《离散数学刘任任版课后习题答案 习题21《环与域》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散数学刘任任版课后习题答案 习题21《环与域》（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1离散数学刘任任（第二版）习题答案第21章 环与域1、设实数集 R 中的加法是普通的加法，乘法定义如下： Rbaba,|试问 R 是否构成环？解：不构成环。因这里乘法对加法不满足分配律。例如 ()()2121而 62. 设整数集Z中的加法是普通数的加法，乘法定义为 ，试问Z是环吗?ba,0解：Z是环。因对于加法Z构成一个交换群，对于乘法Z满足结合律，且乘法对加法可分配： () ,abcacbcZ0 3. 已知实数集 R 对于普通加法和乘法是一个含幺环，对任意 ，定义Rba,1ab试证：R对运算 和 也形成一个含幺环.证明。因为 ()()abcabcabc11所以， 满足结合律。又因为2abba
2、12()()所以， 满足交换律，零元是1， 的负元为a2a以上说明是一个交换群。再因为R()()abcbc( )aaabccb()(ac)aa0所以， 是可结合的，且有幺元0。最后， bccab()()()12()()abcabca12 即 对 是可分配的。故结论成立。4、一个环 ，如果对乘法来说，每个元素 均满足 ，则称 为布尔环，试证：RRaaR（1）集合 的子集环是布尔环.S（2）布尔环的每个元素是都以自己为负元.（3）布尔环必为交换环.（4） 的布尔不可能是整环.|R证明。(1) 集合 的幂集 对于集合S()3的对称差运算 和交运算 作成一个环，即子集环。且AAS,()故子集环是布尔环
3、。(2) 由布尔环之定义，对任意 ,有aR() 因此， . a0(3) 由布尔环之定义，有abab()因此， , 即 .故布尔环是交换环。ab0ab(4) 如果 不含幺元，则 不是整环；如果 含幺元 1，则因 , 故 中存在元素RRR2， ,于是a01()aa0故 和 都是零因子，从而 不是整环。R5. 试证：若 是环，且对加法而言， 是循环群，则 是交换环.RR证明：设 的生成元为 , 则对 中任意的 ，存在整数 , 使得ar12,n12rnrn12,于是 raann12212()从而， , 故 是交换环。r12R6. 设 和 是两个环，定义 到 的映射 如下： R0)(aa4其中 是 的零
4、元，试证明 是 到 的同态映射（称为零同态）.0RR分析：利用环中零元的性质，证明 满足同态的定义 17.5.1。证明： 在 中任取 则有ab,(),()ab00从而 ()()abb()()ab 故 该映射是 到 的同态映射。R7. 设 ，已知 关于矩阵加法和乘法构成环，令,|0ZcbaAA|0dS（1）试证： 是 的子环.A（2）给出 到 的一个同态映射 .S（3）求同态核 Ker（ ）.证明：(1) 在 中任取 有Zxy,00xySxy故 是 的子环.SA(2) 令 fabcabcA000,易知， 是 到 的满射，且fAS5fabccfabcfabcfabcfc12121212210000
5、fabccfabcfab212121212000故 是 到 的同态映射。fAS(3) 同态核为 Zbaf, 0=)ker(8. 找出Z到Z的一切环同态映射，并给出每一个同态的核.分析：根据定义18.2.3，同态映射 必须满足： ，因此 或者f(1)(1)ff()0f。(1)当 ， ， ；(1)f(1)0f,()0nZffnf有 kerfZ(2)当 ， , 。()f,(1)()1(),fffn有 r()0f解。设 是 到 的同态映射。记 , 则fZmff m()()11从而， , 于是， 或者 .故只有两个满足要求的同态映射：m()00(1) , ， ；(,fnZKer()fZ6(2) , ,
6、.1m(),fnZKer()0f9. 设 是一个体，且 . 求证： 或者 .RRR分析：根据体的定义， 含有么元，则对 到 的满同态 ，有 或fKer()fR。 Ker()0f证明：设 是 到 的满同态。由同态基本定理，R是体 的理想，而体必为单纯环，故 或 。当 时，er()f Ker()fR0Ker()fR；当 时， .0RKer()0fR10. 设 . 是 的理想，求证： 的像源NNaR)(|是 的理想，并且 .R分析：根据定理 18.2.4，可以定义 到 / 的同态 ，核为 ，于是定义 到 NgNR/ 的满同态 ，根据定义可证明 ，由第三同态定理即证。Nhgker()h证明：设 是 到
7、 / 的自然同态，gRNgaa(),于是， 是 到 / 的满同态。下证 . 任取 , h kerhNRker()0 ahagN故 . 由定理18.2.3， 是 的理想。再由同态基本定理，有ker()hNRR/11. 试证：定理18.2.97分析：根据域 的定义，只需证明 是单纯环，对于 的非零理想 ，容易证明么元FFFN，根据理想性质有 。1NN证明：只需证域 是单纯环。任取域 的一个理想 , 存在 , 于是(0)a0a1因为 是 的理想，所以FaNxxFF1 ,但 是 的理想，于是， NF故 . 综上，域 是含幺交换单纯环。12. 求证：若 是一个域，则 必为质数.mZ证明：若 不是质数，则
8、存在正整数 ,使 。于是 . abm,1abm0但 这说明 是 的零因子，此与 是域矛盾。故 是质数。ab0,ZmZ13. 在 中，利用公式7Racb24解二次方程 .052x分析：将方程系数代入，有 ， ， 。24192bac23414解。 , 或4bac2415()xx123316,14. 在 中求下面矩阵之逆： 。7R4分析：利用线性代数中矩阵 求逆方法，R8将 通过初等行变换化为如下形式， ， 即为所求。10R 10R1解。 2310415401540635466 row ()2row (2)rrow () ro ()r5故 在 上之逆为 .2314R7415. 试证： 上的四个矩阵：
9、2 ,10,10, 在矩阵的加法和乘法下作成一个域.证明： 令以上四个矩阵组成的集合为 。对于加法， 的零元为零矩阵 ， 中的A0A每个元素均以自身为其负元，因此， 是一个加法交换群。对乘法而言，幺元是 , 10且 与 互为逆元，自乘则等于另一元素，从而运算又是封闭和可交换的，故10在 上对于矩阵的加法和乘法作成一个域。AR216. 中有无 ？91解。在 中，设 , 于是 于是， 和 应分别取R29ab2ab2209,ab和 , 而 ,5601517534175217,故 中有 为 或 .R2927917. 设域 的特征为 ，求证：F0pnnnPPba)( F,.pnpna 2121)i证明。
10、 由定理18.3.4, 由数学归纳法，有(,abbFpp()()()abaabappppppnnnnppinnnnnnn 111111212 18. 求证：若 阶域有 阶子域，则 .nm|分析：利用定理18.5.2的证明，以及整数的性质证明（可参考定理18.5.10证明）。证明。设 是 阶域， 是 阶域,因 是 的子域， 所以，F,pnS,pmSFmn1令 . 于是nqr,0pppnqmrrqmqr1112 ()由 及 易知， , 从而， . 故 .pmn10rr00mn19. 求证： 是域 上不可约多项式.2x2,1F分析：由定理18.4.3知只需证明无零因子，将 代入即可。0,12证明。设
11、 . 因为 , 故结论成立。fx()21ff(),()20. 域 上多项式 是可约多项式吗？,0F124x10分析：由例18.4.3知，只需判断次数不高于2的不可约多项式（ ）是否为2,1xx的因式。14x解。因为 , 所以， 是可约多项式。xx42221()()x42121. 试找出域 上的所有不可约的二次多项式。,0F分析：定义在域 的二次多项式具有如下形式： ，其中2,1 210()pxax，系数不同组合有2*3*3=18种，讨论18种组合种 取不同值情形下21,a0F的值，如果 ，则 为可约多项式；如果 ，则()px,()0xp()px,()xFp为不可约多项式。解。共六个。即 。22
12、22221,1,1xx22. 设域 ，试构造 的运算表，求出它的一个本原元，并将每个,0F123xF非零元素表示成本原元的幂.分析： 是 3 次不可约多项式，根据教材定义 18.4.5 得到 的 8 个元素，321x Fx321定义二元运算 和 ，本原元的定义及幂元表示见教材例 18.5.1.解。 共有8个元素，即 .运算表Fx321011222, xxx如下： 011111 22200000111110012222222222xxxxxxxxxxxxx x121 1 1001101121 222222 222 222 2 222 xxxxxxx xxxxx xxx 10222x令 , 则 ,
13、 aaa, 2324567因此， 是 的本原元。F323. 求 和 .(6),7,(8)N)6(3N分析：注意到 ，利用定理 18.5.12，以及例 18.5.3 的结果即可求解。3(),()11解。利用公式 及已有的结果（例18.5.3），有pmNnp()N262221364269()()()()/()/272871/-N2822214562182403()()()()/()/N36333793761/- 24. 设域 ，试求出中每个元素的最小多项式。1,0F24. 设域 ，试求出 ， 中每个元素的最小多项式。,123xF41x分析： 是 上的不可约多项式，因此 是一个8阶域（见例18.5.1），321x 123xF是一个16阶域，类似于例18.5.2可求每个元素的最小多项式。41xF解： 。32 2210,1,1xxx，M01(),() 223211()()()()1xxxxMMx。xx2212()()Fxxxx4 233011, x3323321Mx01(),()xMxxx x()14221xxxxx33323214321()() Mxxxx x333232111431()()()()1225.设域 的特征为 定义 为 ，证明 是 的自同态.
