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1、第二章 线性连续系统的运动分析,给定问题:,线性系统响应： 自由运动（零输入响应）； 强迫运动（零状态响应）。,2-1 线性系统的运动分析,响应为：,通常 t0=0, 即给定：,响应为：,eAt 称为矩阵指数函数。,自由运动,考虑 u(t)=0 .,证明()式:,设,代入方程,eAt 对任何t 都收敛。, 矩阵指数eAt的性质,证明：(1) 按定义，,先证明(3)、(4)，可套出(2)。,(2) 在性质(4)中，令 t1=t , t2= -t,(7) 对于非奇异阵M,有,(M-1AM)k =M-1AkM,因此，,3. 强迫运动,一般情况：,系统（完全）响应：,2-2 的计算方法,方法1: La
2、place 变换法,考虑,取Laplace变换：,定义,知 (t) = eAt,(t) = eAt 线性定常系统的状态转移矩阵。,因此有:,例: 已知系统矩阵,试用拉氏变换法求eAt .,对上式取拉氏反变换即得:,方法2: 无穷级数法,在一些特殊情况下，可利用eAt的定义来求得解析解。,则,根据eAt的性质(3)，有,例: 已知系统矩阵,试用无穷级数法求eAt .,方法3: 特征值与特征向量法（特征值相异）,关键：求非奇异变换阵M,变换为对角线规范型。,例: 试将状态方程,解：.求特征值：,. 求特征向量和变换矩阵M,=-1对应的e1,例:,特征向量,特征多项式：,特征方程：,i (i=1,2
3、, ,n)是A的特征值。,当A为某系统,则 i 就是该系统的自然频率（振型，模态），满足方程,的系统矩阵时，,列向量ek称为对应于特征值k的一个特征向量； kI-A称为A的特征矩阵。,定理 若A=(ij)nn有几个相异的特征值1, 1, , n , 则,其中 M=e1，e2，, en模式矩阵。,ek为k (1kn) 的特征向量。,证：,求ek的一种方法,其中，,的第j行第m列的代数余子式,上述结论的原理:,i),都是齐次方程,的解,因此，,只差一个系数，即,ii) 按Laplace行列式展开公式,又，齐次方程,有非零解,因此，总有,即：（*）式总成立,jm(m = 1, , n)，按第j行展开
4、的n个代数余子式。,例,特征值：,特征向量求取：,任选j=1，得：,选j=2，得:,方法4: 待定系数法,当用待定系数法求距阵指数eAt时，会涉及到以下三个问题：,(1) 凯利哈密(Cayley-hamilton)定理,依次类推 An , An+1, A n+2 都可以用An-1, An-2， A，I的线性组合来表示。,如此可得出如下结论：A的所有等于和大于n的高次幂都可以用A的（n-1）次多项式来表示。,改写成有限项表达式，这是因为当kn时的所有高次幂项都是不独立的，即都可以用An-1, An-2 A，I的线性组合来表示。 只不过我们要确定这种组合中的各个系数而已。,(2) 矩阵指数函数eA
5、t 的有限项表达式,根据以上分析，有,(3) 待定系数i(t) (i=0, 1, ,n-1)的计算公式,证明 根据剀利哈密顿定理可知，A和都是满足自身的特征方程，这就是说，A和是可以互换的。,因此，A的所有特征值1, 2, n,都应满足eAt的有限项表达式，即有,解此方程组即得证。,例 已知系统矩阵等于,试用待定系数法求eAt 。,解 (1) 求A阵的特征值,(3) 求eAt,2) A阵具有n重特征值的情况,此结果与用拉氏变换法计算结果(幻灯片12、13)相同。,当A阵具有n重特征值1时，则计算待定系数,的公式为,证明: 同上述理由，有,将上式对1求导一次得,将上式再经1求导一次得,依次类推，
6、可得,即,解此方程组，即可得证。,例 已知系统矩阵,试用待定系数法求eAt 。,解 (1) 求A的特征值,(2) 求待定系数,(3) 求eAt,3) A阵同时具有重特征值和互异特征值的情况, 当A阵同时具有重特征值和互异特征值时， 则可根据上述1）、2）两种情况分别求出待定系数， 然后将它们代入有限项表达式，即可求出eAt。,例 已知系统矩阵,试用待定系数法求eAt 。,解(1) 求A的特征值,(2) 求待定系数 对于二重特征值1=2，可得,对于单特征值3=3 ，可得,解以上三个方程或直接利用公式可得,(3) 求eAt,将上述所求得的a0(t), a1(t), a2(t),代入有限项表达式，得
7、,化为规范形两例,例 已知系统矩阵,试用约当标准形法求eAt 。,解(1) 求A的特征值,(2) 选定非奇异变换阵,本例A为友矩阵（标准形）故可选定非奇异变换阵,(3) 求eAt,例 已知系统矩阵,试用约当标准形法求eAt 。,解(1) 求A的特征值,(2) 选定非奇异变换阵,为分块对角线阵。,式中,(2) 求eAt,而根据矩阵指数函数性质，可得,故可将上式改写成,再根据约当标准型(下节介绍)和对角线标准型，可得,与用待定系数法所求的结果完全相同。,由状态转移矩阵求系统矩阵,在已知状态转矩阵(t)情况下确定系统矩阵A， 通常有如下几种方法：,1),证明,2),证明 因为,所以,当t=0时，,
8、证毕。,3) 拉氏变换法,这样即可求出矩阵A。,例 已知系统的状态转移矩阵为,试求系统矩阵A。,解解法1,解法2,解法3,2-3 Jordan规范形,可以AJ，广义对角化； Jordan阵，是一种广义的对角阵。 :,记AJ即A与J相似。 J：除去其中约当块的排列次序外，是由矩阵A唯一决定的。,问题：找J和T。,由AJ：,例,用初等因子法确定J,对于e=1，3，4，可用求秩法确定J； 但对e=2， 用求秩法无法确定J ，故用初等因子法。,例,结果，有一个初等因子：(+2)3,一个初等因子，对应着一个约当块：,例 :,有3个初等因子：,矩阵的初等变换,(1) 交换A()的两行(列)； (2) 用不
9、为零数乘A( )的某一行(列)； (3) 用的多项式()乘A()的某行(列)加A()的另一行(列)。 特征值相异时用求初等因子的方法同样可确定对角线阵,例：,初等因子有3个：,求变换阵T,例：,可按求M的方法求T1：,增广矩阵,检验：,例:,对应e只有一个约当块。,当对应e有2个以上约当块时，由e-A T1=0, 可解出不止一个独立的向量。,、满足方程。,可取T1= ， 但不能取T2= ，这因为T2还要用于解方程(3)： （I+A)T3= T2 。 如果T2选得不当，非奇次方程(3)可能无解。,因与线性组合仍是方程(1)或(2)的解，,使得原系数阵(eI-A)和其增广矩阵的秩相等；,否则，增广
10、矩阵的秩大于系数阵的秩，方程(1)无解。,增广矩阵,2-4 模式激励与抑制,“模式”(“振型”)本身的固有特性， 由A的特征值i决定。, 设i是相异的：,1左特征向量fiT和右特征向量ei,由前面讨论，,ei与i相对应的右特征向量，i=1, 2, 3, , n 。,fiT与i相对应的左特征向量，i=1, 2, 3, , n 。 ei列向量； fiT行向量。,可得：,指出了左特征向量,比较：,2模式激励与仰制,得到ei ，指出了右特征向量。,定理 设 有相异特征值,则 的解为:,证：, 其中每一项，称为“模式”；,称为振型分解。, 实现的振型共有n个。相应于每个特征值i有一个振型； 任一个初始条
11、件x(0)一般可激发现有振型， 而任一振型的激励强度fiTx(0)与其他振型无关； 分解式 是唯一的。, 如果只激发某一振型,模式抑制：,外加激励:, 对A有异特征值 i (i=1, 2, 3, , n)的情况， 有如下的振型分解性质：,例 讨论图示电路中， 激励一个模式时的状态。,由电路理论可得状态方程。,由此得：,两个独立回路，1 = R1C1 = 2 = R2C2 = 1 ( e-t/=e-t),等效为：,2-5 线性时变系统的运动分析,1 自由运动, 给出线性时变系统：,自由运动:,其解为,为状态转移矩阵;,将状态,2状态转移矩阵(t, t0)的性质,等价,（待证）,补证：,取转置即得
12、。,证：由7)即得，具体证明留给大家。,对于线性定常系统:,3. 强迫运动,假定,解为,4(t, t0) 的封闭解(解析解), (2)式为(1)式的解。,几种特殊情况下可给出(t, t0)的封闭解析解。,定理 对于方程,其解为：,又设,则当,为方程(1)的解。,亦即,证： 对(4)式微分：,即(4)式为(1) 的解。,情况1:,引理1:,根据矩阵微分关系可得。,引理2:,(*)式两边对 从t0t积分即得。,证明：,满足(3) 式，故,特例情况,（都满足(3)式）,特例情况,情况2:,证明：,因,线性独立，,例,解1,解2,是其两个特解，于是可得基础解阵：,参见第14张,5(t,t0)的Neumann级数解,方程,与方程,等价(Volterra型向量积分方程）。,于是，在(2)中，将x(t)反复迭代求解:,(3)式称为Nwumann级数，是收敛的(但收敛比较慢)。, 一个改进算法：Kinariwalas法：,Ap(t) 其余部分（视作一个扰动），,于是,将AP(t)x(t)看作相当于B(t)u(t)。,(4)式与(2)式相同，也是一个Volterra型向量积分方程， 于是，又可得(3)式形式的Neumann级数解。,当AP(t)系数阵对A(t)影响较小时, (4)式收敛很快。,
