《矩阵及其运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵及其运算（82页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、-1-,第二章,矩阵及其运算,2.4 矩阵分块法,2.3 逆矩阵,2.2 矩阵的运算,2.1 矩阵,-2-,2.1 矩阵,矩阵诞生于19世纪，晚于行列式约一百年。从表面上看，矩阵与行列式不过是一种数学语言和书记符号；但是，正是这种“结构好的语言的好处，它的简洁的记法常常是深懊理论的源泉。”(P.S.Laplace) 进入20世纪，线性代数的发展曾一度被认为相当成熟，作为研究课题已寿终正寝。随着电子计算机的发展，各种快速算法相继涌现，矩阵数值分析快速发展，矩阵理论研究进入一个新的发展阶段。,-3-,定义,为表示它是一个整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。,-4-,引例1,( P30 例2 )
2、 四个成市间的单向航线如图：,可简单地用一个数表来表示：,-5-,(1) 11的矩阵就是一个数。,-6-,（5）同型矩阵,设矩阵,满足,则称矩阵A,B是同型矩阵。,在同型的基础上若还满足：,其中（i=1,2m.j=1,2n）,则称矩阵A与矩阵B相等，记作：A=B,(6) 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O 。,-7-,例3：线性变换(P31),称为从 n 个变量 到 m 个变量的线性变换。,它由数表,唯一确定。,-8-,-9-,-10-,比如 ：利用旋转变换解释矩阵的含义,x,y,-11-,第二章,矩阵及其运算,2.4 矩阵分块法,2.3 逆矩阵,2.2 矩阵的运算,2.1 矩阵,-12-,2
3、.2 矩阵运算,定义,问： 与 相等吗？,-13-,矩阵的加法,-14-,运算规律,-15-,矩阵的数乘,运算规律,-16-,例1,-17-,矩阵的乘法,引例(P34) 复合线性变换(复合函数),设有两个线性变换,求 到 的线性变换。,-18-,-19-,-20-,例2,用矩阵乘法表示引例中的线性变换和复合线性变换。,-21-,应该相等！,-22-,例3,-23-,例4,问：上式=0的充要条件是什么？,-24-,例5,问：E在矩阵乘法中的作用,-25-,运算规律,证(1): 记,-26-,方阵的幂,设A是n阶方阵，定义,规定,设 为x的m次多项式，,运算规律,-27-,例6,举例说明,-28-
4、,例7,成立的充要条件是A与B可交换(即AB=BA)。,-29-,例8,(P37-38) 思考其意义?,-30-,例9,解,-31-,注 当A与B可交换时，有下面二项展开式,称为纯量矩阵，它与任何方阵可交换。,-32-,矩阵的转置,把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT。,如,运算规律,-33-,例10,解法一,解法二,-34-,例11,解,-35-,例12,解,-36-,注：,(1),(2),-37-,定义,假设 A , B 都是 n 阶对称矩阵，显然 kA , A+B 都是对称矩阵。但 AB 不一定是对称矩阵。,例如,-38-,例14,(P40 例8),例13,
5、设 ，证明 和 分别是n阶和m阶,对称矩阵。,证,证,-39-,注：上例中的矩阵,就是著名的Householder矩阵(也称镜像矩阵),设 是平面 的单位法向量,其几何意义是：,-40-,方阵的行列式,由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作 或,运算规律,设 A，B 均为 n 阶方阵,(行列式的乘法定理),(3)的证明见下页,-41-,-42-,（其中 C = AB）,问：,-43-,例15,设A是奇数阶方阵，且,证明,证,-44-,第二章,矩阵及其运算,2.4 矩阵分块法,2.3 逆矩阵,2.2 矩阵的运算,2.1 矩阵,-45-,伴随矩阵,2.3 逆矩阵,-
6、46-,证,-47-,线性方程组,记 ，称为(1)的系数矩阵。,记 , 称为(1)的常数项向量或右端项(向量)。,记 , 称为(1)的未知向量或解(向量)。,-48-,则(1)可记为,当 时，(1)有唯一解，且解向量为,证,(1)式两边左乘,比如,-49-,下面讨论线性变换,当系数矩阵 A 满足什么条件时存在逆变换？,记为,即对任意的向量 y 方程组,有唯一解。,由Cramer法则知，当 时 , 对任意的 y ,(2)有唯一解, 即(1)有逆变换. 且逆变换为：,-50-,记,由行列式的展开定理,说明 AB, BA 都对应于恒等变换。,(3)仍是一个线性变换，它就是(1)的逆变换。,则,又知,
7、-51-,反之, 如果存在矩阵 B 使得,在线性变换 y = Ax 两边左乘 B , 得逆变换 x = By ,在线性变换 y = Bx 两边左乘 A , 得逆变换 x = Ay。,说明 A 与 B 对应的线性变换都可逆，且互为逆变换。,易知,如果A可逆,则其逆矩阵是唯一的,记作,-52-,设 , 由行列式乘法定理,证,证,设 ，由,得,-53-,例1,A可逆,如,(P44 例11),Cramer法则又可用逆矩阵表示为,-54-,例2,(P44 例11),-55-,设,例3,(P44 例12),-56-,-57-,运算规律,(P43 44),(P55习题17),-58-,例4,(P55 习题1
8、6) 设A为3阶方阵 , ,求,解,-59-,例5,证明 A 和 A+2E 都可逆 , 并求其逆.,证,-60-,例6,(P55 习题25),设 A , B 和 A+B 均可逆 ,证明 也可逆,并求其逆.,证,-61-,例7,(P55 习题17) 设 A 可逆 , 证明 也可逆 , 且,证,-62-,例8,(P55 习题18) 设 A 为 n 方阵 , 证明,证,(注:结合上例题 ),(1) 如果 A=O, 则结论显然成立.如果AO, 反证:,假设 ,则 可逆,由 两边右乘,得A=O , 矛盾.,(2) 如果 , 由(1)结论成立. 如果 ,-63-,第二章,矩阵及其运算,2.4 矩阵分块法,
9、2.3 逆矩阵,2.2 矩阵的运算,2.1 矩阵,-64-,2.4 矩阵分块法,把大矩阵分成小矩阵处理。(1)简化矩阵计算；(2)通过小矩阵的性质推断大矩阵的性质；(3)突出矩阵结构,方便理论推导.,-65-,称为按列分块,称为按行分块,称为22的分块矩阵,小矩阵A11等称为A的子块.,-66-,运算规则,(1)设A , B的行数、列数相同, 且有相同的分法,-67-,(2) 设,则,-68-,(3) 设A与B可乘,且A的列分法与B的行分法相同,其中,则,-69-,例1,(P48 例14) 求 AB,-70-,-71-,(4) 设,则,-72-,(5) 设 A 是 n 阶方阵,其中 都是方阵,
10、则称A为分块对角矩阵.,-73-,例2,(P49 例15),，求,解,-74-,例3,(P56 习题29),验证其正确性.,-75-,常用分块法,-76-,(1),(2),-77-,例4,设 A 为3阶矩阵 , P 是3阶可逆矩阵 ,是 P 的三个列向量且满足,求矩阵 B , 使得,解,-78-,例5,证,(P51 例16),-79-,线性方程组的几种形式,(原始形式),(矩阵形式),-80-,(向量形式),(内积形式),-81-,单位坐标向量,称 为单位坐标向量.,-82-,例6,证,设 ，且对任意n维列向量x都有 ，,证明 A = O .,特别取,即A的所有列都等于零. 得证.,体会一下这样写的简捷性！,强烈推荐网站：http:/,
