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1、量子力学考试题(共五题,每题 20 分)1、扼要说明:(a)束缚定态的主要性质。(b)单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。2、设力学量算符(厄米算符) F, G不对易,令 Ki( FG-GF) ,试证明:(a) K的本征值是实数。(b)对于 的任何本征态 , K的平均值为 0。(c)在任何态中 2F+G3、自旋 /2 的定域电子(不考虑“轨道”运动)受到磁场作用,已知其能量算符为 SHH zS+x( ,0, )(a)求能级的精确值。(b)视 x项为微扰,用微扰论公式求能级。4、质量为 m 的粒子在无限深势阱(00 ,即 2+ 3、(a),(b)各 10 分(a) H zS+x 10
2、+ 2 01 2 E , ba ,令 E 2,则 0, 2- - 20 2,E 1-2,E 2当 , 2 (1+ ) 1/2(1+ ) + 2E1- +2 ,E 2 +2(b) H zS+x H0+ , 0zS, HxS0本征值为,取 E1(0) -,E2(0) 1相当本征函数(S z 表象)为 1(0) , 2(0) 则 H之矩阵元(S z 表象)为1H=0, 2=0, 12H 1 E1E 1(0) + 1+ )0(2)(E- +0-4- -24E2E 2(0) + 2H+ )0(1)( +214、E 1 2ma, )(1x sinaxax,0xda02 2sin0dxp-i ax01-i
3、ax00)sin(x-i aa adid001(ii2axi02)(sini12ai-dx02i0+ adxh021四项各 5 分5、 (i) , (ii)各 10 分(i)s 0,为玻色子,体系波函数应交换对称。 ),(21r有: )(1ra2, )(1rb2, )(1rc2c,aa c c ab c c b共 6 种。(ii)s 21,单粒子态共 6 种:0a, a, 0b, 1b, 0c, 1c。任取两个,可构成体系(交换)反对称态,如 2121 0)()(0)()(21 rrrr abba )(ba- )(21ab21体系态共有 526C种或: a, b, c三种轨道态任取两个,可构成一种轨道对称态21)(21r+ )(21ra及一种反对称态 2)(21rba-)(rab,前者应与自旋单态 x00 相乘,而构成体系反对称态,共3 种。后者应与自旋三重态 x11, x10 ,x 1-1 相乘而构成体系反对称态,共 339 种。但轨道对称态还有 )(1ra2型,共 3 种型,各与自旋单态配合,共 3 种体系态,故体系态共 3+3+915 种。