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1、非线性有限元 第9章 梁和壳,计算固体力学,第9章 梁和壳,引言 梁理论 基于连续体的梁CB梁 CB梁的分析 基于连续体的壳CB壳 CB壳理论 剪切和膜自锁 假设应变单元 一点积分单元,1 引言,第8章介绍了平面单元(二维)和实体单元(三维),在二维问题中，最经常应用的低阶单元是3节点三角形和4节点四边形。在三维单元中，是4节点四面体和8节点六面体单元。,结构单元可以分类为： 梁，运动由仅含一个独立变量的函数描述； 壳，运动由包含两个独立变量的函数描述； 板，即平面的壳，沿其表面法线方向加载； 膜，面内刚度很大，面外刚度很小的薄壳。,1 引言,1 引言,在工程构件和结构的模拟中，梁和壳及其他结
2、构单元是极为有用的。应用薄壳，如汽车中的金属薄板，飞机的机舱、机翼和风向舵；以及某些产品的外壳，如手机、洗衣机和计算机。 用连续体单元模拟这些构件需要大量的单元，如采用六面体单元模拟一根梁沿厚度方向至少需要5个单元，而既便采用低阶的壳单元也能够代替5个或者更多个连续体单元，极大地改善了运算效率。 应用连续体单元模拟薄壁结构常常导致较高的宽厚比，从而降低了方程的适应条件和解答的精度。 在显式方法中，根据稳定性的要求，采用连续体单元的薄壁结构被限制在非常小的时间步。,1 引言,通过两种途径建立壳体有限元： 1 应用经典壳方程的动量平衡(或平衡)的弱形式； 2 结构的假设直接由连续体单元建立基于连续
3、体(CB)方法。,第一种途径是困难的，尤其是对于非线性壳，因为对于非线性壳的控制方程是非常复杂的，处理起来相当不方便；它们的公式通常由张量的曲线分量来表示，并且其特征，诸如厚度、连接件和加强件的变量一般也是难以组合。而且对于什么是最佳的非线性壳方程的观点也不一致。 第二种CB方法(基于连续体)是直观的，得到非常好的解答，它适用于任意的大变形问题并被广泛地应用于商业软件和研究中。因此，我们将关注CB方法。这种方法也称为退化的连续体方法。,1 引言,在大多数板壳理论中，通过强制引入运动假设建立平衡或者动量方程，然后应用虚功原理推导偏微分方程。 在CB方法中，在连续体弱形式的变分和试函数中强制引入运
4、动假设。因此，对于获得壳和其它结构的离散方程，CB壳方法更加直观。在关于壳的CB方法中，由两种途径强化运动假设： 1）在连续体运动的弱形式中，或者 2）在连续体的离散方程。,由二维梁描述CB方法编程特点，应用第一种途径的理论，检验CB梁单元。建立CB壳单元，编程，发展CB壳理论，结合由于大变形在厚度上变化的处理方法，给出在三维问题中描述大转动的方法。 CB壳单元的两点不足：剪切和膜自锁。将描述假设应变场的方法防止发生自锁，给出了缓和剪切和膜自锁的单元例子。 描述应用在显式程序中的4节点四边形壳单元一点积分单元。这些单元是快速和强健的，并且适用于大规模问题的计算。,当结构一个方向的尺度(长度)明
5、显大于其它两个方向的尺度，并且沿长度方向的应力最重要时，可以用梁单元模拟。梁理论的基本假设是：由一组变量可以完全确定结构的变形，而这组变量只是沿着结构长度方向位置的函数。应用梁理论获得可接受的结果，横截面尺度必须小于结构典型轴向尺度的1/10。典型的轴向尺度为： 支承点之间的距离； 横截面发生显著变化部分之间的距离； 所关注的最高阶振型的波长。 梁单元假设在变形中垂直于梁轴线的横截面保持平面。不要误解横截面的尺度必须小于典型单元长度1/10的提法。高度精细的网格中可能包含长度小于其横截面尺寸的梁单元(尽管一般不建议这样做)，在这种情况下实体单元可能更适合。,2 梁理论,2 梁理论,梁理论的假设
6、,运动学假设关注梁的中线(也称为参考线)的运动。由垂直于中线定义的平面称之为法平面。,梁横截面几何形状,广泛应用的梁理论有两种：其运动学假设是： Euler-Bernoulli梁：假设中线的法平面保持平面和法向；称为工程梁理论，而相应的壳理论称为Kirchhoff-Love壳理论。 Timoshenko梁：假设中线的法平面保持平面，但不一定是法向；称为剪切梁理论，相应的壳理论称为Mindlin-Reissner壳理论。,2 梁理论,梁理论的假设,考虑一点P的运动，它在中线上的正交投影为点C。如果法平面转动视为一个刚体，则P点的速度相对于C点的速度给出为,2 梁理论,Timoshenko梁理论,
7、在二维问题中，角速度的非零分量是z 分量，所以,法线的角速率,相对速度为,中线上任何一点的速度是 x 和时间 t 的函数，因此有,即梁上任何一点的速度是相对速度和中线速度之和,2 梁理论,Timoshenko梁理论,应用变形率的定义,变形率的非零分量只有轴向分量和剪切分量，后者为横行剪切。,由于梁内的变形率是有限的，非独立变量 和 只要求C0 连续，位移（挠度）和截面转动各自独立，使截面发生剪切变形后保持平面。,Euler-Bernoulli理论,运动学假设是法平面保持平面和法向，因此，法线的角速度是由中线的斜率的变化率给出,上式等价于要求剪切分量为零，表示在法线和中线之间的夹角没有变化，即法
8、线保持法向。轴向速度则给出为,变形率给出为,2 梁理论,注意在上式中的两个特征： 1）横向剪切为零； 2）在变形率的表达式中出现了速度的二阶导数，梁内的变形率是有限的，即非独立变量的速度场必须为C1连续。,Euler-Bernoulli理论,2 梁理论,E-B梁理论常称为C1 理论，因为它要求C1 近似。转角由位移对坐标的导数给出(区别于Tim梁位移与转角相对独立)。梁单元常常是基于E-B理论，在一维情况下，C1 插值是很容易构造的。,Timoshenko梁有两个非独立变量(未知)，在E-B梁中只有一个非独立变量。类似的简化发生在相应的壳理论中：在Kirchhoff-Love壳理论中只有3个非
9、独立变量，而在Mindlin-Reissner壳理论中有5个非独立变量（经常应用6个）。,E-B梁理论要求C1 近似是E-B和Kirchhoff-Love理论的最大缺陷，在多维空间中C1 近似是很难构造的。由于这个原因，在软件中除了针对梁之外很少应用C1 构造理论。,2 梁理论,横向剪切在厚梁中是明显的，在Timoshenko梁和Mindlin壳中常常应用。当梁趋于薄梁时，Timoshenko梁中的横向剪切在理想性能单元情况将趋于零。因此，在数值结果中也观察到了垂直假设，它隐含着对于薄梁横向剪切为零。 这些假设主要是以实验为依据的：这一理论预测与实验测量相吻合。对于弹性材料，梁的闭合形式解析解
10、也支持这一理论。 它带来的好处是在有限元程序中，用中厚壳代替薄壳，用铁摩钦柯梁代替伯努利梁。,3 基于连续体的梁CB梁,为什么要建立CB梁和CB壳： 1 梁与板壳组合的偏置(offset) 2 接触问题的处理 3 边界条件的处理,通过指定一个偏置量，可以引入偏置。偏置量定义为从壳的中面到壳的参考表面的距离与壳体厚度的比值。,梁作为壳单元的加强部件：（a）梁截面无偏置 （b）梁截面有偏置,3 基于连续体的梁CB梁,建立CB二维梁的公式，结构的控制方程与连续体的控制方程是一致的： 质量守恒 线动量和角动量守恒 能量守恒 本构方程 应变-位移方程,右为CB梁单元，左为母单元。连续体单元的节点仅在顶部
11、和底部，,在 方向的运动一定是线性的。这些节点称为从属节点,3 基于连续体的梁CB梁,为常数的线称为纤维，沿着纤维的单位矢量称为方向矢量,为常数的线称为迭层,主控节点,3 基于连续体的梁CB梁,在纤维将从属节点与参考线连接的内部截面上，引入主控节点，其自由度描述了梁的运动。以主控节点的广义力和速度建立运动方程。在一条纤维上，每一主控节点联系一对从属节点，三点共线。,3 基于连续体的梁CB梁,假设： 1 纤维保持直线； 2 横向正应力忽略不计，即平面应力条件 ； 3 纤维不伸缩。,第一个假设与经典的Mindlin-Reissner假设中要求法线保持直线是不同的，纤维可以不垂直于中线，称其为修正的
12、M-R假设。,如果CB梁单元近似地为Timoshenko梁，其纤维方向尽可能地接近中线的法线方向是必要的，通过指定从属节点的初始位置可以实现这一点。否则，CB梁单元的行为将从根本上偏离Timoshenko梁，并且可能与所观察到的梁的行为不一致。,3 基于连续体的梁CB梁,注意到纤维的不可伸缩仅适用于运动学描述，不适用于动力学描述。不可伸缩性与平面应力的假设相矛盾：纤维通常接近于y方向，如果 ，则必须考虑速度应变 。,通过不使用运动，而是由本构方程来计算 ，消除了这种矛盾。令 ，由 计算沿厚度方向的变化。这等价于由物质守恒获得厚度，因为平面应力的本构方程与物质守恒有关。然后修正节点内力以反映沿厚
13、度方向的变化。这样，不可伸缩性的假设仅仅适用于运动。,假设：1 纤维保持直线； 2 横向正应力忽略不计，即平面应力条件 ； 3 纤维不伸缩。,3 基于连续体的梁CB梁,运动：通过主控节点的平移x(t), y(t)和节点方向矢量的旋转描述运动,从x 轴逆时针旋转的转角为正,通过对连续体单元的标准等参映射，由从属节点运动给出梁的运动,连续体的标准形函数（在节点指标中*代表上节点或下节点）,为了使上面的运动与修正的M-R假设相一致，基本连续体单元的形函数在 方向必须是线性的。因此，母单元在该方向只有两个节点，沿着纤维方向只能有两个节点。速度场为,3 基于连续体的梁CB梁,运动,在从属节点的运动中，现
14、在强制引入不可伸缩条件和修正的M-R假设,pI为主控节点的方向矢量，h0 是伪厚度(初始厚度)，因为它是沿着纤维方向在单元的顶部与底部之间的距离。这是连续体单元向CB梁单元转化的关键一步。,当前节点的方向矢量给出为,总体基矢量,3 基于连续体的梁CB梁,从属节点的速度是坐标的材料时间导数，服从,由每个节点的三个自由度描述主控节点的运动,运动,写出矩阵的形式为,上标slave和mast强调连续体节点是从属节点，梁节点为主控节点。,3 基于连续体的梁CB梁,由于从属节点速度是与主控节点速度相关的，所以节点力的关系为,节点力与主控节点的速度是功率耦合的，在I 处,节点力,可以看出,为了将标准连续体单
15、元转化为CB梁单元，必须强化平面应力假设。采用应力和速度应变的层间分量是方便的。构造每层的基矢量为,3 基于连续体的梁CB梁,与迭层正切,垂直于迭层,本构更新,3 基于连续体的梁CB梁,在迭层分量上加“帽子”，它们随着材料转动，因此考虑是共旋的。变形率的迭层分量给出：,在应力计算中，必须观察平面应力约束,如果本构方程是率的形式，则约束是,例如，对于各向同性次弹性材料，应力率分量给出为,求解得到,3 基于连续体的梁CB梁,求解得到,对于更为一般的材料(包括模型中缺少对称性的定律，诸如非关联塑性的材料)，本构率关系可以写成为,为切线模量，最后一个方程强调了平面应力条件，求解 Dyy,3 基于连续体
16、的梁CB梁,节点内力,除了强制平面应力条件外，从属节点内力采用与连续体单元节点内力相同的计算。积分由数值积分求得。在CB梁中既不应用完全积分公式，也不应用选择减缩积分公式(4-5-33)。这两种方法都会导致剪切自锁(见第7节)。,在2节点单元中，在,处采用单一束积分点，可以避免剪切自锁。,这种积分方法也称为选择减缩积分。它能精确地积分求得轴向正应力，但是不能准确地积分求得横向切应力,3 基于连续体的梁CB梁,沿方向的积分点数目依赖于材料定律和对精度的要求。 1 平滑的超弹性材料定律，3个积分点是足够的。 2 弹-塑性材料，应力分布不是连续可导至少需要5个积分点。 对于弹-塑性材料定律，沿方向的Gauss积分并不是最佳选择，因为这些积分方法是基于高阶多项式的插值，其默认假设数据是平滑的。所以，对于非光滑函数，常常采用梯形规则，其运算效率更高。,3 基于连续体的梁CB梁,为了说明在剪切自锁情况下，选择减缩积分的过程，考虑一个基于4节点四边形连续体单元
