计算机中的原码、反码和补码

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1、补码补码补码(twos complement) 1、在计算机系统中，数值一律用补码来表示（存储）。 主要原因：使用补码，可以将符号位和其它位统一处理；同时，减法也可按加法来处理。另外，两个用补 码表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则进位被舍弃。 2、补码与原码的转换过程几乎是相同的。补 码 概 述求 给 定 数 值 的 补 码 表 示 分 以 下 两 种 情 况 ： （ 1） 正 数 的 补 码与 原 码 相 同 。 【 例 1】 +9 的 补 码 是 00001001。 (备 注 ： 这 个 +9 的 补 码 说 的 是 用 8 位的 2 进 制 来 表 示 补 码 的 ， 补 码

2、 表 示 方 式 很 多 ， 还 有 16 位 2 进 制 补 码 表 示 形式 ， 以 及 32 位 2 进 制 补 码 表 示 形 式 等 。 ) （ 2） 负 数 的 补 码负 数 的 补 码 是 对 其 原 码 逐 位 取 反 ， 但 符 号 位 除 外 ； 然 后 整 个 数 加 1。 同 一 个 数 字 在 不 同 的 补 码 表 示 形 式 里 头 ， 是 不 同 的 。 比 方 说 -15 的 补码 ， 在 8 位 2 进 制 里 头 是 11110001， 然 而 在 16 位 2 进 制 补 码 表 示 的 情 况 下 ，就 成 了 1111111111110001。 在

3、这 篇 补 码 概 述 里 头 涉 及 的 补 码 转 换 默 认 了 把一 个 数 转 换 成 8 位 2 进 制 的 补 码 形 式 ， 每 一 种 补 码 表 示 形 式 都 只 能 表 示 有 限的 数 字 。 【 例 2】 求 -7 的 补 码 。 因 为 给 定 数 是 负 数 ， 则 符 号 位 为 “1”。 后 七 位 ： +7 的 原 码 （ 0000111） 按 位 取 反 （ 1111000） 加1（ 1111001） 所 以 -7 的 补 码 是 11111001。 已 知 一 个 数 的 补 码 ， 求 原 码 的 操 作 分 两 种 情 况 ： （ 1） 如 果 补

4、 码 的 符 号 位 为 “0”， 表 示 是 一 个 正 数 ， 其 原 码 就 是 补 码 。 （ 2） 如 果 补 码 的 符 号 位 为 “1”， 表 示 是 一 个 负 数 ， 那 么 求 给 定 的 这 个补 码 的 补 码 就 是 要 求 的 原 码 。 再 举 一 个 例 子 ： 求 -64 的 补 码 +64： 01000000 11000000 【 例 3】 已 知 一 个 补 码 为 11111001， 则 原 码 是 10000111（ -7） 。 因 为 符 号 位 为 “1”， 表 示 是 一 个 负 数 ， 所 以 该 位 不 变 ， 仍 为 “1”。 其 余 七

5、 位 1111001 取 反 后 为 0000110； 再 加 1， 所 以 是 10000111。 在 “闲 扯 原 码 、 反 码 、 补 码 ”文 件 中 ， 没 有 提 到 一 个 很 重 要 的 概 念“模 ”。 我 在 这 里 稍 微 介 绍 一 下 “模 ” 的 概 念 ： “模 ”是 指 一 个 计 量 系 统 的 计 数 范 围 。 如 时 钟 等 。 计 算 机 也 可 以 看 成一 个 计 量 机 器 ， 它 也 有 一 个 计 量 范 围 ， 即 都 存 在 一 个 “模 ”。 例 如 ： 时 钟 的 计 量 范 围 是 0 11， 模 =12。 表 示 n 位 的 计

6、 算 机 计 量 范 围 是 0 2(n)-1， 模 =2(n)。 “模 ”实 质 上 是 计 量 器 产 生 “溢 出 ”的 量 ， 它 的 值 在 计 量 器 上 表 示 不 出来 ， 计 量 器 上 只 能 表 示 出 模 的 余 数 。 任 何 有 模 的 计 量 器 ， 均 可 化 减 法 为 加 法 运 算 。 例 如 ： 假 设 当 前 时 针 指 向 10 点 ， 而 准 确 时 间 是 6 点 ， 调 整 时 间 可 有以 下 两 种 拨 法 ： 一 种 是 倒 拨 4 小 时 ， 即 ： 10-4=6 另 一 种 是 顺 拨 8 小 时 ： 10+8=12+6=6 在 以

7、12 模 的 系 统 中 ， 加 8 和 减 4 效 果 是 一 样 的 ， 因 此 凡 是 减 4 运 算 ，都 可 以 用 加 8 来 代 替 。 对 “模 ”而 言 ， 8 和 4 互 为 补 数 。 实 际 上 以 12 模 的 系 统 中 ， 11 和1， 10 和 2， 9 和 3， 7 和 5， 6 和 6 都 有 这 个 特 性 。 共 同 的 特 点 是 两 者 相 加 等 于 模 。 对 于 计 算 机 ， 其 概 念 和 方 法 完 全 一 样 。 n 位 计 算 机 ， 设 n=8， 所 能 表示 的 最 大 数 是 11111111， 若 再 加 1 称 为 1000

8、00000(9 位 )， 但 因 只 有 8 位 ， 最 高 位 1 自 然 丢 失 。 又 回了 00000000， 所 以 8 位 二 进 制 系 统 的 模 为 28。 在 这 样 的 系 统 中 减 法 问 题 也 可 以 化 成 加 法 问 题 ， 只 需 把 减 数用 相 应 的 补 数 表 示 就 可 以 了 。 把 补 数 用 到 计 算 机 对 数 的 处 理 上 ， 就 是 补 码 。 另 外 两 个 概 念 一 的 补 码 (ones complement) 指 的 是 正 数 =原 码 ,负 数 =反 码 而 二 的 补 码 (twos complement) 指 的

9、就 是 通 常 所 指 的 补 码 。 小 数 补 码 求 法 ： 一 种 简 单 的 方 式 ， 符 号 位 保 持 1 不 变 ， 数 值 位 从 右 边数 第 一 个 1 及 其 右 边 的 0 保 持 不 变 ， 左 边 按 位 取 反 。 (3).补 码 的 绝 对 值 （ 称 为 真 值 ）【 例 4】 -65 的 补 码 是 10111111 若 直 接 将 10111111 转 换 成 十 进 制 ， 发 现 结 果 并 不 是 -65， 而 是 191。 事 实 上 ， 在 计 算 机 内 ， 如 果 是 一 个 二 进 制 数 ， 其 最 左 边 的 位 是 1， 则我 们

10、 可 以 判 定 它 为 负 数 ， 并 且 是 用 补 码 表 示 。 若 要 得 到 一 个 负 二 进 制 数 的 绝 对 值 （ 称 为 真 值 ） ， 只 要 各 位 （ 包 括 符 号位 ） 取 反 ， 再 加 1， 就 得 到 真 值 。 如 ： 二 进 制 值 ： 10111111（ -65 的 补 码 ） 各 位 取 反 ： 01000000 加 1： 01000001（ +65 的 补 码 ） 代 数 加 减 运 算1、 补 码 加 法X+Y补 = X补 + Y补 【 例 5】 X=+0110011,Y=-0101001， 求 X+Y补 X补 =00110011 Y补 =1

11、1010111 X+Y补 = X补 + Y补 = 00110011+11010111=00001010 注 ： 因 为 计 算 机 中 运 算 器 的 位 长 是 固 定 的 ， 上 述 运 算 中 产 生 的 最 高 位 进位 将 丢 掉 ， 所 以 结 果 不 是 100001010， 而 是 00001010。 2、 补 码 减 法X-Y补 = X补 - Y补 = X补 + -Y补 其 中 -Y补 称 为 负 补 ， 求 负 补 的 方 法 是 ： 负 数 的 绝 对 值 的 原 码 所 有 位 按位 取 反 ； 然 后 整 个 数 加 1。 (恢 复 本 来 解 释 。 请 路 人 真

12、 正 理 解 并 实 际 验 证 后再 修 改 。 以 免 误 导 大 众 。 另 外 ， 例 6 不 具 典 型 性 ， 新 增 例 7。 ) 【 例 6】 1+（ -1） 十 进 制 1 的 原 码 00000001 转 换 成 补 码 ： 00000001 -1 的 原 码 10000001 转 换 成 补 码 ： 11111111 1+（ -1） =0 00000001+11111111=00000000 00000000 转 换 成 十 进 制 为 0 0=0 所 以 运 算 正 确 。 【 例 7 增 】 -7-（ -10） 十 进 制 -7 的 补 码 ： 11111001 -1

13、0 的 补 码 ： 11110110 -（ -10） ： 按 位 取 反 再 加 1 实 际 上 就 是 其 负 值 的 补 码 ， 为 00001010 -7 - （ -10） = -7 + 10 = 3 11111001+00001010 = 00000011 转 换 成 十 进 制 为 3 3、 补 码 乘 法设 被 乘 数 【 X】 补 =X0.X1X2Xn-1， 乘 数 【 Y】 补 =Y0.Y1Y2Yn-1, 【 X*Y】 补 =【 X】 补 【 Y】 补 ， 即 乘 数 （ 被 乘 数 ） 相 乘 的 补 码 等 于 补 码的 相 乘 。 补 码 的 代 数 解 释任 何 一 个

14、 数 都 可 以 表 示 为 -a=2(n-1)-2(n-1)-a; 这 个 假 设 a 为 正 数 ， 那 么 -a 就 是 负 数 。 而 根 据 二 进 制 转 十 进 制 数 的 方法 ， 我 们 可 以 把 a 表 示 为 ： a=k0*20+k1*21+k2*22+k(n-2)*2(n-2)，第 （ n-1） 位 为 符 号 位 不 计 算 在 内 。 这 里 k0,k1,k2,k(n-2)是 1 或 者 0， 而 且 这 里 设 a 的 二 进 制 位 数 为 n 位 ，即 其 模 为 2(n-1),而 2(n-1)其 二 项 展 开 是 :1+20+21+22+2(n-2)，而

15、 式 子 ： -a=2(n-1)-2(n-1)-a 中 ， 2(n-1)-a 代 入a=k0*20+k1*21+k2*22+k(n-2)*2(n-2)和 2(n-1)=1+20+21+22+2(n-2)两 式 ， 2(n-1)-a=(1-k(n-2)*2(n-2)+(1-k(n-3)*2(n-3)+(1-k2)*22+(1-k1)*21+(1-k0)*20+1,而 这 步 转化 正 是 取 反 再 加 1 的 规 则 的 代 数 原 理 所 在 。 因 为 这 里 k0,k1,k2,k3不是 0 就 是 1， 所 以 1 k0,1-k1,1-k2 的 运 算 就 是 二 进 制 下 的 取 反

16、 ， 而 为 什 么要 加 1， 追 溯 起 来 就 是 2(n-1)的 二 项 展 开 式 最 后 还 有 一 项 1 的 缘 故 。 而 -a=2(n-1)-2(n-1)-a 中 ， 还 有 -2(n-1)这 项 未 解 释 ， 这 项 就 是 补 码 里 首 位的 1， 首 位 1 在 转 化 为 十 进 制 时 要 乘 上 2(n-1)， 这 正 是 n 位 二 进 制 的 模 。 不 能 贴 公 式 ， 所 以 看 起 来 很 麻 烦 ， 如 果 写 成 代 数 式 子 看 起 来 是 很 方 便 的 。注 ： n 位 二 进 制 ， 最 高 位 为 符 号 位 ， 因 此 表 示