()arctnLxNt LNdtdNdtttrrtr当 k1 时，（*）式的第一个不定积分为 ；222 21()()(1)k kt trcrtrtr记第二个不定积分为 ；2()kkdtIr用分部积分法导出递推公式如下： 22 2211()1 ()()kkkktrt tIddtdrtr1222()k kIttrr1222
14、121 ()()k k ktI dtdtrtr1 1222()k ktI Ir 9所以， ；122123()()k kktI Irr重复使用递推公式，最终归结为计算 ，最后 式求得，并令 ，就完成对1I*2ptx不定积分的计算。2.5 某些无理根式的不定积分类型举例： 型不定积分(,)naxbRdc()adbc令 ，原积分可为有理函数的不定积分。ntx 型不定积分。2(,)Rabcdx 22(040;,40)abacbac时 ， 时因为 ，记 ，222xux22|bk此二次三项式必属于以下三种情形之一， ， ，2|()a2|()au2|()aku积分可化为以下三种类型之一： ， ，(,Rukd,Rd。分别令 ， ， ，将它们化为三角有理2(,)Rukd tanksectsint式不定积分。小结: 计算不定积分首先要弄明白此积分属于哪一类不定积分，是直接积分，换元积分还是分部积分，然后考虑用对应的解题方法及方法。参考文献:1 数学分析（上册） ，华东师范大学数学系编。2高等数学（上册） ，同济大学数学系编。
