《量子力学考研模拟题参考答案[1]1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学考研模拟题参考答案[1]1（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 量子力学考研模拟题参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：)(EtrpiAe2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：)()(211212qqA 。4、 )(2xxpi= xxxx pipii , ，因为 x是厄密算符，所以是厄密算符。5、设 F和 G的对易关系 kiFG， 是一个算符或普通的数。以 F、和 k依次表示 、 和 在态 中的平均值，令 ，则有 422k)(，这个关系式称为测不准关系。坐标 x和动量 xp之间的测不准关系为：
2、 2xp二、解 1、由于 12A，所以算符 A的本征值是 1，因为在 A 表象中，算符A的矩阵是对角矩阵，所以，在 A 表象中算符 的矩阵是： 10)(设在 A 表象中算符 B的矩阵是 21)(b，利用 AB得：021b；由于 12，所以 021b2110221b，21；由于 B是厄密算符， B， 12b*12*12令 ieb，其中 为任意实常数，得 在 A 表象中的矩阵表示式为：0)(iiAB2、类似地，可求出在 B 表象中算符 A的矩阵表示为： 0)(iieBA在 B 表象中算符 A的本征方程为： 0iie，即 i 0iie 和 不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 i12 1对
3、 1有： iAe，对 有： 2iAe所以，在 B 表象中算符 的本征值是 1，本征函数为 1i和 2ie3、类似地，在 A 表象中算符 B的本征值是 ，本征函数为i和 1i从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵就是将算符 B在 A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 12iieS三、解： 已知氢原子的本征解为：)3,21(120naeEsn),(),(lmnlnlmYrRr，将 ),(r向氢原子的本征态展开，1、 0=lnc，不为零的展开系数只有三个，即2)(20c， 21)(310， 21)0(c，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为： 54，于是归一化的展开系数为：5142
4、)0(21c， 521)0(3c， 5241)0(21c（1）能量的取值几率3,2EW， ,(3EW，平均值为： 325（2） 2L取值几率只有： 1)0,(2，平均值 2L（3） z的取值几率为： 53),(W， 52)0,(W，平均值5z2、 0t时体系的波函数为： ),(tr=nlmnnl tEirc)exp(),()0)exp(),()0)exp(,0),() 331212121 tirctEicrc exp,5)(),(5,5 310220 tirtir 由于 E、 2L和 z皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与 t时的结果是一样的。四、解：（1） H的本征值是方
5、程 0)det(IH的根)34203 22CCC结果： 2， 21，这是 的精确解。（2）根据题意，体系能级的二级修正可写为： )2()1()0(nnEE由题设可知：能量的一级修正为： 01H， 2， H3对于二级修正，有： )(2)(3)(1)(2)0(1)2( CCE2)(3)0()(23)0(1)(2)( CEH)()(3)()(3)( 所以， 1， 2E， C3将 2C展开： )2(2C12， ， 1（3）对比可知，根据微扰公式求得的能量二级修正值，与精确求解的结果是吻合的。五、解：02)(21iiSSyx，121 iiyx 2)2(1 iiSSyx 01212 iiyx所以 S和 分别作用于 zS的本征态 01和 2的结果是021S， 21S， 21S，0S结果表明：称 为自旋升算符是合理的，因为它将 z方向的自旋从 2增加到。同样，称 为自旋降算符，因为它将 方向的自旋从 降到 。S和 容许我们从 zS的一个本征态跳跃到另一个本征态，它们在自旋的计算中是非常有用的。
