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1、综合测试题线性代数(经管类)综合试题一(课程代码 4184)一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设 D= =M0,则 D1= = 12133a112323aa( )A.2M B.2M C.6M D.6M2.设 A、B、C 为同阶方阵,若由 AB = AC 必能推出 B = C,则A 应满足 ( )A. A O B. A = O C.|A|= 0 D. |A|03.设 A,B 均为 n 阶方阵,则 ( )A.|A+AB|=0,则| A|=0 或|E +B|
2、=0 B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当 AB=O 时,有 A=O 或 B=O D.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵 A ,| A|=1,则 A-1= ( abcd)A. B. C. D.dbcadbcabcdabcd5.设两个向量组 与 ,则下列说法正确的st是( )A.若两向量组等价,则 s = t .B.若两向量组等价,则 r( )= r( ) stC.若 s = t,则两向量组等价.D.若 r( )= r( ),则两向量组等价.st6.向量组 线性相关的充分必要条件是 ( )A. 中至少有一个零向量sB. 中至少有两个向量对应分量成比例C. 中至少有一个向量可由其余向量线
3、性表示sD. 可由 线性表示s -1s 7.设向量组 有两个极大无关组 与12,.m12,.iir,则下列成立的是( )12,.,jjsA. r 与 s 未必相等 B. r + s = mC. r = s D. r + s m8.对方程组 Ax = b 与其导出组 Ax = o,下列命题正确的是( )A. Ax = o 有解时, Ax = b 必有解.B. Ax = o 有无穷多解时, Ax = b 有无穷多解.C. Ax = b 无解时,Ax = o 也无解.D. Ax = b 有惟一解时,Ax = o 只有零解.9.设方程组 有非零解,则 k = ( )1230xkA. 2 B. 3 C.
4、 -1 D. 110.n 阶对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )A. |A|0 B.存在 n 阶方阵 C 使 A=CTCC.负惯性指标为零 D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.四阶行列式 D 中第 3 列元素依次为 -1,2,0,1,它们的余子式的值依次为 5,3,-7,4,则 D = 12.若方阵 A 满足 A2 = A,且 AE,则|A|= .13.若 A 为 3 阶方阵,且 ,则|2 A|= 1|14.设矩阵 的秩为 2,则 t = 102634t15.设向量 (6,8,0)
5、, =(4,3,5),则 ( , )= 16.设 n 元齐次线性方程组 Ax = o,r(A)= r 0 B. A 的每一个元素都大于零C. D. A 的正惯性指数为 nnr10.设 A,B 为同阶方阵,且 r(A) = r(B),则 ( ).A. A 与 B 相似 B. A 与 B 合同C. A 与 B 等价 D.|A|=|B|二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式 .1234012.设 A 为三阶矩阵,| A|=-2,将矩阵 A 按列分块为,其中 是 A 的第 j 列,),(321j )3,21(,则|
6、 B|= .123B13.已知矩阵方程 AX=B,其中 A= , B= ,则 X= .0211014.已知向量组 的秩为)1()1()1( 321 kkk , 2,则 k = .15.向量 的长度 = .(,23)16.向量 在基 下的坐,1123(,)(1,0)(,)标为 .17.设 是 4 元齐次线性方程组 Ax=o 的基础解系,则矩阵123,A 的秩 r(A)= .18.设 是三阶矩阵 A 的特征值,则 a = .0102a19.若 是正定二次22123131323, 46fxxxx()型,则 满足 .20.设三阶矩阵 A 的特征值为 1,2,3,矩阵 B=A2+2A,则| B|= .三
7、、计算题(本大题共 6 小题,每小题 9 分,共 54 分)21.设三阶矩阵 A= ,E 为三阶单位矩阵 .3012求:(1) 矩阵 A-2E 及|A -2E|;(2) .1()22.已知向量组 1234(,)(,4)(1,0)(,2)求:(1) 向量组的秩;(2)向量组的一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.23.讨论 a 为何值时,线性方程组 有解?12341234215xxa当方程组有解时,求出方程组的通解.24.已知向量组 ,讨论该向123(,)(,4)(1,)aa量组的线性相关性.25.已知矩阵 A= ,10432(1)求矩阵 A 的特征值与特征向量;(2)判断
8、 A 可否与对角矩阵相似,若可以,求一可逆矩阵 P 及相应的对角形矩阵 . 26.设二次型 2221231133,44fxxxx()(1)将二次型化为标准形;(2)求二次型的秩和正惯性指数.四、证明题(本大题共 6 分)27.已知 A 是 n 阶方阵,且 ,证明矩阵 A 可逆,并2()AEO求 .1线性代数(经管类)综合试题四(课程代码 4184)一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.三阶行列式 ,则 a = ( ).12530A. 2 B. 3 C. D
9、. -3 22.设 A,B 均为 n 阶非零方阵,下列选项正确的是 ( ).A. (A+B)(A-B) = A2-B2 B. (AB)-1 = B-1A-1 C. 若 AB= O, 则 A=O 或 B=O D. |AB| = |A| |B| 3.设 A ,B ,AB -BA= ( ).10012A. B. C. D. 120101201204.设矩阵 的秩为 2,则 ( ).36tAA. B.t = -4 C. t 是任意实数 D.以上都不对4t5.设向量 ,则 ( ).(1,02),(1,0)23A.(1, 0, 5, 4 ) B.(1, 0, -5, 4) C.(-1, 0, 5, 4)
10、D.(1, 0, 5, -6)6.向量组 线性相关,则( ).123(,(,)0)kA. k =-4 B. k = 4 C. k = 3 D. k = 27.设 u1, u2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的两个解,若 c1u1+c2u2也是方程组 Ax = b 的解,则 ( ).A. c1+c2 =1 B. c1= c2 C. c1+ c2 = 0 D. c1= 2c2 8.设 mn 矩阵 A 的秩 r(A) = n-3(n3), 是齐次线性方程,组 Ax=o 的三个线性无关的解向量,则方程组 Ax=o 的基础解系为( ).A. B. ,C. D. ,9.设三阶矩阵 A 的特征值为 1,
11、1,2,则 2A+E 的特征值为( ).A. 3,5 B. 1,2 C.1,1,2 D. 3,3,5 10.n 阶对称矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是 ( ). A. B.存在 n 阶矩阵 P,使得 A=PTP 0C.负惯性指数为 D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11. . 102ab12.设 A 为三阶方阵,且| A|=2,A *是其伴随矩阵,则|2 A*| = .13.设矩阵 A ,则 = .10231()14.设 ,则内积 = .(1,0)(,0)(,)15.若向量 不能由 线
12、性表示,且 r( )=2,则31212r( , )= .1216.设线性方程组 有解,则 t = .12435xxt17.方程组 的基础解系含有解向量的个数是 .12340xx18.设二阶矩阵 A 与 B 相似,A 的特征值为-1,2,则|B |= .19.设二次型的矩阵 ,则二次型 . 10),(321xf20.用正交变换将二次型 化为标准形为123(,)TfxA,则矩阵 A 的最小特征值为 .22135y三、计算题(本大题共 6 小题,每小题 9 分,共 54 分)21.计算 n 阶行列式 .0.0.0xyDxyy22.解矩阵方程: .10123X23.验证 是 R3 的一个基,并求123(,)(0,1)(,)向量 在此基下的坐标.,324.设向量组 线性无关,令123,,133123,5试确定向量组 的线性相关性.12,25.求线性方程组 的基础解系,并表示12340571xx其通解.26.求矩阵 的特征值和全部特征向量.2013A四、证明题(本大题共 6 分)27.设 是三维向量组,证明: 线性无关的充分必123,12