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1、1欧拉积分及其应用摘 要: Beta 函数与 Gamma 函数是数学分析中两个重要的积分，灵活应用这两个积分可以很好的解决数学计算中的一些问题，本文重点阐述了 Beta 函数、Gamma 函数的性质和关关系，通过举一些典型的例子来说明他们的应用.关键词: Gamma 函数；Beta 函数；含参量积分Abstract: Beta function and Gamma function is a mathematical analysis of two important points, flexible application of these two points can solve some
2、 problems in mathematical calculations, this paper focuses on the Beta function, Gamma function, the nature and relationship, through the give some A typical example to illustrate their application.Key Words: The Gamma function; The Beta function; Contain the parameter integral引言欧拉是 18 世纪数学界最杰出的人物之一
3、，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域.欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.欧拉(euler)积分是其重要贡献之一，它广义积分定义的特殊函数，在概率论与数理统计及数理方程等学科中经常用到，本文重点阐述 Beta 函数、Gamma 函数的性质，揭示二者所具有的关系及在数学分析、概率统计等学科中的应用，从而使复杂的题目有了更简单易懂的解决方法，同时这也揭示了数学的不同学科之间的密切联系，在提高解题能力的同时，也加深对数学的理解和应用. 11(,)(),0pqBqx称为贝塔（Beta）函数， （或写作 函数）.10,sx
4、e称为格马（Gamma）函数， （或写作 函数）.2贝塔函数与格马函数在应用中经常出现，它们统称为欧拉积分，前者是第一类欧拉积分，后者是第二类欧拉积分.1. 函数及其相关性质B1.1 函数的定义域= ，当 时 0x为瑕点，当 时 1x为瑕点，(,)pq110()pqxpq定义域为 .,任何 ，在 内， 一致收敛，故0,0q110()pqx函数在定义域 内连续.B,qp1.2 函数的性质性质 1.2.1 (对称性).(,)(,)Bpq作变换 ， = = .yx1110qx10()pqyd),(pB性质 1.2.2 （递推公式）= , ， （1）(,)Bpq(1)Bpq(1,q)， ， （2）,
5、,0,， . （3）(1)(,)(1,)2)qpBpBq)1,(qp当 时，有1,0q=(,)p110()pqx= +10P20()pqxdx= 1201pqqx= 12110 0()()pqpqdxxdP= ，,(,)qBB3移项整理即得（1）.公式（2）可由对称性及公式（1)推得，而公式（3）则可由公式（1） ， （2）推得.性质 1.2.3 （其他形式）在应用上， 也常以如下形式出现),(qpB(1) 令 ，则有2cosx= ；(,)110()pqx21210sincosqpd(2) 令 ,则有yxy2()d= = ；(,)Bpq110pqx10()pqyd(3) 考察 .令 ，则有11
6、()pqydyt= = .10()pqy10()pqyd(,)Bp2. 函数及其相关性质2.1 函数的定义域，10,0sxed1、积分区间为无穷；2、当 时， 为瑕点；0sx3、当 时， 收敛.)(s写 函数为如下两积分之和：=10sxed110ssxxeded，)(JI其中 ， .10()sxIed1sxe当 时， 为正常积分；当 时， 为收敛的无界函数反常)(I0)(sI积分. 对任何实数 ，都是收敛的，特别是 时收敛.)(sJs4所以， 函数 在 时收敛 .10sxed0s2.2 函数的性质性质 2.2.1 对任意 ， 且 .s()s(1)性质 2.2.2 对任意 成立.(1)0证明 有
7、分部积分法得：= = +()s0sxed0sx1sxed= .(性质 2.2.3 是 上的凸函数.log()s,)证明 只要证明对 ， =1， ， 有不等式1p1pq1s2(0,)+ .2log()s1log)2lsq事实上，由 Holder 不等式即得= =12()spq12()0spqxed1210()()ssxxpqed121100()()ssxxpq= ，12()spq性质得证.出乎意料的是， 函数的以上三条性质完全确定了 函数.这就是说，任意定义在 上的函数，如果具有上面三条性质，那么它一定是 函数.这个意(0,)想不到的结果是由 Bohr 和 Mollerup 首先发现的.性质 2
8、.2.4（图像）设 ，即 ，应用性质 2 可得到1ns10ns)1()(s（1）.n若 为正整数 ，则（1）式可以写成sn. （2）!)1(2)()( 0dxe5对一切 ， 和 恒大于 0，因此 的图形位于 轴上方，且是0s()s ()sx向下凸的.因为 ，所以 在 上存在唯一的极小点 且12()s0.又 在 内严格减；在 内严格增 .0(,2)x(s0,)x0,)x由于 = = （ ）及 ，故有(ss0lim(1)(s.00(1)lim()liss由（2）式及 在 上严格增可推得()s,x.li()s综上所述， 函数的图像如下图 部分所示.0性质 2.2.5 （延拓）改写递推公式 为(1)(
9、ss.(1)s当 时， 有意义，于是可应用它来定义左端函数 在 内10s()s ()s1,0)的值，并且可推得这时 .0用同样的方法，利用 已在 内有定义这一事实，由()s1,)又可定义 在 内的值，而且这时 .依此下去可把(1)s2()0s延拓到整个数轴（除 以外） ，其图像如上图所示. 0,3s性质 2.2.6 （其他形式）在应用上， 也常以如下形式出现()(1) 令 ，则有2xy6= ；)(s10sxeddxes21(0)s(2) 令 ，可得pyx= .)(s10sxe10sspye(,)s3. 函数与 函数的关系B当 为正整数时，反复应用 函数的递推公式可得,mnB1(,)(,)nBm
10、= .21(,)B又由于 ，所以10(,)mxd1(,)(,)nBm21(,)B1n- +，()!m即 .()(,nB对于任何实数 也有关系式：0,qp. ()(,pq4. 欧拉积分的应用4.1 欧拉积分在定积分中的应用例 1 计算积分 ， .dxkxcos1sin0 )10(k分析 这道题目被积函数形式复杂，若变化技巧使用不当，则导致计算过程极为复杂，甚至无从下手.这里，我们不妨转化为欧拉积分计算.7解 令 ，则有 .2tan12tanxk2tan12tankx利用三角恒等式可得， ， .tkxcos1cstkxkcos1cs2dtkdxcos12将其代入原式得 dxkxcos1sin0 d
11、tkttkcos12cs12204ttk2i)(10243 tk220431sin)(),1()1(243Bk)431()(431k4sin2)(43k. 431)(2k4.2 欧拉积分在级数计算中的应用例 2 计算级数 的和.012n分析 这是一道级数的计算问题，采用普通方法计算，其过程将会很复杂，我们可以利用欧拉积分试一试.解 = 012n11!()!()2n= 11()(,)2nnB8= 110()ntdt由于当 时， ，所以01t4t110()(nnt因而级数 在0,1上一致收敛，于是有11()nt= =20n110()ntdt101()nntdt= =10()t120t= .34.3
12、 欧拉积分在概率和数理统计中的应用例 3 设 ，求 .)(2nXEX分析 这是一道求卡方分布的期望的问题，我们可以令 ，将其转化tx2为欧拉积分.解 dxenxdxfEX2120)()( tetnnt 0222x)()(1令 dtetnn0122)()()2( )()2(n.n9例 4 证明概率积分 .202dxe分析 我们知道，著名的概率积分 及其推广形式 的dxe02 dxen02计算是至关重要的，其计算多数采用泰勒公式或转化成二重积分来处理，一般来说，过程比较复杂.但若令 ，将其转化成欧拉积分，再利用拉积分的性2xy质，则可以迅速获得结果.解 令 ，则 ，2xydyxy2121,所以dy
13、edxey21002.)21(结束语通过以上对 函数 函数的性质、特点及其应用的探讨，我们对 函数B B函数已经有了一些大致的了解，这些都是最基本的 .在数学分析中， 函数与函数是两个非常重要的非初等函数，人们曾经对此进行了细致的研究，如同三角函数和对数函数那样，还专门制作了 函数和 函数表.在以后的学习中我B们将继续研究 函数 函数的重要性质,这次就简单介绍到这里 .B10参考文献1 华东师范大学数学系. 数学分析.M. 北京:高等教育出版社,2001.2 毛信实,董延新. 数学分析.M. 北京:北京师范大学出版社,1900.3 郑英元,毛羽辉,宋国栋. 华东师范大学数学系,数学分析.M. 北京:高等教育出版社,1900.4 北京大学数学系 .数学分析.M. 北京:高等教育出版社,1986.5 常庚哲,史济怀. 数学分析教程.M. 江苏:江苏教育出版社,1998.6 何琛,史济怀,徐森林. 数学分析.M. 北京: 高等教育出版社,1983.7 沐定夷. 数学分析.M. 上海:上海交通大学出版社,1993.
