加法原理和乘法原理

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1、40文件 sxgdja0014.doc科目 数学年级 高中章节 关键词 排列/组合/加法原理/ 乘法原理标题 加法原理和乘法原理内容北京市东直门中学 吴卫 教学目标 正确理解和掌握加法原理和乘法原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力. 教学重点和难点 重点：加法原理和乘法原理. 难点：加法原理和乘法原理的准确应用. 教学用具 投影仪. 教学过程设计 （一） 引入新课 师：从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分排列、组合、二项式定理.它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般.虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，

2、而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关.至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它. 今天我们先学习两个基本原理. （这是排列、组合、二项式定理的第一节课，是起始课.讲起始课时，把这一学科的内容作一大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解，并为下面的学习研究打下思想基础） 师：（板书课题） （二） 讲授新课 1.介绍两个基本原理 师：请大家先考虑下面的问题（找出片子-问题 1）. 问题 1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4 个班次，汽车有 2 个班次，轮船有 3 个班次.那么

3、一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？ 师：（启发学生回答后，作补充说明） 因为一天中乘火车有 4 种走法，乘汽车有 2 种走法，乘轮船有 3 种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情.所以，一天中乘坐这此交通工具从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种不同的走法. 41这个问题可以总结为下面的一个基本原理. （打出片子加法原理） 加法原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有 mn 种不同的方法，在第二类办法中有 mn.种不同的方法，在第 mn 类办法中有 mn 种不同的方法，那么，完成这件事共有 n=m1+m2+mn 种不同的方法. （教师放慢速度读一遍加

4、法原理） 师：请大家再来考虑下面的问题（打出片子问题 2）. 问题 2：由 A 村去 B 村的道路有 3 条，由 B 村去 C 村的道路有 2 条（见图 9-1） ，从 A 村经 B 村去 C 村，共有多少种不同的走法？ 师：（启发学生回答后加以说明） 这里，从 A 村到 B 村，有 3 种不同的走法，按这 3 种走法中的每一种走法到达 B 村后，再从 B 村到 C 村又各有 2 种不同的走法，因此，从 A 村经 B 村去 C 村共有 32=6 种不同的走法. 一般地，有如下基本原理： （找出片子-乘法原理） 乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1种不同的方法，做第二

5、步有 m2种不同的方法，做第 n 步有 mn 种不同的方法.那么，完成这件事共有种不同的方法. N21（教师要读一遍乘法原理） 2.浅释两个基本原理 师：两个基本原理是干什么用的呢？ 生：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数. （如果学生不能较准确地回答，教师可以加以提示） 师：比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别呢？ （学生经过思考后可以得出：各类的方法数相加，各步的方法数相乘.） 两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关. 师：请年下面的分析是否正确. （打出片子-题，题） 题：找这个数中的所有合数.第一类办法是找含因数的合数，共有个；42第二类办法找含因数的合数，共有

6、个；第三类办法是找含因数的合数，共有个. 中一共有个合数 题：在前面的问题中，步行从村到村的北路需要时，中路需要时，南路需要时，村到村的北路需要时，南路需要时，要求步行从村到村的总时数不超过时，共有多少种不同的走法？ 第一步从村到村有种走法，第二步从村到有种走法，共有种不同走法. 生甲：-中的合数是，这五个，其中既含有因数，也含有因数；既含有因数，也含有因数.题中的分析是错误的. 生乙：从村到村总量数不超过时的走法共有种.题中从村走北路到村后再到村，只有南路这一种走法. （此时给出题和题的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且

7、还可以培养学生的学习能力） 师：为什么会出现错误？ 生：题的分类可能有问题吧，题都走北路不符合要求. 师：（教师归纳） 进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以. 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤教不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有 m 种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用乘法原理. 43也就是说：类类互斥，步步独立. （在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本

8、原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法. 从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质） （三） 应用举例 师：现在我们已经有了两个基本原理，我们可以它们来解决一些简单问题了.请看例题 .（板书） 例书架上放有本不同的数学书，本不同的语文书，本不同的英语书. （）若从这此书中任取一本，有多少种不同的取法？ （）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？ （让学生思考，要求依据两个基本原理写出这个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述

9、解法） 师：（1）从书架上任取一本书，可以有 3 类办法：第一类办法是从 3 本不同数学书中任取 1 本，有 3 种方法；第二类办法是从 5 本不同的语文书中任取 1 本，有 5 种方法；第三类办法是从 6 本不同的英语书中任取一本，有 6 种方法.根据加法原理，得到的取法种数是 N=m1+m2+m3=3+5+6=14. 故事书架上任取一本书的不同取法有 14 种 师：（2）从书架上任取数学书、语文书、英语书各 1 本，需要分成三个步骤完成，第一步取1 本数学书，有 3 种方法；第二步取 1 本语文书，有 5 种方法；第三步取 1 本英语书，有 6 种方法根据乘法原理，得到不同的取法种数是 N

10、=m1m2m335690 故，从书架上取数学书、语文书、英语书各 1 本，有 90 种不同的方法 师：（3）从书架上任取不同科目的书两本，可以有 3 类办法：第一类办法是数学书、语文书各取 1 本，需要分两个步骤，有 35 种方法；第二类办法是数学书、英语书各取 1 本，需要分两个步骤，有 36 种方法；第三类办法是语文书、英语书各取 1 本，有 56 种方法一共得到不同的取法种数是 N 即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有 63 种 师：请大家再来分析和解决例题 2 （板书） 例 2 由数字 0，1，2，3，4 可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）? 师：每一个三位整数是由什

11、么构成的呢? 生：三个整整字 师：023 是一个三位整整吗? 生：不是，百位上不能是 0 44师：对!百位的数字不能是 0，也就是说，一个三位整数是由百位、十位、个位三位数字组成的，其中最高位不能是 0那么要组成一个三位数需要怎么做呢? 生：分成三个步骤来完成：第一步确定百位上的数字；第二步确定十位上的数字；第三步确定个位上的数字 师：很好!怎样表述呢? （教师巡视指导、并归纳） 解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从 14 这 4个数字中任选一个数字，有 4 种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有 5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有 5 种选法

12、根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是 N 答：可以组成 100 个三位整数 （教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高 教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理裨的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础）（四）归纳小结 师：什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理呢? 生：分类时用加法原理，分步时用乘法原理 师：应用两个基本原理时需要注意什么呢? 生：分类时要求各类加法彼此之间相

13、互排斥；分步时要求各步是相互独立的 （五）课堂练习 P222：练习 14 （对于题 4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示） （六）布置作业 P222：练习 5，6，7 补充题： 1.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个? （提示：按十位上数字的大小可以分为 9 类，共有 9+8+7+2+145 个个位数字小于十位数字的两位数） 2.某学生填报高考志愿，有 M 个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写 3 个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数 （提示：需要按三个志愿分成三步，共有 M（M-1） （M-2）种填写方式） 3.在所有的三位数中，有且只

14、有两个数字相同的三位数共有多少个? （提示：可以用下面方法来求解：（1）， （2）， （3）， （1） ， （245） ， （3）类中每类都是 99 种，共有 99+99+99399243 个只有两个数字相同的三位数） 4.某小组有 10 人，每人至少会英语和日语的一门，其中 8 人会英语，5 人会日语，（1）从中任选一个会外语的人，有多少种选法?（2）从中选出会英语与会日语的各 1 人，有多少种不同的选法? （提示：由于 8+51310，所以 10 人中必有 3 人既会英语又会日语 （1）N5+2+3；（2）N52+53+23） 课堂教学设计说明 两个基本原理一课是排列、组合、二项式定理的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，通常教师们或者感觉很简单，一带而过；或者感觉难以开头中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以乘法原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，因此必须使生学会正确地使用两个基本原理，学会正确地使用这两个基本原理是这一章教学中必须抓住的一个关键，所以在教学目标中特别提出要使学生会准