欧氏空间与双线性函数

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1、欧氏空间与双线性函数基本概念1. 欧几里得空间设 V 是实数 R 上一线性空间，在 V 上定义了一个二元函数，称为内积，记作（ ） ，它具有以下性质：（1） （ ）=（ ） ；， ，（2） （ ）= k( );,k，（3） ( )= ( )+( );， ，（4） （ ）0，当且仅当 =0 时， （ ）=0。， ，这里 是 V 中任意的向量， k 是任意实数，这样的线性空间 V 称为欧几里得空间。，2. 酉空间设 V 是复数 C 上的线性空间，在 V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作（） ，它具有以下性质：，（1） （ ）=（ ） ；这里（ ）是（ ）的共轭复数；， ， ， ，（2） （

2、）= k( );,k，（3） ( )= ( )+( );， ，（4） （ ）0，当且仅当 =0 时， （ ）=0。， ，这里 是 V 中任意的向量， k 是任意实数，这样的线性空间称为酉空间。，3. 向量的长度非负实数 称为向量 的长度，记为 。），（ 4. 向量的夹角非零向量 的夹角 规定为， ，= , 0 ， arcos），（ ， 5. 向量正交如果向量 的内积为零，即（ ）=0，那么 正交，记为 。， ， ， 6. 基的度量矩阵 . 是 n 维欧氏空间的 V 一组基,令 ， ,称， 21， ji,ij n， 2,1为基 的度量矩阵。nijAn， 217. 正交向量组欧氏空间 V 中一组非

3、零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。8. 正交基、标准正交基在 n 维欧氏空间中，由 n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。9. 正交矩阵、酉矩阵n 级实矩阵称 为正交矩阵,如果 。AETn 级复矩阵称 为酉矩阵,如果 。10. 欧氏空间同构实数域 R 上欧式空间 V 与 V称为同构的,如果由 V 到 V有一个双射 ,满足（1） ( =） ；（）（ （2） ） ；（）（ k（3 ） ；，（） ）（） ，（ 这里 V，k R，这样的映射 称为 V 到 V的同构映射。， 11. 正交变换、酉变换欧氏空间 V 的线性变换 如果满足），（） ）（） ，

4、（ 则称 为 V 的一个正交变换。酉空间 V 的线性变换 如果满足），（） ）（） ，（ 则称 为酉空间的一个酉变换。12. 子空间正交、向量与子空间正交设 是 欧氏空间 V 的两个子空间，如果对于任意的 恒有2,1V ,2,1V（ ）= 0,则称 为正交的，记为 。一个向量 ，如果对于任意的 ，恒有2,1 211（ ）= 0,则称 与子空间 正交，记为 。1V113. 子空间的正交补子空间 称为子空间 的一个正交补，如果 ，并且 。2V1 21VV2114. 欧氏空间 V 的线性变 换如果满足)()(， 则称 为 V 的一个对称变换。 15. 向量之间的距离长度 称为向量 和 的距离。16.

5、 最小二乘解实系数线性方程0021 22212 111 nsnnn sbxxx bxxx可能无解，即任何一组实数 都可能使s,1（1）)(21 21 isiiini 不等于零。使等式（1）成立的最小实数组 称为方程组的最小二乘解。xs0201,17. 对称矩阵，Hermite 矩阵如果 ，则称矩阵 为对称矩阵。如果 ，则称矩阵 为 HermiteATAT矩阵。18. Hermite 二次型设 为 Hermite 矩阵，二次齐次函数 称为 Hermite 二次型。XxafxTnijjij121),(19. 线性函数设 是数域 上的一个线性空间， 是 到 的一个映射，如果 满足vpfvpf（1）

6、;)()(ff（2） 。k其中 是 中任意元素， 是 中任意元素，则称 是 上的一个线性函数。， v20. 对偶空间、对偶基 设 是数域 上的一个 n 维线性空间， 上全体线性函数组成的集合记作vpv。用自然的方法在 上定义加法和数量乘法， 成为)(,L)(,pL)v(,pL数域 上的线性空间，称为 的对偶空间。设 是数域 上的一个 n 维线性空间, 是 的一组基，作 上n， 21n 个线性函数 ,使得ff,21jif1,2,1,0ij njij，则 为 的一组基，称为 的对偶基。nff,21 )v(,pL，21. 双线性函数是数域 上的一个线性空间， 是 上一个二元函数，即对 中任),(fv

7、v意两个向量 ，根据 都唯一地对应于中 一个数，如果有下列性质 :， f(1) ;),(),()( 22121 fkfkkf ，(2) ;，其中 是 中任意向量，则称 为 上的一个双线性函2121， ， v),(fv数。22. 双线性函数的度量矩阵设 是数域 上 n 维线性空间 上的一个双线性函数。 是),(fpn， 21的一组基，则矩阵v叫做 在基 下的度量矩阵。,fn， 2123. 非退化的双线性矩阵设 是线性空间 上一个双线性函数，如果)(v0),(f对任意 ，可推出 ， 就叫做非退化的。V024. 对称双线性函数，反对称双线性函数是线性空间 上一个双线性函数，如果对 中任意两个向量 都

8、),(f v，有 ），（），（ ff则称 为 对称双线性函数，如果对 中任意两个向量 都有),(f v，），（），（ ff则称 为反对称双线性函数。25. 双线性函数对应的二次齐次函数 设 是数域 上的线性空间， 是 上双线性函数，当 时，vp),(f 上函数 称为与 对应的二次齐次函数。),(f ),(f26. 双线性度量空间、正交空间、准欧氏空间、辛空间设 是数域 上的线性空间，在 上定义了一个 非退化双线性函数，则称为一pv个双线性度量空间，当 是非退化对称双线性函数时， 称为 上的正交空间；当f p是 n 维实线性空间， 是非退化对称双线性函数时， 称为准欧氏空间，当 是v f非退化反

9、对称双线性函数时， 称为辛空间。基本结论1. 柯西-布涅柯夫斯基不等式欧式空间中的任意向量 有，当且仅当 线性相关时，等号才成立。，2. 度量矩阵是正定的，不同基的度量矩阵是合同的。3. n 维欧式空间中任何一个正交向量组都能扩充成一组正交基。4. 对于 n 维欧式空间中任意一组基 ，都可以找到一组正交基n， 21使， 21niLLi ,21,2121 ，其中 。kkkk ,11,1,11 ，5. 是正交矩阵nijaA AEATTT njijiji aa21 1,0ji， 当当 jnijij aaa21 10ji， 当， 当是 n 维欧氏空间 V 中两组标准正交基之间的过渡矩阵。A,其中 是正

10、交变换，Ann， 2121 是 V 的一组标准正交基。n， 216. 是 n 维欧氏空间的一组标准正交基， 21ji， 1,0jiji，基 的度量矩阵为单位矩阵。n， 21存在基准正交基 及正交矩阵 。使ne,21QQenn),()2121，（ ， 7.两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。8.设 是 n 维欧氏空间 的一个线性变换，以下四个命题是等价的：V（1） 保持内积不变，即对任意的 ， ，都有V=） ）（） ，（ ），（2） 保持向量的长度不变，即 ， ；）（3）如果 是标准正交基，那么n， 21也是标准正交基。)（，） ，（） ，（4） 在任一组标准正交基下的矩阵是正

11、交矩阵。9.如果子空间 两两正交，那么喝 时直和。sV,21 sV2110.n 维欧式空间 的每一个子空间都有唯一的正交补。11. 是实对称矩阵，则 的特性值都是实数，且属于 的不同特征值的特征向量AAA必正交。12.设 是对称变换， 是 一子空间，则 也是 一子空间。1113.对于任意一个 n 阶实对称矩阵 ，都存在一个 n 阶正交矩阵 ，使 =TA成对角形。T1A14. 任意一个实二次型 njijijjinijj axa,1,1 都可以经过正交的线性变换替换成平方和nyy21212其中平方项的系数 就是矩阵 的特征值。n， 1A15.线性方程组 的最小二乘解为满足方程组 的解 。bAX b

12、AXTTX16.埃尔米特矩阵的特征值为实数，它的处于不同特征值的特征向量必正交。17.若 是埃尔米特矩阵，则酉矩阵 ,使CT1是对角形矩阵。18.对埃尔米特二次型 XAxaTjinijjxf121),(必有酉矩阵 ，当 时CYX19.设 数域 上的 n 维线性空间， 是 的一组基， 是VPn， 21Vna,21中任意 n 个数，存在唯一的 上线性函数 ，使PVfniiaf ,21,)(20. 设 及 是线性空间 V 的两组基,它们的对n， 21 n， 21偶基 分 别 是 及 。如 果 由 ff， gg， n， 21到 的过度矩阵为 ，那么由 到 的n， 21 Anff， 21 g，过度矩阵为

13、 。121. V 是一个线性空间， 是 V 的对偶空间的对偶空间，V 到 的映射是一个同* V*构映射。22. 同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的。23. 双线性函数是非退化的充要条件为其度量矩阵为非退化矩阵。24. 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间， 是 V 上对称双线性函数，则存在 V 的),(f一组基 ，使 在这组基下的矩阵为对角矩阵。， 21 ),(f 25. 设 V 是复数域上 n 维线性空间， 是 V 上对称双线性函数，则存在 V 的),(f一组基 ，对 V 中任意向量 有n， 21 niiniiyx11,)0(,21),( nrryxf 26. 设 V 是实数域上 n 维线性空间， 是 V 上对称双线性函数，则存在 V 的),(f一组基 ，对 V 中任意向量 有n， 21 niiniiyx11,111),( rppp yxyxyxf ）（ np027. 是 n 维线性空间 V 上的反对称双线性函数则存在 V 的一组基),(f，使sr,11，基本方法1. 常用的欧式空间（1） 线性空间 ，对如下定义的内积构成欧式空间。Rnnnba,2121 ab21，（2） 线性空间 对如下定义的内积构成欧式空间。CxgfbC,dfa2. 将对称矩阵的理论、二次型的理论及对称双线性函数的理论互相转化，会给解题带来一些方便。