层次分析方法建模

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1、第八章 层次分析方法建模层次分析法（AHPAnalytic Hierachy Process）70 年代由美国运筹学家 TLSatty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论.该方法吸收并利用行为科学的特点，将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要数据的情况，采用此方法较为实用.在系统科学中，它是常用的一种系统分析方法，并成为系统分析的数学工具之一.8.1 层次分析方法的基本框架人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统.在这样的系统中，人们感兴趣的问题之一是：

2、就 个不同事物所共有的某一性质而言，应该怎样对任一事物n的所给性质表现出来的程度（排序权重）赋值，使得这些数值能客观地反映不同事物之间在该性质上的差异？层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法.它把复杂问题分解成组成因素，并按支配关系形成层次结构，然后用两两比较的方法确定决策方案的相对重要性. 8.1.1 建立层次结构图一个合理的层次结构图至少分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层，如图 8.1 所示.如何建立层次结构图呢？首先，将复杂问题分解为称之为元素的各组成部分，把这些元素按属性不同分成若干组，以形成不同层次.同一层次的元素作为准则，对

3、下一层次的某些元素起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配.这种从上至下的支配关系形成了一个递阶层次.处于最上面的的层次通常只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，中间层次一般是准则、子准则，最低一层包括决策的方案.层次之间元素的支配关系不一定是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支配下一层次的所有元素.其次，层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽程度有关.每一层次中的元素一般不超过 9 个，因一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带来困难.第三，一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的.层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层次之间的

4、支配关系上举棋不定，最好重新分析问题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建立一个合理的层次结构. 一个好的层次结构图应具有以下特点：(1) 从上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示.除第一层外，每个元素至少受上一层一个元素支配，除最后一层外，每个元素至少支配下一层次一个元素.上下层元素的联系比同一层次中元素的联系要强得多，故认为同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系.(2) 整个结构中层次数不受限制.(3) 最高层只有一个元素，每个元素所支配的元素一般不超过 9 个，元素多时可进一步分组.(4) 对某些具有子层次的结构可引入虚元素，使之成为层次结构.8.1.2 构造成对比较矩阵在建立递阶层

5、次结构以后，上下层次之间元素的隶属关系就被确定了.假定上一层次的元素 作为准则，对下一层次的元素 有支配关系，我们的目的是在准则kCnA,21之下按它们相对重要性赋予 相应的权重. ,对于大多数社会经济问题，特别是对于人的判断起重要作用的问题，直接得到这些元素的权重并不容易，往往需要通过适当的方法来导出它们的权重.层次分析法所用的是两两比较的方法. 第一，在两两比较的过程中，决策者要反复回答问题：针对准则 ，两个元素 和kCiA哪一个更重要一些，重要多少.需要对重要多少赋予一定的数值 .这里使用 19 的比jA例标度，它们的意义见表 8.1.1. 19 的标度方法是将思维判断数量化的一种好方法

6、.首先，在区分事物的差别时，人们总是用相同、较强、强、很强、极端强的语言.再进一步细分，可以在相邻的两级中插入折衷的提法，因此对于大多数决策判断来说，19 级的标度是适用的.其次，心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同程度属性上差别的分辨能力在 59 级之间，采用 19 的标度反映多数人的判断能力.再次，当被比较的元素其属性处于不同的数量级时，一般需要将较高数量级的元素进一步分解，这可保证被比较元素在所考虑的属性上有同一个数量级或比较接近，从而适用于 19 的标度. 表 8.1.1 标度的意义1 表示两个元素相比，具有同样的重要性3 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍微重要5 表示两

7、个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要7 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要9 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要2，4，6，8 为上述相邻判断的中值第二，对于 个元素 来说，通过两两比较，得到两两比较判断矩阵 :nnA,21 Annnaa 212112其中判断矩阵具有如下性质：(1) ；0ija(2) ；ji/1(3) .i我们称 为正的互反矩阵.根据性质（2）和（3） ，事实上，对于 阶判断矩阵仅需对其上A n（下）三角元素共 个给出判断即可.)(n8.1.3 计算层次单排序-计算比较矩阵的特征值与特征向量这一步是要解决在准则 下， 个元素 排序权重的计算问题.通

8、过两两kCnnA,21比较得到判断矩阵 ，解特征值问题Awmax所得到的 经归一化后作为元素 在准则 下的排序权重，这种方法称为计算wnA,21 kC排序向量的特征值法.特征值方法的理论依据是如下的正矩阵的 Perron 定理，它保证了所得到的排序向量的正值性和唯一性：定理 设 阶方阵 ， 为 的模最大的特征值，则有n0Amax(1) 必为正特征值，而且它所对应的特征向量为正向量；max(2) 的任何其它特征值 恒有 ；max(3) 为 的单特征值，因而它所对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的.ax特征值方法中的最大特征值 和特征向量 ，可用 Matlab 软件直接计算.若不使用axw软件

9、帮助而直接用定义来计算矩阵 的特征值和特征向量，则相当困难，特别是阶数较高A时.另一方面，成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的结果，没有必要对它进行精确的计算.基于这种想法，近似计算计算矩阵 的特征值和特征向量更受人们的欢迎 .常见的近似计算矩阵 的特征值和特征向量的方法有：求和法、求根法和幂法.A求和法的步骤如下：a)将 的每一列向量归一化得矩阵.nijjijaw1/b)对矩阵 按行求和得向量ij， 其中 .Tn),(21 njijiw1c)归一化向量 得到向量nw,21， 其中 .Tn),(21 njjii1/该向量即为所求的特征向量的近似.d)计算 得到向量 .AwTna),(21

10、e)计算 .这就是要计算的最大特征值的近似.njja1求根法的步骤和求和法的基本相同，只是将步骤 b)改为：b) 对矩阵 按行求积并开 次方得向量ijwn， 其中 .Tn),(21njijiw/1其它步骤完全相同.幂法是用迭代格式求特征值与特征向量的，它的步骤如下：a)任取一 维归一化的初始向量 ；n)0(b)计算，)()1(kkAw,21c)归一化向量 得到向量 ，即)( )(k.nikkk1)()()1( /d)对于预先给定的精度 ，当下式成立时，|)()1(kikiwni,2即为所要求的特征向量；否则，继续按步骤 b)计算.)1(kwe)计算 ，这就是要计算的最大特征值的近似.njkjw

11、1)(上述三种近似算法中，第一种求和方法最简单，第三种幂法较为复杂.8.1.4 比较矩阵的一致性检验如果决策人对决策对象的比较具有逻辑的绝对一致性，即不会出现任何矛盾的结论，在这种理想状况下，判断矩阵 的元素具有传递性，即满足等式Aikjia例如当 和 相比的重要性比例标度为 3，而 和 相比的重要性比例标度为 2，一个iAj A传递性的判断应有 和 相比的重要性比例标度为 6.当上式对矩阵 的所有元素均成立ik A时，判断矩阵 称为一致性矩阵. 然而，实际情况是，我们并不要求判断具有这种传递性和一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的.但在构造两两判断矩阵时，要求判断大体上的

12、一致是应该的.出现甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要的判断，一般是违反常识的.一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策的失误，而且当判断矩阵过于偏离一致性时，用上述各种方法计算的排序权重作为决策依据，其可靠程度也值得怀疑.因而必须对判断矩阵的一致性进行检验. 可以证明， 阶比较矩阵 是一致的，当且仅当 的最大特征值nAA.maxn因此，只需计算 的最大特征值就可判断 是否是一致的.如果 不具有一致性，可以证明 而且 越大，不一致程度越严重.令.)(maxAn)(max1)(maxCI将 作为衡量比较矩阵 的不一致程度的标准，称 为一致性指标.CI CI当判断矩阵 的最大特征

13、值 稍大于 时，称 具有满意的一致性.用这种方法)(axAnA定义的一致性是不严格的，还必须给出度量指标.Saaty 提出结合平均随机一致性指标来检验比较矩阵 是否具有满意的一致性.平均随机一致性指标是多次（500 次以上）RIA重复进行随机判断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的.具体的，对于固定的 ，随机地n从 1，2，,9,1/2,1/3,1/9 这 17 个数中选取 个构造比较矩阵 .这样的2)1(nA是不一致的，取充分大的子样得到 的最大特征值的平均值 ，则AAmax.1maxnRI1986 年，龚木森、许树柏通过重复计算 1000 次判断矩阵后得出的 115 阶的平均随机一致性指标如

14、下：表 8.1.2 平均随机一致性指标的值阶数 1 2 3 4 5 6 7 8R.I. 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41阶数 9 10 11 12 13 14 15R.I. 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59令，RIC则称 为随机一致性比率.当 方案 方案 ,因此应选择工作 2.2C138.3 城市土地持续利用评价问题：对城市土地的利用情况进行综合评价，是一项非常有价值的工作.尤其是分析城市土地是否可持续利用，将对城市规划等产生重大影响.某些分析得出，城市土地持续利用水平可从四个方面来评价：（1）城市用地规模结构合理性，它通过

15、人均居住用地面积、人均工业用地面积、人均道路广场用地面积、人均建设用地面积、人均公共绿地面积、居住用地占建设比例、工业用地占建设用地比例、道路广场用地占建设用地比例、公共绿地占建设用地比例等数量指标来反映；（2）经济可行性评价，它通过 GDP 增长率、人均 GDP、建成区单位面积二三产业、第一产业比重、第二产业比重、第三产业比重、城镇居民人均年收入、人均社会消费品零售总额等数量指标来反映；（3）社会可接受度，它通过人口密度、人口自然增长率、人均生活用水量、人均生活用电量、万人拥有医生数、万人拥有在校大学生数、万人拥有公共汽车数量、恩格尔系数等数量指标来反映；（4）对区域环境影响评价，它通过工业

16、废水处理率、工业万元产值用水、环境功能区达标率、建成区绿地覆盖率、工业固废综合利用率、污水处理率、污染治理总投资占 GDP 比重等数量指标来反映.对于上面列出的二级数量指标，可以通过调查研究资料得到它们的相应数据.表 8.3.1 列出了某地区各指标的现状值和目标值（目标值是指该指标的理想值）.表 8.3.1 某地区各指标的现状值和目标值指标名称（单位） 现状 值 目标 值 指标名称（单位） 现状 值 目标 值人均居住用地面积(m 2/人) 37.32 28 人均社会消费品零售总额(元) 971 8000人均工业用地面积(m 2/人) 11.5 25 人口密度（人/km 2） 9600 3500人均道路广场用地面积(m2/人) 17.6 15 人口自然增长率（%） 4.0 5人均