傅里叶级数、积分与变换

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1、 傅里叶级数、积分、变换 一、 级 数 1、实 数 形 式 0 1 ( )cossin kk k k xk x f xaab ll 条件： 1 ( +2 )( )f xlf x为周期函数； 2傅里叶级数经修正（狄里希里定 理） ：若函数 f(x)满足:(1)处处连续或 者在每个周期中只有有限个第一类 间断点;(2)在每个周期中只有有限个 极值点,则级数收敛,且： ( ) (x) 1 ( 0)(0) (x) 2 f x f xf x 级 连续点 数 间断点 和 其中： 1 ( )cos 2 (0) 1 (0) 1 ( )sin l k l k k l k l k afd kll k k bfd

2、ll 2、复 数 形 式 ( ) k x i l k k f xc e 其中： - 1 ( ) 2 k il l k l cfed l ， - 1 ( ) 2 k il l k l cfed l 二、 积 分 对象：( )f x为()x上的 非周期函数； 方法：将非周期函数 f(x)看成某个周期函数 g(x)当周期 2l 的极限形式，然后再傅里叶展开。 1、实 数 形 式 00 ( )( )cos( )sinf xAxdBxd 1 ( )( )cos 1 ( )( )sin Afd Bfd 2、复 数 形 式 ( )( ) i x f xFed 其中 1 ( )( )* 2 i x F wf

3、x edx 傅里叶积分定理：函数在 f(x)区间(,) 满足(1) 在任一有限区间满足狄里希利条件,(2)f(x)在 (,) 绝对可积（|( )|f xdx 收敛）则 f(x)可表示成傅里叶积分，且积分值=f(x+0)+f(x-0)/2 三、 变 换 对 傅里叶积分中 A（w） 、B（w） 、F（w）为傅里叶正变换，傅里叶积分本身为傅里叶逆变换。 1、实 数 形 式 （对 称 形 式） 0 0 2 ( )( )sin 2 ( )( )sin f xBxd Bfd 逆变换 正变 函 换 奇 数 0 0 2 ( )( )cos 2 ( )( )cos f xAxd Afd 逆变换 正变 函 换 偶

4、 数 2、复 数 形 式 1 1 ( )( )( ) 2 ( ) ( ( ( )( ) ) ix ix Fwf x edx f xF weF wF f d x 正变换的相函数 逆变换的原相函数 傅里叶变换的基本性质 1、导数定理 ( ) ( )( )fxiwf xiww 2、积分定理 11 ( ) ( )( ) x fdf xF w iwiw 3、相似性定理 1 ()() w f axF aa 4、延迟定理 0 0 ( ) i x f xxeF 5、位移定理 0 0 () ix ef xF 6、卷积定理 1122 1212 ( );( ) 2 fxF wfxF w fxfxFF 7、多重傅里叶 积分变换 123 () 123123 ( , , )( ,) i k x k y k z f x y zF k k k edk dk dk 123 () 1233 1 ( ,)( , , ) 2 i k x k y k z F k k kf x y z edxdydz 8、傅里叶变换 的意义 运用傅氏变换的微分性质以及积分性质, 可以把线性常系数微分方程转化 为代数方程, 通过解代数方程与求傅氏逆变换, 就可以得到此微分方程的解. 另外, 傅氏变换还是求解数学物理方程的方法之一。