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1、11牛顿第二定律内容：物体的加速度跟物体所受的合外力 F 成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。而以物理学的观点来看，牛顿运动第二定律亦可以表述为“物体随时间变化之动量变化率和所受外力之和成正比” 。即动量对时间的一阶导数等于外力之和。 牛顿第二定律说明了在宏观低速下，Fa ，Fm，用数学表达式可以写成F=kma ，其中的 k 是一个常数。但由于当时没有规定 1 个单位的力的大小，于是取 k=1，就有F=ma，这就是今天我们熟悉的牛顿第二定律的表达式。英 文 名 称 ： Newtons Second Law of Motion-Force and Acceleration
2、1 公 式F 合 =ma （ 单 位 ： N（ 牛 ） 或 者 千 克 米 每 二 次 方 秒 ）牛 顿 发 表 的 原 始 公 式 ： F=d(mv)/dt（ 见 自 然 哲 学 之 数 学 原 理 ）动 量 为 p 的 物 体 ， 在 合 外 力 为 F 的 作 用 下 ， 其 动 量 随 时 间 的 变 化 率 等 于 作 用 于 物体 的 合 外 力 。用 通 俗 一 点 的 话 来 说 ， 就 是 以 t 为 自 变 量 ， p 为 因 变 量 的 函 数 的 导 数 ， 就 是 该 点所 受 的 合 外 力 。即 ： F=dp/dt=d(mv)/dt （ d 即 德 尔 塔 ， ）
3、而 当 物 体 低 速 运 动 ， 速 度 远 低 于 光 速 时 ， 物 体 的 质 量 为 不 依 赖 于 速 度 的 常 量 ， 所 以有F=m(dv/dt)=ma这 也 叫 动 量 定 理 。 在 相 对 论 中 F=ma 是 不 成 立 的 ， 因 为 质 量 随 速 度 改 变 ， 而F=d(mv)/dt 依 然 使 用 。由 实 验 可 得 在 加 速 度 一 定 的 情 况 下 F m,在 质 量 一 定 的 情 况 下 F a(只 有 当 F 以 N,m 以 kg， a 以 m/s2 为 单 位 时 ， F 合 =ma 成 立 ）2 几 点 说 明（ 1） 牛 顿 第 二 定
4、 律 是 力 的 瞬 时 作 用 规 律 。 力 和 加 速 度 同 时 产 生 ， 同 时 变 化 ， 同时 消 失 。（ 2） F=ma 是 一 个 矢 量 方 程 ， 应 用 时 应 规 定 正 方 向 ， 凡 与 正 方 向 相 同 的 力 或 加 速度 均 取 正 值 ， 反 之 取 负 值 ， 一 般 常 取 加 速 度 的 方 向 为 正 方 向 。（ 3） 根 据 力 的 独 立 作 用 原 理 ， 用 牛 顿 第 二 定 律 处 理 物 体 在 一 个 平 面 内 运 动 的 问 题时 ， 可 将 物 体 所 受 各 力 正 交 分 解 ， 在 两 个 互 相 垂 直 的 方
5、 向 上 分 别 应 用 牛 顿 第 二 定 律 的分 量 形 式 ： Fx=max， Fy=may 列 方 程 。4.牛 顿 第 二 定 律 的 六 个 性 质 ：（ 1） 因 果 性 ： 力 是 产 生 加 速 度 的 原 因 。 若 不 存 在 力 ， 则 没 有 加 速 度 。（ 2） 矢 量 性 ： 力 和 加 速 度 都 是 矢 量 ， 物 体 加 速 度 方 向 由 物 体 所 受 合 外 力 的 方 向 决定 。 牛 顿 第 二 定 律 数 学 表 达 式 F = ma 中 ， 等 号 不 仅 表 示 左 右 两 边 数 值 相 等 ， 也 表 示方 向 一 致 ， 即 物 体
6、 加 速 度 方 向 与 所 受 合 外 力 方 向 相 同 。根 据 他 的 矢 量 性 可 以 用 正 交 分 解 法 将 力 合 成 或 分 解 。（ 3） 瞬 时 性 ： 当 物 体 （ 质 量 一 定 ） 所 受 外 力 发 生 突 然 变 化 时 ， 作 为 由 力 决 定 的 加速 度 的 大 小 或 方 向 也 要 同 时 发 生 突 变 ； 当 合 外 力 为 零 时 ， 加 速 度 同 时 为 零 ， 加 速 度 与 合外 力 保 持 一 一 对 应 关 系 。 牛 顿 第 二 定 律 是 一 个 瞬 时 对 应 的 规 律 ， 表 明 了 力 的 瞬 间 效 应 。（ 4
7、） 相 对 性 ： 自 然 界 中 存 在 着 一 种 坐 标 系 ， 在 这 种 坐 标 系 中 ， 当 物 体 不 受 力 时将 保 持 匀 速 直 线 运 动 或 静 止 状 态 ， 这 样 的 坐 标 系 叫 惯 性 参 照 系 。 地 面 和 相 对 于 地 面 静止 或 作 匀 速 直 线 运 动 的 物 体 可 以 看 作 是 惯 性 参 照 系 ， 牛 顿 定 律 只 在 惯 性 参 照 系 中 才 成立 。2（ 5） 独 立 性 ： 物 体 所 受 各 力 产 生 的 加 速 度 ， 互 不 干 扰 ， 而 物 体 的 实 际 加 速 度 则 是每 一 个 力 产 生 加 速
8、 度 的 矢 量 和 ， 分 力 和 分 加 速 度 在 各 个 方 向 上 的 分 量 关 系 ， 也 遵 循 牛 顿第 二 定 律 。（ 6） 同 一 性 ： a 与 F 与 同 一 物 体 某 一 状 态 相 对 应 。3. 牛 顿 第 二 定 律 的 适 用 范 围1.当 考 察 物 体 的 运 动 线 度 可 以 和 该 物 体 的 德 布 罗 意 波 长 相 比 拟 时 ， 由 于 测 不 准 原 理 ，物 体 的 动 量 和 位 置 已 经 是 不 能 同 时 准 确 获 知 的 量 了 ， 因 而 牛 顿 动 力 学 方 程 缺 少 准 确 的 初始 条 件 无 法 求 解 。
9、 也 就 是 说 经 典 的 描 述 方 法 由 于 测 不 准 原 理 已 经 失 效 或 者 需 要 修 改 。 量子 力 学 用 希 尔 伯 特 空 间 中 的 态 矢 概 念 代 替 位 置 和 动 量 （ 或 速 度 ） 的 概 念 来 描 述 物 体 的 状态 ， 用 薛 定 谔 方 程 代 替 牛 顿 动 力 学 方 程 （ 即 含 有 力 场 具 体 形 式 的 牛 顿 第 二 定 律 ） 。用 态 矢 代 替 位 置 和 动 量 的 原 因 是 由 于 测 不 准 原 理 我 们 无 法 同 时 知 道 位 置 和 动 量 的 准确 信 息 ， 但 是 我 们 可 以 知 道
10、 位 置 和 动 量 的 概 率 分 布 ， 测 不 准 原 理 对 测 量 精 度 的 限 制 就 在于 两 者 的 概 率 分 布 上 有 一 个 确 定 的 关 系 。2.由 于 牛 顿 动 力 学 方 程 不 是 洛 伦 兹 协 变 的 ， 因 而 不 能 和 狭 义 相 对 论 相 容 ， 因 而 当 物体 做 高 速 移 动 时 需 要 修 改 力 ， 速 度 ， 等 力 学 变 量 的 定 义 ， 使 动 力 学 方 程 能 够 满 足 洛 伦 兹协 变 的 要 求 ， 在 物 理 预 言 上 也 会 随 速 度 接 近 光 速 而 与 经 典 力 学 有 不 同 。但 我 们
11、仍 可 以 引 入 “惯 性 ”使 牛 顿 第 二 定 律 的 表 示 形 式 在 非 惯 性 系 中 使 用 。例 如 ： 如 果 有 一 相 对 地 面 以 加 速 度 为 a 做 直 线 运 动 的 车 厢 ,车 厢 地 板 上 放 有 质 量为 m 的 小 球 ,设 小 球 所 受 的 合 外 力 为 F,相 对 车 厢 的 加 速 度 为 a,以 车 厢 为 参 考 系 ,显 然牛 顿 运 动 定 律 不 成 立 .即F=ma不 成 立若 以 地 面 为 参 考 系 ,可 得F=ma 对 地式 中 ,a 对 地 是 小 球 相 对 地 面 的 加 速 度 .由 运 动 的 相 对 性
12、 可 知a 对 地 =a+a将 此 式 带 入 上 式 ,有F=m(a+a)=ma+ma则 有 F+(-ma)=ma故 此 时 ,引 入 Fo=-ma,称 为 惯 性 力 ,则 F+Fo=ma此 即 为 在 非 惯 性 系 中 使 用 的 牛 顿 第 二 定 律 的 表 达 形 式 .由 此 ,在 非 惯 性 系 中 应 用 牛 顿 第 二 定 律 时 ,除 了 真 正 的 和 外 力 外 ,还 必 须 引 入 惯 性 力Fo=-ma,它 的 方 向 与 非 惯 性 系 相 对 惯 性 系 (地 面 )的 加 速 度 a 的 方 向 相 反 ,大 小 等 于 被 研究 物 体 的 质 量 乘
13、以 a。注 意 ：当 物 体 的 质 量 m 一 定 时 ， 物 体 所 受 合 外 力 F 与 物 体 的 加 速 度 a 是 成 正 比 的 是 错误 的 ， 因 为 是 合 力 决 定 加 速 度 。 但 当 说 是 物 体 的 质 量 m 一 定 时 ， 物 体 的 加 速 度 a 与物 体 所 受 合 外 力 F 成 正 比 时 则 是 正 确 的 。解 题 技 巧 ：应 用 牛 顿 第 二 定 律 解 题 时 ， 首 先 分 析 受 力 情 况 ， 运 动 图 景 ， 列 出 各 个 方 向 （ 一 般 为正 交 分 解 ） 的 受 力 的 方 程 与 运 动 方 程 。同 时 ，
14、 寻 找 题 目 中 的 几 何 约 束 条 件 （ 如 沿 绳 速 度 相 等 等 ） 列 出 约 束 方 程 。 联 立 各 方程 得 到 物 体 的 运 动 学 方 程 ， 然 后 依 据 题 目 要 求 积 分 求 出 位 移 、 速 度 等 。34.牛 顿 第 二 定 律 的 应 用牛 顿 第 二 定 律 是 经 典 力 学 的 基 础 和 核 心 ， 是 分 析 、 研 究 和 解 决 力 学 问 题 的 三 大 法 宝之 一 ， 同 时 也 是 高 考 考 查 的 重 点 和 热 点 。 因 此 ， 深 刻 理 解 和 灵 活 应 用 牛 顿 第 二 定 律 是 力学 中 非 常
15、 重 要 的 内 容 ， 下 面 阐 述 应 用 牛 顿 第 二 定 律 时 的 几 类 典 型 问 题 ， 供 大 家 参 考 。一 、 连 接 体 问 题两 个 或 两 个 以 上 物 体 相 互 连 接 并 参 与 运 动 的 系 统 称 为 有 相 互 作 用 力 的 系 统 ， 即 为 连接 体 问 题 ， 处 理 非 平 衡 状 态 下 的 有 相 互 作 用 力 的 系 统 问 题 常 常 用 整 体 法 和 隔 离 法 。当 需 要 求 内 力 时 ， 常 把 某 个 物 体 从 系 统 中 “隔 离 ”出 来 进 行 研 究 ， 当 系 统 中 各 物 体加 速 度 相 同
16、时 ， 可 以 把 系 统 中 的 所 有 物 体 看 成 一 个 整 体 进 行 研 究 。例 1： 如 图 1 所 示 的 三 个 物 体 质 量 分 别 为 m1、 m2 和 m3。 带 有 滑 轮 的 物 体 放 光滑 水 平 面 上 ， 滑 轮 和 所 有 接 触 面 的 摩 擦 以 及 绳 子 的 质 量 均 不 计 。 为 使 三 个 物 体 无 相 对 滑动 ， 试 求 水 平 推 力 F 的 大 小 。解 答 ： 本 题 是 一 道 典 型 的 连 接 体 问 题 。由 题 意 可 知 ， 三 个 物 体 具 有 向 右 的 相 同 的 加 速 度 ， 设 为 a， 把 它 们 三 者 看 成 一 个整 体 ， 则 这 个 整 体 在 水 平 方 向 只 受 外 力 F 的 作 用 。由 牛 顿 第 二 定 律 ， 即 ：F=（ m1+m2+m3） a 隔 离 m2， 受 力 如 图 2 所 示在 竖 直 方 向 上 ， 应 有 ： T=m2g 隔 离 m1， 受 力 如 图 3 所
