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1、尹绍全 编制,乐山师范学院物电系,量子力学1,本节讲授,第二章 波函数与薛定谔方程,2.1 波函数的统计解释,主讲：物电学院副教授 尹绍全,3,Chapter 2. The wave function and Schrdinger Equation,2.1 波函数的统计解释 Wave function and its statistical explanation 2.2 态叠加原理 Superposition principle 2.3 薛定谔方程 Schrdinger equation 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 Current density of particles and c
2、onservation laws 2.5 定态薛定谔方程 Time-independent Schrdinger equation 2.6 一维无限深势阱 One-dimensional infinite potential well 2.7 线性谐振子 Linear harmonic oscillator 2.8 势垒贯穿 Barrier penetration,学习内容,4,Chapter 2. The wave function and Schrdinger Equation,学习要求,5,Chapter 2. The wave function and Schrdinger Equat
3、ion,微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必有别于经典力学对粒子运动状态的描述，即微观粒子的运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述。这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。,2.1 波函数的统计解释,1微观粒子状态的描述,德布罗意指出：微观粒子的运动状态可用一个复函数 来描述，函数 称为波函数。, 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波,6,Chapter 2. The wave function and Schrdinger Equation,如果粒子处于随时间和位置变化的力场 中 运动，他的动量和能量不
4、再是常量（或不同时为常量）粒子的状态显然就不能用平面波描写，必须用较复杂的波描写，一般记为,称为波函数，描写粒子状态的波函数通常是一个复函数。,三个问题？,2.1 波函数的统计解释（续1）,(1) 是如何描述粒子的状态呢？,(2) 如何体现波粒二象性的？,(3) 描写的是什么样的波呢？,7,Chapter 2. The wave function and Schrdinger Equation,电子单缝衍射实验,2波函数的统计解释,电子小孔衍射实验,2.1 波函数的统计解释（续2）,8,Chapter 2. The wave function and Schrdinger Equation,
5、两种错误的看法,（1） 波由粒子组成,如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形成的一种分布。,这种看法与实验矛盾，它不能解释长时间单个电子衍射实验：,电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。,事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。,2.1 波函数的统计解释（续3）,9,Chapter 2. The wave function and Schrdinger Equation,波由粒子组成的看法仅注意到了粒
6、子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。,（2） 粒子由波组成,电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际的结构，即电子被看成是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。,2.1 波函数的统计解释（续4）,什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。,10,Chapter 2. The wave function and Schrdinger Equat
7、ion,实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小1 。,电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。,2.1 波函数的统计解释（续5）,11,Chapter 2. The wave function and Schrdinger Equation,（1）入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;,我们再看一下电子的衍射实验, 玻恩的解释：,
8、衍射实验事实：,2.1 波函数的统计解释（续6）,12,Chapter 2. The wave function and Schrdinger Equation,1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：,（2） 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.,可见，波函数模的平方 与粒子 时刻在 处附近出现的概率成正比。,2.1 波函数的统计解释（续7）,波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与粒子t时刻在 处单位体积发现粒子的概率（几率）成比例。,13,Chapter 2. The wave function and Schrdinger Equation,设粒子状态由波函数
9、 描述，波的强度是,则微观粒子在t 时刻出现在 处体积元d内的几率,这表明描写粒子的波是几率波(概率波),反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数 有时也称为几率幅。,按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中某一点 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的平方成比例,2.1 波函数的统计解释（续8）,14,Chapter 2. The wave function and Schrdinger Equation,（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒子的波是几率波”，这是量子力学的一个基本假设（基本原理）。 知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子在空间各点处出现的几率，以后的讨论
10、进一步知道，波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系的量子状态（简称状态或态） （2）波函数一般用复函数表示。 （3）波函数满足连续性、有限性、单值性。,必须注意,2.1 波函数的统计解释（续9）,15,Chapter 2. The wave function and Schrdinger Equation,令,3波函数的归一化条件,时刻，在空间任意两点 和 处找到粒子的相对几率是：,可见， 和 描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。,2.1 波函数的统计解释（续10）,和 = 所描写状态的相对几率是相同的，这里的 是常数。,16,Chapter 2. The wave fu
11、nction and Schrdinger Equation,非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即,和 描述同一状态,这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大一倍（原来的 2 倍）时，则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。,为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性，利用粒子在全空间出现的几率等于一的特性，提出波函数的归一化条件：,2
12、.1 波函数的统计解释（续11）,17,Chapter 2. The wave function and Schrdinger Equation,又因,于是,归一化条件消除了波函数常数因子的一种不确定性。,满足此条件的波函数 称为归一化波函数。,2.1 波函数的统计解释（续12）,18,Chapter 2. The wave function and Schrdinger Equation,归一化常数,Solve:,归一化的波函数,(1).求归一化的波函数,2.1 波函数的统计解释（续13）,19,Chapter 2. The wave function and Schrdinger Equa
13、tion,（2）几率分布：,（3）由几率密度的极值条件,由于,故 处，粒子出现几率最大。,2.1 波函数的统计解释（续14）,20,Chapter 2. The wave function and Schrdinger Equation,注 意,（1）归一化后的波函数 仍有一个模为一的因子 不定性（ 为实函数）。 若 是归一化波函数，那末， 也是归一化波函数，与前者描述同一几率波。,若 对空间非绝对可积时，需用所谓函数归一化方法进行归一化。,（2）只有当几率密度 对空间绝对可积时，才能按归一化条件 进行归一化。,2.1 波函数的统计解释（续15）,21,Chapter 2. The wave function and Schrdinger Equation,Solve：,归一化常数, 例如 平面波的归一化问题,ex.2 已知平面波 , 求归一化 常数,2.1 波函数的统计解释（续16）,归一化的平面波：,利用,22,Chapter 2. The wave function and Schrdinger Equation,思考题,下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态? 并指出每个状态由哪几个波函数描写。,同理，三维平面波：,归一化条件,归一化条件,2.1 波函数的统计解释（续）,
