计算方法简明教程习题全集及解析

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1、1例 1 已知数据表xk10111213f(xk)2.302 62.397 92.484 92.564 9试用二次插值计算 f(11.75)(计算过程保留 4 位小数)并回答用线性插值计算 f(11.75)，应取哪两个点更好？解 因为 11.75 更接近 12，故应取 11，12，13 三点作二次插值先作插值基函数已知 x0=11, y0=2.397 9，x1=12, y1=2.484 9 ，x2=13, y2=2.564 9P2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)P2(x)= f(11.75)?P2(11.75)= =2.463 8 若用线性插值，因为所求点 x11.75

2、在 11 与 12 之间，故应取 x=11,x=12 作线性插值合适注：在作函数插值时，应根据要求，使所求位于所取的中央为好，任意取点一般近似的效果差些第五章插值与最小二乘法5.1插值问题与插值多项式 ex实际问题中若给定函数 是区间 上的一个列表函数 ，如果 ,且 f(x)在区间 上是连续的，要求用一个简单的，便于计算的解析表达式 在区间 上近似 f(x)，使(5.1.1)就称 为 的插值函数，点 称为插值节点，包含插值节点的区间 称为插值区间.通常 ，其中 是一组在 上线性无关的函数族， 表示 组成的函数空间 表示为2(5.1.2)这里 是(n+1)个待定常数，它可根据条件(5.1.1)确

3、定.当时， 表示次数不超过 n 次的多项式集合，此时(5.1.3)称为插值多项式，如果 为三角函数，则 为三角插值，同理还有分段多项式插值，有理插值等等.由于计算机上只能使用+、-、运算，故常用的就是多项式、分段多项式或有理分式，本章着重讨论多项式插值及分段多项式插值，其他插值问题不讨论.从几何上看，插值问题就是求过 n+1 个点 的曲线 ，使它近似于已给函数 ，如图 5-1 所示.插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践.早在一千多年前，我国科学家在研究历法时就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生以后才逐步完善的，其应用也日益广泛.特别是由于计算机的使用和航空、造船、精

4、密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展.尤其是近几十年发展起来的样条(Spline)插值，获得了极为广泛的应用，并成为计算机图形学的基础.本章主要讨论如何求插值多项式、分段插值函数、三次样条插值、插值多项式的存在唯一性及误差估计等.此外，还讨论列表函数的最小二乘曲线拟合问题与正交多项式.讲解：插值多项式就是根据给定 n+1 个点 ，求一个 n 次多项式：使即3这里 是 n+1 个待定系数，根据 n+1 个条件得到的方程组是关于参数的线性方程组。当节点互异时由于系数行列式所以解是存在唯一的。但直接求解较复杂，也得不到统一的表达式。所以通常求插值多项式不用这种方法，而使

5、用下节给出的基函数方法。5.2Lagrange 插值5.2.1线性插值与二次插值最简单的插值问题是已知两点 及 ，通过此两点的插值多项式是一条直线，即两点式(5.2.1)显然 ，满足插值条件，所以 就是线性插值.若记则称 为 与 的线性插值基函数.如图 5-2 所示.于是当 n=2，已给三点 ,称为关于点 的二次插值基函数，它满足(5.2.2)4的图形见图 5-3.它们是满足(5.2.2)的二次插值多项式.满足条件的二次插值多项式 可表示为(5.2.3)的图形是通过三点 的抛物线.5.2.2Lagrange 插值多项式将 n=1 及 n=2 的插值推广到一般情形，考虑通过(n+1)个点，的插值

6、多项式 ,使(5.2.4)用插值基函数方法可得(5.2.5)其中(5.2.6)称为关于 的 n 次插值基函数，它满足条件显然(5.2.5)得到的插值多项式 满足条件(5.2.4)，则称 为 Lagrange(拉格朗日)插值多项式.引入记号(5.2.7)则于是由(5.2.6)得到的 可改写为从而(5.2.4)中的 可改为表达式5(5.2.8)并有以下关于插值多项式的存在唯一性结论.定理 2.1满足条件(5.2.4)的插值多项式 是存在唯一的.证明存在性已由(5.2.5)给出的 证明，下面只需证明唯一性.用反证法，假定还有另一个 使 成立，于是有且 ，它表明 n 次多项式有 n+1 个根 这与代数

7、基本定理 n 次多项式只有 n 个根矛盾，故.证毕.5.2.3插值余项与误差估计若插值区间为 ,在 上有插值多项式 ，则称为插值余项.定理 2.2设 (表示 f(x)在 上(n+1)阶导数连续)，且节点，则满足条件(5.2.4)的插值多项式 对 有(5.2.9)这里 是(5.2.7)所定义的.证明由插值条件(5.2.4)可知 ，故对任何 x 有(5.2.10)其中 K(x)是依赖于 x 的待定函数.将 x 看做区间 上任一固定点，作函数，显然 ，且 ，它表明 在 上有 n+2 个零点及 x，由 Rolle 定理可知 在 上至少有 n+1 个零点.反复应用 Rolle 定理，可得 在 上至少有一

8、个零点 ,使即6代入(5.2.10)则得余项表达式(5.2.9).证毕.注意定理中 依赖于 x 及点 ，此定理只在理论上说明 存在，实际上 仍依赖于 x，即使 x 固定， 也无法确定.因此，余项表达式(5.2.9)的准确值是算不出的，只能利用(5.2.9)式做截断误差估计，由可得误差估计(5.2.11)当 n=1 时可得线性插值的误差估计(5.2.12)当 n=2 时有二次插值的误差估计(5.2.13)利用余项表达式(5.2.9)，当 时，由于 ，于是有即 (5.2.14)它表明当 时，插值多项式 就是它自身，(5.2.14)也给出了插值基函数 的性质，特别当 k=0 时有例 5.1 已给 ，

9、 ， ，用线性插值及二次插值计算 sin 0.336 7 的近似值并估计误差.解由题意知被插函数为 ，给定插值点为 ， ， ， ， .由(5.2.1)知线性插值函数为7当 x=0.336 7 时其截断误差由(5.2.12)得其中 .因 f(x)=sin x,f(x)=-sin x，故于是若用二次插值，在(5.2.3)中取 n=2，则得这个结果与 6 位有效数字的正弦函数表完全一样.其截断误差由(5.2.13)得其中8于是例 5.2设 ，试证解由于 的线性插值于是例 5.3证明 ,其中 是关于点 5 的插值基函数.解讲解：当 n=1 及 n=2 得到的是线性插值和抛物线插值，对于一般情形给定被插

10、值函数的 n+1 个点 ，要求 可通过9n+1 个点的插值基函数 得到，其中 就是由（5.2.6）给出的，它在 点的初值为1，其余点上为 0，于是有（5.2.5）它显然满足条件 就是 Legrange 插值多项式。在区间 上用 它的余项为（5.2.9）这里 是依赖于 和插值点 ，实际是给不出来的。所以 也不可能精确得到，但当 在区间 上有最大值 ，则得误差估计利用余项表达式（5.2.9），令 则得到插值基函数 得一个重要性质（5.2.14）特别当 K0 有用这一性质可以证明例 5.3 得等式。5.3均差与 Newton 插值公式5.3.1均差及其性质利用插值基函数求出 Lagrange 插值多

11、项式(5.2.8)，在理论上是很重要的，但用计算 f(x)近似值却不大方便，特别当精度不够，需增加插值节点时，计算要全部重新进行.为此我们可以给出另一种便于计算的插值多项式 ，它表达为(5.3.1)其中 为待定常数.显然，它可根据插值条件10(5.3.2)直接得到，例如当 时，得 ；当 时，由(5.3.1)得，得 .实际上 就是直线方程的点斜式. ，.为了给出 的系数 的表达式，先引进以下定义.定义 3.1记 为 f 的零阶均差，零阶均差的差商记为称为函数关于点 的一阶均差.一般地，记(k-1)阶均差的差商为(5.3.3)称为 f 关于点 的 k 阶均差.均差有以下重要性质：(1) 均差对称性

12、.k 阶均差可表示为函数值 的线性组合，即(5.3.4)这个性质可用归纳法证明，见3.(5.3.4)表明均差 与节点排列次序无关，称为均差对称性.(2) 如果 是 x 的 m 次多项式，则 是 x 的(m-1)次多项式.11证明由均差定义可知右端分子为 x 的 m 次多项式，且当 时，此式为零，所以分子含有的因子，与分母相约后得到(m-1)次多项式.(3) 若 ，并且 互异，则有,其中 (5.3.5)这公式可直接由 Rolle 定理证明(略).其他均差性质可作为习题自己证明.均差可列均差表，见表 51 5.3.2Newton 插值根据均差定义，把 x 看成 上一点，可得只要把后一式代入前一式，

13、就得到其中(5.3.6)(5.3.7)12是由(5.2.7)定义的.由(5.3.6)确定的多项式 显然满足插值条件，且次数不超过 n，它就是形如(5.3.1)的多项式，其系数为我们称 为 Newton 均差插值多项式.系数 就是均差表 5-1 中加横线的各阶均差，它比 Lagrange 插值的计算量少，且便于程序设计.(5.3.7) 为插值余项，由插值多项式的唯一性可知，它与(5.2.9)是等价的.事实上，利用均差与导数关系式(5.3.5)，可由(5.3.7)推出(5.2.9).但(5.3.7)更有一般性，它对 f是由离散点给出的情形或 f 导数不存在时均适用.例 5.4给出 f(x)的函数表

14、(见表 5-2)，求四次牛顿插值多项式，并由此计算f(0.596)的近似值.从均差表看到四阶均差已近似于常数.故取四次插值多项式 做近似即可.于是截断误差这说明截断误差很小，可忽略不计.讲解：均差即差为函数值之差商比相应自变量之差。K 阶均差是 K1 阶均差的均差。由（5.3.3）给出，它有很多性质，其中（5.3.4）及（5.3.5）最重要，利用均差定义则可推出 Newton 均差插值公式，从而得到 Newton 均差插值多项式13及均差形式的余项表达式（5.3.7），实际上当 则 的极限就是函数 在 处的 Taylor 多项式。余项极限就是 Taylor 多项式。Newton 插值多项式有点

15、是计算简单。且增加一个插值点就增加一项。前面计算都是有效的。注意，由于插值点固定时插值多项式是存在唯一的。因此 Newton 插值多项式与 Lagrange 插值多项式只是形式不同，它们都是同一个多项式。5.4差分与 Newton 前后插值公式5.4.1差分及其性质当插值节点为等距节点 时，称 h 为步长，此时均差及Newton 均差插值多项式(5.3.6)均可简化.定义 4.1设 ，记(5.4.1)(5.4.2)分别称为 在 处以 h 为步长的一阶向前差分及一阶向后差分.符号 及 分别称为向前差分算子及向后差分算子.利用一阶差分可定义二阶差分为（二阶向前差分）（二阶向后差分）一般地，可定义 m 阶向前差分及 m 阶向后差分为此外还可定义不变算子 I 及位移算子 E 为：(5.4.3)14于是，由 ,可得同理可得 .由差分定义并应用算子符号运算可得下列基本性质.性质 1各阶差分均可用函数值表示.例如(5.4.4)(5.4.5)其中 为二项式展开系数.性质 2可用各阶差分表示函数值.例如，可用向前差分表 ，因为于是(5.4.6)性质 3均差与差分有的关系.由定义可知，向前差分15一般地有(5.4.7)同理，对向后差分有(5.4.8)利用(5.4.7)及(5.3.5)又可得到(5.4.9)其中 ，这就是差分与导数的关系.差分的其他性质从