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1、1-5晶体的宏观对称性 晶态物质所形成的单晶体，外形上的规律性突出地表现在晶面的对称排列。晶态物质的性质是和方向有关的，或者说是各向异性的。但由于晶格的周期性排列，晶格又存在某种对称性，因此其宏观性质也存在同样的对称性。和一般的几何图形不同，晶体只具有为数不多的对称类型，这是由于晶格周期性的限制。按照空间群理论，晶体的对称类型是由少数基本的对称操作组合而成。如果基本对称操作不包括平移，则组成32种宏观的对称类型，称为点群；如果包括平移，就包括230种微观的对称性，称为空间群。,对于具有六角对称性的晶体，如果坐标轴选取在六角轴的方向和其垂直平面内，则有：,以介电常数为例，其一般为二阶张量，即,对
2、于具有立方对称性的晶体，,；（证明）,1、线性变换 和刚体一样，晶格中任意两点间的距离，在操作前后应保持不变，此即线性变换。,设有变换使,即：,因操作前后应保持任意两点间的距离不变，即要求：,即,，即,，换句话说，,为正,交矩阵。变换矩阵为正交矩阵的又称为正交变换。几何变换如旋转、 反射及反演都是正交变换，因此概括宏观对称性的系统方法是考查物体在正交变换下的不变性。,以下为几种简单的线性变换操作。,(1)转动,对于基矢为,的晶胞，其基矢在直角坐标系下的表示为：,即：,对于格矢：,有：,考虑一转轴，其和直角坐标系的坐标轴之间夹角的余弦分别为：,即有：,绕该轴转动,角后，设新坐标轴的单位矢量为,，
3、其在老坐,标系的表示为：,l1,m1,n1可利用如下方法求出,同样方法可以求出l2,l3,m2,m3,n2,n3。,从而得到该操作的矩阵表示：,或者,设经过该转动操作后,变成,则,在新坐标中的表示仍然为：,，则其在原坐标中的表示为：,在晶胞基矢中的表示为：,因此，若对于任意bx,by,bz,操作使得系数矩阵的矩阵元为整数，则 该操作为该结构的对称操作，该系数矩阵为该对称操作的表示。,(2)中心反演,若取反演中心为坐标原点，经过中心反演后，任意一点,变为,，即：,(3)镜象映射,即以某个平面作为镜面的映象操作，若取Z=0的面为镜面则有：,2、基本的对称操作,由于晶格的周期性，其对称操作只可能有几
4、种，而不象几何图形,那样。设图1-5-1中B1，A，B，A1S是晶体中某一晶面（纸面）上的一 个晶列，AB是这晶列上相邻两个格点的距离。如果晶格绕通过格点A 并垂直于纸面的u轴转动 角后，能自身重合，则由于晶格的周期性， 通过格点B也应该有一个转轴u。,图1-5-1 晶体中某一晶面的晶列,（1）、转动角,通过A处的u轴顺时针转过,后，使B1点到,点，同样，对于,通过B处的u轴顺时针转过,后，由于A1点是格点位置，因此，,点原来应该存在格点。由于,和,平行，因此,长度必须等,于AB长度的整数倍，而,，因此,角只能取：,（2）、转动角,对于通过B处的u轴，A点到达,点，对于通过A处的u轴，由于B,
5、点是格点，因此在,点也应该存在一个格点。同样因为,是长度的整数倍，因此,只能取,综上所述，若将转动角,写成,，则n只能取1、2、3、4、6。,n称为转动的次数。,（a)n次旋转对称轴及其表示,（b）n次旋转反演轴及其表示,若绕轴u旋转,后再经过中心反演，晶体能自身重合，则称u,为n度旋转反演轴，表示为,：是中心反演，用i表示，即,：即镜象映射，用m表示，即,：等于3次轴加i的效果总效果，这是由于由点1出发点得,，再经,中心反演得2；2经过转动,得到,，中心反演得3；3转动,后得1，经反演得4；4转动反演后得5，5转动反演后得6。即,由1出发，得2，6，4和5，3，1诸点。得到的6个点的分布具有
6、3度轴 和对称心i的对称性,：由如图1和,出发，分别得到两个四面体1234和,，将1234,转动90度后,重合，再翻转则和自身重合。,：等于3次轴加m的效果总效果。,综上所述：晶体的宏观对称性中只有以下8种基本的对称操作：,1，2，3，4，6，i，m，和,。这些基本对称操作组合起来，得到32,对于晶体的微观对称性，对称操作中还必须包括平移，因此又有：,种不包括平移的宏观对称类型。,（c）n度螺旋轴,一个n度螺旋轴u表示绕轴每转,后，再沿着该轴的平移,个该,方向的周期（l为小于n的整数）,（d）滑移反映面,一个滑移反映面表示经过该面的镜象操作后，再沿平行该面的某个方,向平移,的距离（,为该方向的
7、周期矢量，n为2或4），晶体中的,原子和相同的原子重合。,(a)和（b）类对称操作可以导出32种点群。这32种点群对应晶体32 种宏观的操作性，再加上（c）和（d）类对称操作，就可以导出230 种空间群，每一种空间群对应一种特殊的晶格结构。,3、群的基本概念：,群是满足下列操作规则的元素的集合，该操作规则又称为群公理。,（1）、闭合性 任意两元素的操作的结果仍然属于该集合。 （2）、单位元素 存在单位元素，使得任意元素和其的操作等同于该元素。 （3）、逆元素 任何元素都存在一对应元素，使得两者的操作等同于单位元素。 （4）、结合律 元素之间的操作满足结合律 1-6点群 32个点群： C1群：只
8、含一个不动操作元素。,回转群：只含有一个旋转轴，记为，分别含有2，3，4，6个元素。,Ci群：C1群加中心反演I。 Cs群：C1群加反映面m。 双面群Dn：含有一个n重旋转轴和n个与之垂直的二重轴的点群，有 D2，D3，D4，D6。,Cnh群：Cn群加上与n重轴垂直的反映面m，有。,Cnv群：Cn群加上n个含n重轴的反映面m，有。,Dnh群：Dn群加上与n重轴垂直的反映面m，有D2h，D3h，D4h，D6h。,Dnd群：Dn群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线垂直的反映面m，,只有D2d，D3d。,Sn群：只含有转动加反演的对称性轴，其中S1=Ci，S2=CS，S3=C3h，,只有S4，S6是独立的。,O群；立方体纯转动的24个元素构成O群（见P21-P22）。,Oh群：O群加上中心反演共有48个对称元素，构成立方点群（见,P21-P22）。,T群：由正四面体纯转动的12个对称操作构成（见P22-P23）。 Td群；正四面体的24个对称操作构成正四面体群（见P22-P23）。 Th群：T群加中心反演。,
