《高考数学导与练（理）-第五篇 数列第3节 等比数列》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学导与练（理）-第五篇 数列第3节 等比数列（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3节等比数列【选题明细表】知识点、方法题号等比数列的判定与证明1,10,12,15等比数列的基本运算5,7,14等比数列的性质2,4,8等差、等比数列的综合3,6,9,11等比数列与其他知识的综合13,16基础对点练(时间:30分钟)1.(2016北京海淀模拟)在数列an中,“an=2an-1,n=2,3,4,”是“an是公比为2的等比数列”的(B)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当an=0时,满足an=2an-1,n=2,3,4,但an是等差数列,不是等比数列,故充分性不成立;又当an是公比为2的等比数列时,有anan-1=2,n=2,
2、3,4,即an=2an-1,n=2,3,4,所以必要性成立,故选B.2.(2016湖北华师一附中3月联考)在等比数列an 中,a2a3a4=8,a7=8,则a1等于(A)(A)1(B)1(C)2(D)2解析:因为数列an是等比数列,所以a2a3a4=a33=8,所以a3=2,所以a7=a3q4=2q4=8,所以q2=2,a1=a3q2=1,故选A.3.(2016河北衡水中学五调)已知等比数列an的公比q=2,且2a4,a6,48成等差数列,则an的前8项和为(B)(A)127(B)255(C)511(D)1 023解析:因为2a4,a6,48成等差数列,所以2a6=2a4+48,所以2a1q5
3、=2a1q3+48,又因为q=2,所以a1=1,所以S8=1(1-28)1-2=255.故选B.4.(2016山东烟台一模)已知数列an是等比数列,且每一项都是正数,若a1,a49是2x2-7x+6=0的两个根,则a1a2a25a48a49的值为(B)(A)215 (B)93(C)93(D)35解析:因为an是等比数列,且a1,a49是方程2x2-7x+6=0的两根,所以a1a49=a252=3.而an0,所以a25=3.所以a1a2a25a48a49=(a25)5=93.故选B.5.(2016河南开封一模)设等比数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,则m等于
4、(C)(A)3(B)4(C)5(D)6解析:由已知得,Sm-Sm-1=am=-16,Sm+1-Sm=am+1=32,故公比q=am+1am=-2,又Sm=a1-amq1-q=-11,故a1=-1,又am=a1qm-1=-16,故(-1)(-2)m-1=-16,求得m=5.故选C.6.(2016山西吕梁一模)已知Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则a2+a3a1等于(C)(A)4(B)6(C)8(D)10解析:设公差为d,则S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,因为S1,S2,S4成等比数列,所以S22=S1S4,即(2a1+d)2=a1(4a1
5、+6d),解得d=0(舍去)或d=2a1,所以a2+a3a1=a1+d+a1+2da1=8a1a1=8.故选C.7.(2016河南商丘一模)在各项均为正数的等比数列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6=.解析:设公比为q,因为a2=1,则由a8=a6+2a4得q6=q4+2q2,q4-q2-2=0,解得q2=2,所以a6=a2q4=4.答案:48.等比数列an的首项a1=-1,前n项和为Sn,若S10S5=3132,则an的通项公式an=.解析:因为S10S5=3132,所以S10-S5S5=-132,因为S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,所以q5=-132
6、,q=-12,则an=-1(-12)n-1=-(-12)n-1.答案:-(-12)n-19.导学号 18702256数列an是公差不为零的等差数列,并且a5,a8,a13是等比数列bn的相邻三项.若b2=5,则bn=.解析:因为an是公差不为零的等差数列,并且a5,a8,a13是等比数列的相邻三项,所以(a5+3d)2=a5(a5+8d),所以a5=92d,所以q=a5+3da5=152d92d=53,因为b2=5,q=53,所以b1=b2q=3,所以bn=b1qn-1=3(53)n-1.答案:3(53)n-110.导学号 18702257已知数列an的前n项和为Sn,满足Sn=4an-p,其
7、中p为非零常数.(1)求证:数列an为等比数列;(2)若a2=43,求an的通项公式.(1)证明:当n=1时,S1=4a1-p,得a1=p30,当n2时,an=Sn-Sn-1=(4an-p)-(4an-1-p)=4an-4an-1,得3an=4an-1,即anan-1=43,因而数列an为公比为43的等比数列.(2)解:由(1)知,数列an的通项公式为an=p3(43)n-1,又a2=43,可知p=3,于是an=(43)n-1.11.导学号 18702258Sn是无穷等比数列an的前n项和,且公比q1,已知1是12S2和13S3的等差中项,6是2S2和3S3的等比中项.(1)求S2和S3;(2
8、)求此数列an的前n项和.解:(1)根据已知条件12S2+13S3=2,(2S2)(3S3)=36.整理得3S2+2S3=12,(3S2)(2S3)=36.解得3S2=2S3=6,即S2=2,S3=3.(2)因为q1,则a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=3.可解得q=-12,a1=4.所以Sn=41-(-12)n1+12=83-83(-12)n.能力提升练(时间:15分钟)12.导学号 18702259数列an满足:an+1=an-1(nN*,R且0),若数列an-1是等比数列,则的值等于(D)(A)1(B)-1(C)12(D)2解析:由an+1=an-1,得an+1-1=an-2=(
9、an-2).由于数列an-1是等比数列,所以2=1,得=2.故选D.13.(2016河北衡水中学调研)已知等差数列an的公差d0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn为数列an的前n项和,则2Sn+16an+3的最小值为(A)(A)4(B)3(C)23-2(D)92解析:由a1,a3,a13成等比数列得a32=a1a13(a1+2d)2=a1(a1+12d)4d2=8a1d,因为d0,因此d=2a1=2,Sn=n2,an=2n-1,从而2Sn+16an+3=n2+8n+1=(n+1)+9n+1-22(n+1)9n+1-2=4,当且仅当n=2时取等号,故选A.14.(2016山西四校
10、联考)已知数列an满足a1=1,an+1an=2n(nN*),则S2 016=.解析:由题意得anan+1=2n,an+2an+1=2n+1an+2an=2,因此a1,a3,a5,构成一个以1为首项,2为公比的等比数列;a2,a4,a6,构成一个以2为首项,2为公比的等比数列;从而S2 016=(a1+a3+a2 015)+(a2+a4+a2 016)=1-21 0081-2+21-21 0081-2=3(21 008-1).答案:3(21 008-1)15.已知数列an满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n2).(1)求证:an+1+2an是等比数列;(2)求数列an的通项公
11、式.(1)证明:因为an+1=an+6an-1(n2),所以an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n2).又a1=5,a2=5,所以a2+2a1=15,所以an+2an-10(n2),所以an+1+2anan+2an-1=3(n2),所以数列an+1+2an是以15为首项,3为公比的等比数列.(2)解:由(1)得an+1+2an=153n-1=53n,则an+1=-2an+53n,所以an+1-3n+1=-2(an-3n).又因为a1-3=2,所以an-3n0,所以an-3n是以2首项,-2为公比的等比数列.所以an-3n=2(-2)n-1,即an=2(-2)n-1+3
12、n(nN*).16.导学号 18702260已知等差数列an的前n项的和为Sn,等比数列bn的各项均为正数,公比是q,且满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.(1)求an与bn;(2)设cn=3bn-2an3,若数列cn是递增数列,求的取值范围.解:(1)由已知可得q+3+a2=12,3+a2=q2,所以q2+q-12=0,解得q=3或q=-4(舍),从而a2=6,所以an=3n,bn=3n-1.(2)由(1)知,cn=3bn-2an3=3n-2n.由题意,cn+1cn对任意的nN*恒成立,即3n+1-2n+13n-2n恒成立,亦即2n23n恒成立,即2(32)n恒成立.由
13、于函数y=(32)n是增函数,所以2(32)nmin=232=3,故3,即的取值范围为(-,3).好题天天练导学号 18702261已知等比数列an的前n项和为Sn,若S1,2S2,3S3成等差数列,且S4=4027.(1)求数列an的通项公式;(2)求证:Sn32.(1)解:设等比数列an的公比为q.因为S1,2S2,3S3成等差数列,所以4S2=S1+3S3,即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),所以a2=3a3,所以q=a3a2=13.又S4=4027,即a1(1-q4)1-q=4027,解得a1=1,所以an=(13)n-1.(2)证明:由(1)得Sn=a1(1-qn)1-q=1-(13)n1-13=321-(13)n32.
