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1、- 1 -近世代数试卷（时间 120 分钟）题号 一 二 三 四 总分得分得 分 评卷人 复查人一、填空题（共 20 分，每空 2 分）1. 设 A、B 是集合，| A |2，| B |3，则共可定义 个从 A 到 B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。2. 设 G（a）是 6 阶循环群，则 G 的子群的个数是 。3. 在剩余类环 Z18 中， 812 ， 67 。4. 环 Z6 的全部零因子是 。5. 在多项式环 Z17x中， （6x7 ） 17 。6. 在模 7 的剩余类环 Z7 中，方程 x21 的所有根是 。得 分 评卷人 复查人二、判断题（ 对 打 “ ”， 错 打 “
2、”， 每 小 题 2 分 ， 共 20 分 ）1. （ ）交换群的子群是不变子群。2. （ ）一个阶是 11 的群只有两个子群。3. （ ）无零因子环的特征不可能是 2004。4. （ ）有单位元且满足消去律的半群是群。5. （ ）模 21 的剩余类环 Z21 是域。6. （ ）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。7. （ ）若 R 是主理想整环，则一元多项式环 R x是主理想整环。8. （ ）除环只有零理想和单位理想。9. （ ）欧氏环是唯一分解整环。10. （ ）无零因子环的同态象无零因子。姓 名：_专业： 班级： 学号：_-密-封-线- 2 -得 分 评卷人 复查人三、解答题（
3、第 1 小 题 15 分 ， 第 2、 3 小 题 各 10 分 ， 共 35 分）1. 设 H（ 1） ， （12） 是对称群 S3 的子群，求 H 的所有左陪集和所有右陪集，试问H 是否是 S3 的不变子群？为什么？2. 求模 12 的剩余类环 Z12 的所有理想。- 3 -3. 在整数环 Z 中，求由 2005，6 生成的理想（2005，6） 。得 分 评卷人 复查人四、证明题（ 第 1、2 小题各 10 分，第 3 小题 5 分，共 25 分）1. 设是整数集 Z 上的模 7 同余关系，试证明是 Z 上的等价关系，并求所有等价类。- 4 -2. 设 R、 都是环，f 是环 R 到 的满同态映射， 是 的理想，试证明 Aa | ARaR 且 f（a） 是 R 的理想。A3. 证明，非零整环 R 只有有限个理想当且仅当 R 是域。
