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1、2.1如图所示U(x)U0左 右1() 2()0 x设粒子的能量为 ， 下面就 和 两种情况来讨论 0 U0此时，粒子的波函数 所满足的定态薛定谔方程为()212+121=0222+222=0其中12=22 , 22=22(0)其解分别为1()=1+12()=2+2（1）粒子从左向右运动右边只有透射波无反射波，所以 为零由波函数的连续性1()|=0=2()|=0得 +=1|=0=2|=0得 11=2解得=121+2= 211+2由概率流密度公式=2()入射=1|2=1|2 ,=2 |2反射系数 =|2=(121+2)2透射系数 =|2=21( 211+2)2（2）粒子从右向左运动左边只有透射波
2、无反射波，所以 为零同理可得两个方程+=22=1解 =212+1= 222+1=2|2=2|2 ,=1 |2反射系数=|2=(212+1)2透射系数=|2=12( 222+1)2（二） 的情形E0在中间区域所满足的定态薛定谔方程为22+2=02=22其解是 ()=sin(+)由波函数连续性条件得sin()=0sin(+)=0 =1 ,+=2=(12)=1,2,3,4 =22222相应的 =()=sin(+1)=sin()因为正负号不影响其幅度特性可直接写成()=sin()由波函数归一化条件得0|()|2=20sin2()=201cos22 =22=1 =2所以波函数 ()=2sin()（ 2）
3、 ()左 中 右 0 x2 2显然 =0时只有中间有值0在中间区域所满足的定态薛定谔方程为22+2=02=22其解是 ()=sin(+)由波函数连续性条件得sin(2 +)=0sin(2+)=0 2 +=1 ,2+=22=(1+2)=2当 ， 为任意整数 ，=2 =则 =2(1)=2(2)=21, 1=1,2,3当 ， 为任意整数 ，=2+1 =+2则 =2(1)+=2(2+1)+=(21+1)综合得 =,=1,2,3 =22222当 时 ， ，=21 =波函数 ()=sin()归一化后 ()=2sin()当 时 ， ，=21+1 =+2波函数 ()=cos()归一化后 ()=2cos()2.
4、4如图所示 ()0左 中 右 0 a显然 =0在中间和右边粒子的波函数 所满足的定态薛定谔方程为()22+12=02222=0其中 12=22 , 22=22(0)其解为 ()=sin(1+)()=2+2由在右边波函数的有界性得 为零 ()=sin(1+)()=2再由连续性条件，即由()|=0=()|=0得 sin()=0则 ()=sin(1)()|=()|=得 sin(1)=2 (I) |=|=得 1cos(1)=22 () 除以 得() (I)1cot(1)=21=n+cot1(21)再由公式 ,注意到 cot1=sin1 11+2 12+22=2201=sin1 120令 1=1, 1=
5、sin1120, 则 1=20sin(1)其中 ， 不同 n 对应不同曲线 ,20图中只画出了在 的取值范围之内的部分111=16 n=65 n=5n=44n=3 3n=22n=1 0 n=020 1只能取限定的离散的几个值，则 E 也取限定的离散的几个值，1对每个 E， 确定1， 2()=sin(1)()=sin(1)22归一化条件得0|()|2+|()|2=20sin2(1)+2sin2(1)2222=201cos(21)2 +2sin2(1)22 =22141sin(21)+122sin2(1)=221412tan(1)+tan2(1)+122tan2(1)1+tan2(1)=22+14
6、1212+(12)2+122(12)21+(12)2=22+122=1=(2+122)122.5()=122(2+22)=122(+2)2( 2)2=122(+2)21222则该一维谐振子的波函数的定态薛定谔方程为22+22+1222122(+2)2=0令 =+1222=+2则上式可化成22+221222=0令 = = =2则22+(2)=0只有当 有解1=2()=122()=+1222=(+12)()=12()2()=(+12)1222 n=0,1,2,3 ()=122(+2)2(+2)= 2!2.6由 和已知条件可得()=2!122()第三章3.1能量本征值方程为 H=即22(22+22)=122(2+2)分离变量法，令 = =+则有+22(1222)=0 +22(1222)=0 令 = = =2则22+(2)=01=2=12() 2( )=(+12) =0,1,2,3同理 =12() 2( )=(+12) =0,1,2,3令 则=+=+=(+1)=(+1) =0,1,2,3=12() 212() 2( )( ) =0,1,2式中= 2!能级简并度为 +13.2角动量算符 =（ +） (+)在极坐标系下 =则 H=22由能量本征值方程 H=22+22
