《概率论与数理统计-1-5第五节 条件概率》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计-1-5第五节 条件概率（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节 条件概率,条件概率 乘法公式 小结 布置作业,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率,1. 条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般地 P(A|B) P(A),P(A )=1/6，,例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，,P(A|B)= 1/3.,B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中.,容易看到,P(A|B),于是,P(A )=3/10，,又如，10件产品中有7件正品，3件次品，
2、7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取一件，记,B=取到正品,A=取到一等品，,P(A|B),则,P(A )=3/10，,B=取到正品,P(A|B)=3/7,本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.,A=取到一等品，,计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.,这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有(1).,设A、
3、B是两个事件，且P(B)0,则称 (1),2. 条件概率的定义,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.,3. 条件概率的性质(自行验证),2)从加入条件后改变了的情况去算,4. 条件概率的计算,1) 用定义计算:,P(B)0,P(A|B）=,B发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数,在缩减样本空 间中A所含样 本点个数,例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法1,解法2,解 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用 定义,在B发生后的缩减样本 空间中计算,由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)
4、 (2),而 P(AB)=P(BA),二、 乘法公式,若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,将A、B的位置对调，有,故 P(A)0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3),若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A),(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率,注意P(AB)与P(A | B)的区别！,请看下面的例子,例2 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？,所求为P(AB).,甲、乙
5、共生产 1000 个,189个是 标准件,300个 乙厂生产,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,所求为P(AB) .,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,若改为“发现它是 乙厂生产的,问它 是标准件的概率 是多少?”,求的是 P(A|B) .,B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.,例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解 设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求为 P(B|A) .,条件概率P(A|B)与P
6、(A)的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的 ,设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.,P(A) 与 P(A |B) 的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.,而条件概率 P(A|B) 是在原条件下又添加 “B 发生 ” 这个条件时A发生的可能性大小, 即 P(A|B) 仍是概率.,乘法公式应用举例,一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,（波里亚罐子模型）,于是W
7、1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.,解 设 Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是红球， j=1,2,3,4,用乘法公式容易求出,当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R3R4),一场精彩的足球赛将要举行, 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽
8、签的方法来解决.,5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.,后抽比先抽的确实吃亏吗？,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到入场券的机会都 一样大.”,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则 表示“第i个人未抽到入场券”,因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,由于,由乘法公式,P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,计算得：,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,三、 小结,这一讲，我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握.,四、 布置作业,概率统计标准化作业 (一),
