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1、第四章 空间Hilbert一内积空间的基本概念设 是域 上的线性空间，对任意 ，有一个中HKy,x数 与之对应，使得对任意 ； 满足),(yxzK1） ； 0，当且仅当 ；)y,x(02） ；),(_3） ；,4） ；z,)(z,称 是 上的一个内积， 上定义了内积称为内积空间。)(,H定理 1.1 设 是内积空间，则对任意 有：Hyx,。|)y,x(|2)(,设 是内积空间，对任意 ，命,|则 是 上的一个范数。|H例设 是区间 上所有复值连续函数全体构成的线性,ba空间，对任意 ，定义yxdtyxba_)(),(则与 类似， 是一个内积，由内积产生的范数为,2L21)|(|bat上一个内积
2、介不是 空间。Hilert定理 1.2设 是内积空间，则内积 是 的连续H),(yx,函数，即时 ， ， 。xnynn定理 1.3设 是内积空间，对任意 ，有以下关H,系式成立，1） 平行四边形法则： 2 ；2|yx|)|(22yx2） 极化恒等式： （ ),(42| 2|2|i|2iyx定理 1.4设 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法X则，则可在 中定义一个内积，使得由它产生的范数正是中原来的范数。二正交性，正交系1 正交性设 是内积空间， ，如果 ，称 与HHyx, 0),(yx正交，记为 。y设 是 的任意子集，如果 与 中每一元正交，MM称 与 正交，记为 ；如果 是 中两个子集，
3、xN,对于任意 ，称 与 正交，记,yyx。设 是 的子集，所有 中与 正交的元的全体NH称为 的正交补，记为 。M定理 2.1设 是内积空间H1） 如果 ， 且 ，则 z,yxzyx2|x ；2|2|2） 如果 是 的一个稠密子集，即 ，并且LHL_，则 ；03） 是 的任意子集，则 是 的闭子空间。MH定理 2.2设 是内积空间 中的完备凸集，则对任意，存在 ，使得x0|0x),(d|infyxMy定理 2.3（正交分解）设 是 空间 的闭子空间，lbertH则对任意 ，存在唯一的 及 ，使得H0y2 正交系设 ， 是内积空间 中的子集，如果 时xI，称 , 是中的一个正交系。设 ,0),
4、(y x是一个正交系，如果对每一上 ， ,称 ,II1|是一个标准正交系。设 ， 是 的一个正交系，如果包含它的最小闭xIH子空间是全空间 ，称 , 是的正交基。xI定理 2.4设 是内积空间 中的标准正交系，ne， 是 个数，则当且当仅Hxn,.1 ),(kkex时， 取最小值。)(k|1nkkex定理 2.5（ 不等式）设 是内积空间 中的标准BslnH正交系，则对任意 ，有 122|),(|kkxe定理 2.6设 是内积空间中的一个标准正交系，则n是完备的，当且仅当 张成的子空间 在 中稠密。nenL定理 2.7设 是 空间， 是 中的标准正交HilbertnH系，则 是完备的，当且仅当
5、 是完全的。n n定理 2.8设 是 空间， 是 中的标准正交iltn系， ，则存在 ，使得2lnx),(kke,.)21并且 212|xk定理 2.9（正交化定理）设 是内积空间 中的可数子集，nH则在 中存在标准正交系 ，使得 与 张成的子空间Henne相同。3 可分空间的同构定理 2.10设 是任一可分的无穷维的 空间，则存Hilbert在 上到 同构映射 ，且 保持内积。H2l这个定理表示任何一个无穷维中分空间可以表示为“坐标形式” 2l三 表示定理， 空间的共轭空间RieszHilbert1 表示定理定理 3.1（ 表示定理）设 是 空间， 是ieszilbertf上任意有界线性泛函
6、，则存在唯一的 ，使得对于每一个yf，有 ，并且有 。x),()fyxf|f2 空间的共轭空间设 是 空间， ，于是对任意 ，Hilbert)(HAy易见 是 上的一个有界线性泛函，因此由),(yAx表示定理，存在唯一的 ，使得Rieszz （1）,),(x)定义 。By定义设 是 空间， ，把（1）式确定的Hilbert(HA有界线性算子 称为 的共轭算子。注意区别第三章第四节中定义 上的有界线性算子 的共轭A算子 。*A以后说到 空间 上的有界算子的共轭算子 均指ilbert（1）定义的算子 ，并且把它记为 ，即 的共轭算子 是由B* *下式定义的算子：。),(),(),( HyxAyx
7、定义设 是 空间， 是 上的有界线性算子，如果Hilbert ，即对任意*A,),()(y则称 是自共轭算子。设 是 空间 的有界共轭算子，以下是算子 的一些ilbert A简单性质。1） 对任意 ， 是实的。Hx),(xA2） |sup|1|x3） 算子 的特征值是实的。4） 对应于算子 的不同特征值 的特征向量 是正交21,21,x的。四 空间中的自共轭紧算子Hilbert引理 4.1设 是 空间， 是 上的有界共轭算子，ilbertAH如果存在 ， ，使得泛函 在x01|0|),(|)|x点达到极大，则由 可推出0 ),(y0。),(yA,0定理 4.2 设 是 空间 上SchmidtHilbertilbert的自共轭紧算子，则存在对应于特征值 的特征向量n)0(构成的标准正交系 ，使得每一元 可唯一地表示为n Hx，0xek其中 ，即满足 ，同时)(0Ax0kk并且如果 是无穷的，则 0。nenlim
