变形体虚位移原理

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1、第2章 变形体虚位移原理,在结构力学中已经学过变形体的虚功原理，并利用它推导了位移计算公式、线弹性体的互等定理等。 当变形体虚功原理的前提条件改变为：力系给定、虚位移完全任意时，其结论也发生改变：虚功方程恒成立是给定力系平衡的充分必要条件。由于前提、结论都变了，因此这一变化后的原理称为变形体虚位移原理。由变形体虚位移原理作一定的变换，可导出以能量形式表示的平衡条件，这就是弹性体最小势能原理。用它们可推得位移法方程、求得受力和变形的近似解（里兹法）。,2-1 弹性力学的基本方程及其矩阵表示,为研究线弹性体的解答，首先需要建立微元体的 平衡条件、几何条件、应力-应变关系、边界应满足的 条件等，这些

2、统称为弹性力学的基本方程。,需要强调指出的是，在弹性力学中假设所研究的变 形物体是连续、均匀和各向同性的（除专门说明外）。 从数学上说，也即体内的位移、应力、应变等都是光滑、 连续的函数,2-1-1 平衡（运动）微分方程,某二维弹性体中取出的一个面积为 的内部微元体，如下图所示,（a） 位置变化示意,（b）微元体边界合力示意,图2-1 平面微元体受力示意,B,D,A,C,偏导数标记法,微分标记法,（）表示 某物理量,在图2-1a AB边上的 合力 有如下近似（曲线面积近似等于梯形面积）计算,基于这一思想，在略去高阶小量后即可得到图2-1b所示的微元体受力图，因而此 图受力从数学上讲是精确的。,

3、微元体受力如图2-1b所示，有 和 方程，即可得到二维问题的 平衡微分方程,（2-1）,再由 ，可以得到切应力互等定理结论，即 。,在此基础可以得到以下结论：,1、如果微元体不平衡，根据大朗贝尔原理，加上惯性力（例如 方向为 ） 再列（瞬时）动平衡方程，则可得,式中 为材料密度， 和 分别为坐标 、 方向的位移分量。这就是二维问题 的运动微分方程。由式（2-2）可见，式（2-1）是惯性力为零时的特例。,2、对于三维问题，运动方程为,（2-2）,（2-3）,2-1-2 小变形的几何方程（位移应变关系）,图2-2为二维弹性体中沿坐标方向所取两正交微段及位移示意。和材料力学一样可 引入如下线应变定义

4、：,某坐标方向线应变 =,微段变形后长度 - 微段原长,微段原长,C,B,A,C,B,A,图 2-2 微段变形示意图,如2-2中微段AB在小应变条件下变形后的 A,B,的长度为：,略去高阶小量后可得,由此可得 ，同理，不难理解 。即,在定义： 正交微段角度的改变量 = 切应变,则由图2-2在小变形下（小角度正切近似等于角度）可得,上述所定义的应变为工程应变，方程（2-4）称为几何方程。对于三维问题，对应 工程应变的几何方程为,（2-4a）,（2-4b）,（2-5）,2-1-3 边界条件（边界处平衡和协调条件）,物体的边界可能有的如下情况： 仅给定应力的表面 仅给定位移的表面 某些方向给定应力、

5、另一些方向给定位移的混合边界条,对于以位移进行求解的问题，可以将 也视作 。 物理量给定的条件称为边界条件。,1、应力边界条件,从边界部分取微元体如图2-3所示，微元体边界上的应力、表面力均已用 合力表示。与建立平衡方程一样，注意： 、 、 间的关系为,式中 ， 为边界外法线的方向余弦。,（2-6）,应力边界条件,表面上,图2-3 边界微元体受力示意图,三维问题的应力边界条件,（2-7）,式中 ， ， 为边界外法线的方向余弦。,2、位移边界条件,当边界 上位移为给定值 ， 时，由位移协调，位移边界条件可表示为,表面上,三维问题的位移边界条件,（2-8a）,（2-8b）,2-1-4 线弹性体的物

6、理方程（本构关系）,对于各同性二维弹性体有图2-4所示的两种情况。图2-4a 表示荷载作用平行于板中面且沿厚度均匀分布，板厚 远小于平 面内方向的尺寸，也即 ， ，这类问题 称为平面应力问题。这时,2-4a 荷载作用于板的中面,图2-4b是一水坝示意，其特点是长度远远大于平面内两个方向 的尺寸且沿长度荷载作用相同，这时可以取单位长度坝体进行分析， 这类问题称为平面应变问题 。此时,2-4b荷载沿长度不变，取单位厚度分析,两类问题的共同特点是：物理量（位移、应变、应力）只是坐标的 ， 函数。,线弹性材料应力-应变关系称线弹性本构方程，由材料力学中的 中广义胡克定律可得：,对平面应力问题为,（2-

7、9）,式中： ， 分别为弹性模量和泊松比。从式（2-9）解出应力则可得,（2-10）,对平面应变问题为,可证明在（2-10）中对 ， 作如下变换,（2-11）,就可得到（2-11）。,（2-12）,2-1-5 物理量的矩阵表示,为了以后推导方便、书写简洁，对二维问题一些物理量和符号 用矩阵表示如下：,应力矩阵,应变矩阵,位移矩阵,体积力矩阵,表面力矩阵,；已知位移矩阵,弹性矩阵,，矩阵元素取决于问题类型和材料特性。,方向余弦矩阵,微分算子矩阵,1、自己推导三维问题物理量和符号用矩阵表示方法。 2、自己推导弹性矩阵中的D值。,？,利用所引入的矩阵符号，由矩阵运算可以证明弹性力学基本 方程可写作如

8、下矩阵方程：,2-1-6 弹性力学基本方程的矩阵表示,平衡方程,几何方程,本构方程,应力边界条件,位移边界条件,（2-13）,（2-14）,（2-17）,（2-16）,（2-15）,2-2 变形体虚位移原理,2-2-1 弹性力学平面问题外力总虚功,内部微元体上外力总虚功,（1）微元体受力分析和上节平衡分析一样略去高阶小量，微元体受力如图2-5所示。,（2）微元体受力点的虚位移和几何分析相仿，在设A点（称为基点）坐标 ， 其虚位移为 ，又连续函数在A点的泰勒级数展开可知，对应图2-5合力作用 点的虚功位移分别为：,图2-5 内部微元体受力图,O点：,1点：,2点：,3点：,4点：,（3）微元体外

9、力的总虚功有了上述准备，力乘以对应虚位移求代数和，即可得到总虚功。,4点,O点,1点,2点,3点,对上式进行整理并舍去高阶无穷小量可等,（2-18）,式子中第一项是微元体上外力在随基点刚体平移 时的总虚功，第二项则为 外力在微元体变形虚位移上所做的总虚功。如果分别记作 和 ，则,（2-19c）,（2-19b）,（2-19a）,边界微元体上外力总虚功,图2-6 边界微元体受力图,边界微元体的受力图如2-6所示，以A为 基点，按泰勒级数展开的概念，可写出图中 O，1，2，3点的虚位移。由此，可写出微 元体上外力的总虚功为：,1点,3点,O点,2点,引入边界外法线方向余弦 ， ，且略去高阶小量并整理

10、后可得,（2-20）,虚位移时变形体上外力所做的功,显然，将内部和边界微元体的外力功积分起来就可以得到变形的外力总虚功,（2-21）,（2-22）,引用上节的矩阵表达式，式（2-21）可改写为,2-2-2 变形体虚位移原理表述和证明,变形体虚功原理的回顾,在结构力学里曾讨论过变形体虚功原理，给出了杆系问题的虚功方程，推导了位移 计算公式，证明了线弹性体的互等定理。,变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系。二维板、三维块体）、适用于任何 力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。,变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功德恒等 关系，他是一个必要性的命

11、题。,变形体虚位移原理的表述：受给定外力的变形体处于平衡状态 的充分、必要条件是，对一切虚位移，外力所做总虚功恒等于变形 体所接受的总虚变形功。即恒有如下虚功方程成立,（2-23）,上述命题即为变形体虚位移原理。,对于二维问题式（2-23）的矩阵表达式为,（2-24）,变形体虚功原理必要性证明,当变形体处于平衡状态时，虚功方程（2-23）或（2-24）恒成立,证明：,因为变形体平衡、平衡方程、应力边界条件成立。也即,考虑上述条件后，由式（2-22）可得,由于虚位移必须满足约束条件，在给定位移的表面 上 ，因此（2-22）可改写成,式（b）的后两个积分,利用高斯公式,式中： 、 为区域 边界 外

12、法线的方向余弦，即可证明式(c)积分等于零，这一 关系称为格林公式。式（b）利用格林公式后，即可得,（c）,（b）,（a）,由式（a）和式（b）即可证明得式（2-24）虚功方程成立。必要性证毕。,（d）,变形体虚功原理充分性证明,充分性证明：当对于一切虚位移虚功方程成立时，变形体一定平衡。这里需要强调的 是：对一切虚位移包含两方面含义，其一是虚位移具有任意性，其二是虚位移具有独立性。,证明：,因为不管变形体是否平衡，外力总虚功都按式（2-21）或式（2-22）计算。现在 假设变形体不平衡，则微元体存在加速度，利用达朗贝尔原理可知瞬时惯性力集度为,式中： 为材料的密度。由于惯性力作用于体内每一点

13、，因此可看成是一种体积力。 当根据达朗贝尔原理在变形体上假想地加上这种体积力后，体系在每一瞬时都应该是平 的。因此，对每瞬时都能利用必要性命题的结论。由此可得,由命题的已知条件，又有对一切虚位移式（2-24）恒成立，因此两式相减可得,将矩阵方程展开，则,由于上式对一切虚位移都成立，而 、 具有任意性、独立性，因此必须,也就是说，当对一切虚位移虚功方程都成立的话，如果变形体不平衡，则其加速度必 等于零。实质上等于说变形体不可能不平衡，至此原理充分性证毕。,2-3 最小势能原理及里兹法,预备知识,泛函 如果对于某一类函数y(x)中的每一个函数y(x)，变量 有一个值和它对应，则变量 称为依赖于函数

14、y(x)的泛函。记为,变分法就是研究泛函的极大值和极小值的方法。,如图在xy平面内连接A、B两点的任一曲线的长度为,因此，长度L就是函数y(x)的泛函。,只要积分的上下限保持不变，变分的运算与定积分的运算可以交换次序。,一般泛函定义,泛函的变分,泛函的极值问题变分问题,如果泛函 在 的邻近任意一根曲线上的值都不大于或都不小于 即,则称泛函 在曲线 达到极大值或极小值，而必要的极值条件为,例,2-3-1 最小势能原理,虚位移原理虚功方程为,以位移为自变函数，则用几何方程可求得应变、由本构方程求得应力，因此应力是 位移的函数。在考虑到虚应变和虚位移满足几何方程，上述虚功方程可改写成：,对线弹性物体

15、来说 ，因此,又由于外力是给定的，他和虚位移无关。将虚位移看成是位移的变分， 虚功方程可改写为：,（a）,引入以下定义：,定义1 外力从位移状态 退回到无位移的初始状态时所作的功，称为外力势能， 记作 （或 或 ）。即：,定义2 应变能 和外力势能 的和称为总势能，记作 （或 或 ）。 即：,（2-26）,（2-25）,则式（a）成为,（2-27）,由虚位移原理可知，位移状态 为真实位移状态的充分、必要条件是，对应位移 的势能一阶变分为零。这就是最小势能原理。,2-3-2 最小势能原理与位移法,在结构力学已学习过位移法，当时是在力法解超静定单跨梁得到“形常数” 、“载常数”的基础上，建立了通过“一拆拆成单杆集合”“一合合回去平衡”求解结构位移的位移法方程。本小节从势能原理角度导出位移法方程，并举例说明求