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1、图象工程,章毓晋 (TH-EE-IE),第10章 典型图象变换,近年使用较多的几种图象变换 10.1 Gabor变换 10.2 哈尔变换 10.3 小波变换 10.4 霍特林变换,章毓晋 (TH-EE-IE),10.1.1 窗函数 10.1.2 短时傅里叶变换 10.1.3 连续Gabor变换 10.1.4 离散Gabor表达,10.1 Gabor变换,章毓晋 (TH-EE-IE),令f (t)为实窗函数，乘积 f (t)f (tb) = fb(t)包含了接近t = b处的 f (t)的信息 考虑f (t)是门函数 通过改变参数b，可将窗沿时间轴移动以研究函数 f (t)在不同区间的行为,10
2、.1.1 窗函数,章毓晋 (TH-EE-IE),刻画窗函数的两个重要参数 (1) 中心： (2) 宽度：一般是半径的两倍 均方根（root-mean-square，RMS）半径 t* = 0，半径 Df = t/3，均方根半径是标准半径的1/3,10.1.1 窗函数,章毓晋 (TH-EE-IE),频率窗函数F(w) 中心为w*，均方根半径为DF 根据不确定性原理 等号仅在 f (t)和 F(w)为高斯函数时成立,10.1.1 窗函数,章毓晋 (TH-EE-IE),一个函数 f (t)相对于窗函数f (t)在时-空平面上位置(b, v)的短时傅里叶变换是 窗函数f (t)可以是复函数，且满足 F
3、 (w)像一个低通滤波器，即频谱在w = 0处不为零,10.1.2 短时傅里叶变换,章毓晋 (TH-EE-IE),短时傅里叶变换只需知道 f (tb)不为零的区间就可计算单个频率上的频谱分量 Gf f (b, v)给出 f (t)在接近t = b处的近似频谱 将窗函数 f (tb)看作正弦波exp(jvt)的调制函数，短时傅里叶变换可写为（其中代表内积） 函数fb,v(t) = f (tb)exp(jvt)就像一组波形，其中正弦波在包络函数 f (t)中振荡。,10.1.2 短时傅里叶变换,章毓晋 (TH-EE-IE),用高斯函数作为窗函数 t* = w* = 0，Dga = a和DGa =
4、1/2a。可知DgaDGa = 1/2，即达到了不确定性原理所给出的下限 f (t)在时间窗 中的信息,10.1.3 Gabor变换,章毓晋 (TH-EE-IE),Gabor变换 其中 b, v 在 t-f 平面，Gabor变换是稠密的 离散形式 例10.1.1 大尺度分辨率高，小尺度分辨率低,10.1.4 离散Gabor表达,章毓晋 (TH-EE-IE),哈尔函数 hk(z) k = 0, 1, 2, , N 1，N = 2n 整数 k 可被唯一地分解成： 其中 0 p n 1 当 p = 0时，q = 0 或 q = 1 当 p 0时，1 q 2 p 例：对N = 4，当 k = 0 时有
5、 p = 0 和 q = 0 当 k = 1 时有 p = 0 和 q = 1,10.2 哈尔变换,章毓晋 (TH-EE-IE),哈尔函数 hk(z) k = 0, 1, 2, , N 1，N = 2n,10.2 哈尔变换,章毓晋 (TH-EE-IE),哈尔矩阵 对1个N N 矩阵，其第 i 行由 z = 0/N，1/N， ，(N 1)/N 的 hi(z) 的元素构成 例： N = 2 N = 4 表10.2.1,10.2 哈尔变换,章毓晋 (TH-EE-IE),10.3.1 小波变换基础 10.3.2 1-D小波变换 10.3.3 快速小波变换 10.3.4 2-D小波变换 10.3.5 小
6、波包变换,10.3 小波变换,章毓晋 (TH-EE-IE),1. 序列展开 ak是实数，称为展开系数，uk(x)是实数，称为展开函数 (1) 展开函数构成空间U的正交归一化基，uk(x) = uk(x) (2) 展开函数仅构成空间U的正交基，但没有归一化,10.3.1 小波变换基础,章毓晋 (TH-EE-IE),2. 缩放函数 用展开函数作为缩放函数，并对缩放函数进行平移和2进制缩放 k 确定了uj,k(x)沿X-轴的位置，j 确定了uj,k(x)沿X-轴的宽度（所以u(x)也称为尺度函数），系数2 j/2 控制uj,k(x)的幅度 给定一个初始 j（下面常取为0），就可确定一个缩放函数空间U
7、j，Uj的尺寸是随 j 的增减而增减的,10.3.1 小波变换基础,章毓晋 (TH-EE-IE),2. 缩放函数 各个缩放函数空间Uj，j = , , 0, 1, , 是 重合嵌套的，即Uj Uj+1 Uj中的展开函数可以表示成Uj+1中展开函数的加 权和 用hu(k)表示缩放函数系数 u(x) = u0,0(x) 多尺度细化方程,10.3.1 小波变换基础,章毓晋 (TH-EE-IE),3. 小波函数 用v(x)表示小波函数 与小波函数vj,k(x)对应的空间用Vj表示 空间Uj，Uj+1和Vj有如下关系 在Uj+1中，Uj的补是Vj,10.3.1 小波变换基础,章毓晋 (TH-EE-IE)
8、,3. 小波函数 Uj中的所有uj,k(x)与Vj中的所有vj,k(x)是正交的 与缩放函数空间类似，各个小波函数空间Vj，j = , , 0, 1, , 也是重合嵌套的，Vj Vj+1,10.3.1 小波变换基础,章毓晋 (TH-EE-IE),4. 缩放函数和小波函数示例 哈尔变换的基本函数是最简单的正交归一化小波 单位高度和 单位宽度的 缩放函数,10.3.1 小波变换基础,章毓晋 (TH-EE-IE),4. 缩放函数和小波函数示例 随着 j 的增加，缩放函数变窄变高 左图：仅用 j = 0的缩放函数不够，还需要 j = 1的缩放函数 右图： 分解u0,0(x),10.3.1 小波变换基础
9、,章毓晋 (TH-EE-IE),4. 缩放函数和小波函数示例 缩放函数系数hu(k)和小波函数系数hv(k)具有如下联系： 哈尔缩放矢量hu(0) = hu(1) = 21/2，它们组成哈尔矩阵H2的第一行 由哈尔缩放矢量可得到对应的小波矢量，即hv(0) = 21/2，hv(1) = 21/2（哈尔矩阵H2的第二行）,10.3.1 小波变换基础,章毓晋 (TH-EE-IE),4. 缩放函数和小波函数示例 哈尔小波函数 例：V0中的v0,2(x)和V1中的v1,0(x),10.3.1 小波变换基础,章毓晋 (TH-EE-IE),4. 缩放函数和小波函数示例 f (x)属于U1，但可结合使用U0
10、和V0 中的展开函数来表达 fa(x)是用U0中的展开函数来对 f (x) 的一个逼近 fd (x)是 f (x)和 fa(x)的差,10.3.1 小波变换基础,章毓晋 (TH-EE-IE),1. 小波序列展开 对给定的函数 f (x)，可以用u(x)和v(x)对它进行展开 a0(k)：缩放系数 bj(k)：小波系数,10.3.2 1-D小波变换,章毓晋 (TH-EE-IE),2. 离散小波变换 如果 f (x)是一个离散序列，展开得到的系数称为 f (x)的离散小波变换（DWT） 近似系数 细节系数,10.3.2 1-D小波变换,章毓晋 (TH-EE-IE),需要1个2-D缩放函数u(x,
11、y)和3个2-D小波函数vH(x, y)，vV(x, y)，vD(x, y)，每一个都是1-D缩放函数u和对应的小波函数v的乘积 可分离的缩放函数 水平边缘 垂直边缘 沿对角线的变化,10.3.4 2-D小波变换,章毓晋 (TH-EE-IE),2-D图象的二级小波分解示意图 先从尺度 j+1到尺度 j，再到尺度 j1,10.3.4 2-D小波变换,章毓晋 (TH-EE-IE),10.4 霍特林变换,变换要点和特点 特征值变换、主分量变换、离散KL变换 基于图象统计特性 变换系数不固定（没有基本函数） 把输入图象看作一组随机矢量 求取协方差矩阵的特征矢量进行变换 解除原始图象数据间的相关,章毓晋
12、 (TH-EE-IE),10.4 霍特林变换,随机矢量，均值，协方差 M个N阶,章毓晋 (TH-EE-IE),10.4 霍特林变换,协方差矩阵 Cx是N N 阶实对称矩阵 Cii是各矢量的第i个分量 组成的矢量xi的方差 Cij是矢量xi和矢量xj 之间的协方差,章毓晋 (TH-EE-IE),均值和协方差计算示例,10.4 霍特林变换,章毓晋 (TH-EE-IE),基本步骤： (1) 选3个以上点的坐标构成一组矢量 x (2) 计算x的均值矢量mx和协方差矩阵Cx (3) 计算 Cx 的特征值，获得特征矢量矩阵A (4) 霍特林变换：用A乘以原始矢量和均值 矢量的差 y： 均值为零,10.4
13、霍特林变换,章毓晋 (TH-EE-IE),基本步骤： y 矢量的协方差矩阵 Cy是1个对角矩阵 （对角矩阵的主对角 线上的元素是特征值） Cy： 主对角线上的元素是Cx的特征值 主对角线以外的元素均为零（不相关）,10.4 霍特林变换,章毓晋 (TH-EE-IE),10.4 霍特林变换,计算 Cx 的特征值 （前例）特征矩阵 特征多项式 特征方程 协方差矩阵,章毓晋 (TH-EE-IE),10.4 霍特林变换,近似重建（在均方误差意义下最优） 从 y 重建 x ： A的各行都是正交归一化矢量，A 1 = AT 近似重建： 均方误差：,章毓晋 (TH-EE-IE),通信地址：北京清华大学电子工程系 邮政编码：100084 办公地址：清华大学东主楼，9区307室 办公电话：(010)62781430 传真号码：(010)62770317 电子邮件： 个人主页： 实验室网：,联 系 信 息,
