大学课件《应用数理统计》

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1、应用数理统计,刘峻岭,前 言,数理统计定义与任务,统计学 统计学是数据的艺术和科学，通过产生、收集、描述、分析、总结和表达数据达到发现新知识的目的。 统计学的基本任务 描述、确定、作出判断，得出与总体有关的推断。,数理统计的内容,收集数据 通过实验、抽样调查、普查、查阅以往记录。 统计分析 用科学的方法对数据进行归纳整理、分析和解释，从而提示出它们的基本特性和重要关系，以确定数据的变化规律和趋势。 统计推断 利用收集的有效数据，在统计分析的基础上，对总体进行推断。,描述统计学：研究整理和描述数据的方法。对随机现象进行观测、试验，以取得有代表性的观测值。,推断统计学：研究用从总体中抽取的样本所提

2、供的信息，对总体作出推断的方法。,数 理 统 计,应用数理统计的分类,课程安排,基本知识 统计量与抽样分布 参数估计 假设检验 方差分析 回归分析,基础知识,随机变量的特征函数,随机变量X的分布函数为F(x)，称函数 为随机变量X的特征函数。 特征函数是有界连续函数，容易应用数学分析工具，所以它在概率论和数理统计中起着较重要的作用。特征函数既能完美地刻划分布函数，又比分布函数便于应用。,随机变量的特征函数,离散型随机变量X的特征函数 连续型随机变量X的特征函数,离散型随机变量的特征函数,0-1分布：XB(1，p) 二项分布：XB(n，p) 泊松分布：XP(),连续型随机变量的特征函数,指数分布

3、：XE() 均匀分布：XU(a，b) 正态分布：XN(,2),特征函数基本性质,设随机变量X的特征函数为,特征函数基本性质,设随机变量X存在前n阶导，则的特征函数的n阶导数存在且一致连续。,特征函数基本性质,设相互独立的随机变量Xi的特征函数为 则 的特征函数为,特征函数基本性质,设相互独立的随机变量Xi的特征函数为 则Y=aX+b 的特征函数为,逆转公式,分布函数F(x)的特征函数为 为x1，x2是F(x)的连续点，对一切,唯一性定理,如果两个分布函数F1(x)和F2(x)恒等，当且仅当它们各自的特征函数恒等，即,。,数理统计中常用的分布,0-1分布：XB(1，p) 二项分布：XB(n，p)

4、 泊松分布：XP(),数理统计中常用的分布,指数分布：XE() 均匀分布：XU(a，b) 正态分布：XN(,2),函数,对任意给定的正数0：,函数,对任意给定的正数0，0 ：,2分布,对于给定的任意正数n，令 ： 则分布的密度函数变为 随机变量X的密度函数为上式，则称X服从自由度为n的2分布，记为2(n)。,2分布的可加性,随机变量Xj相互独立，且 ， 则 请同学们证明（用特征函数）,证明,Xj的特征函数为： 的特征函数为： 按特征函数唯一性定理,2分布的期望与方差,2分布的分位点,对任意给定正数，01，称满足条件 的点 为 分布上的分位点。 分位点已制成表格，可以查用。,2分布的近似计算,当

5、n30时 近似服从标准正态分布 可查标准正态分布表求出 然后有,t分布,对于给定的任意正数n，随机变量X的密度函数为 则称X服从自由度为n的t分布，记为tt(n)。,t分布的期望与方差,t分布的分位点,对任意给定正数，01，称满足条件,的点 为 分布上的分位点。 t分布的分位点有表可查。,F分布,对于给定的任意正数n1，n2，随机变量X的密度函数为 则称X服从自由度为 n1和n2的F分布，记为F( n1，n2)。,F分布的期望与方差,F分布的分位点,对任意给定正数，01，称满足条件,的点 为 分布上的分位点。 F分布的分位点有表可查。,例题2-1,查表求：,例题2-1解,统计量与 抽样分布,总

6、体与个体,在数理统计学中，把所研究对象的全体元素的集合称为总体，把组成总体的每个元素称为个体。 灯泡：寿命、亮度 篮球：直径、质量 食品：农药残留量、细菌含量等,抽样与样本,为了了解总体X的分布规律或某些特征，从总体中，按一定法则抽取一定数量的个体进行观测或试验。这种过程称为抽样，所抽取的个体称为样本，样本中个体的个数称为样本容量。观测后的数据称为样本的样本值，样本的可能取值的全体称为样本空间。 检验一批灯泡的寿命是否满足国标要求,随机抽样,要求抽取的样本能很好地反映总体特征且便于处理。 代表性：要求样本X1，X2，Xn同分布且每个Xi与总体具有相同的分布 独立性：要求样本X1，X2，Xn是相

7、互独立的随机变量,统计量,设( X1，X2，Xn )是总体X的样本，f ( X1，X2，Xn )是 n 元实函数，且 f 中不含任何未知参数，则称 f ( X1，X2，Xn )为一统计量。 设( x1，x2，xn )是相应于( X1，X2，Xn )的样本值，则称 f ( x1，x2，xn )为f(X1，X2，Xn)的观察值。 由于样本 X1，X2，Xn 是随机变量，统计量 f ( X1，X2，Xn )出是随机变量，它们有确定的分布，称之为抽样分布。,常用统计量,设 X1，X2，Xn 是来自总体 X 的一个样本， x1，x2，xn是这一样本的观察值，定义：,样本均值：,样本方差：,样本K阶原点矩

8、：,样本K阶中心矩：,分组数据的样本均值与样本方差,设X为离散型随机变量，从该总体抽取容量为n的样本，观察值为,样本均值：,样本方差：,分组数据的样本均值与样本方差,设X为连续型随机变量，从该总体抽取容量为n的样本，观察值为,样本均值：,样本方差：,例2-1,某公司从所制造的铆钉中抽取250个，测量顶部直径，其分布列入下表。试求250个铆钉顶部直径的样本均值和样本方差。,例2-1解,样本均值：,样本方差：,例2-2,设 X1，X2，Xn 是来自总体 X 的样本，如果X 的数学期望 和方差 存在,试求样本均值和方差。,例2-2解,样本中随机变量之间相互独立且每一个随机变量和总体都有相同的分布，则

9、,例2-3,设 X1，X2，Xn 是来自总体 X 的样本，如果X 的数学期望 未知，方差 , 为了使得 的概率至少为0.99，试问必须抽取多大的样本。,例2-3解,由chebyshev不等式：,顺序统计量,设 X1，X2，Xn 是来自总体X的一个样本， x1，x2，xn 是这一样本的观察值，将样本观察值按大小递增顺序排列 ，称X(1)，X(2)，X(n) 为X1，X2，Xn 的顺序统计量。,极小顺序统计量：,极大顺序统计量：,顺序统计量,样本极差：,样本残差：,样本中位数(值)：,样本众数：样本观察值中出现频数最多的数值称为样本众数，记为 。,顺序统计量,如果给出的是分组数据，则用插值公式计算

10、中位数。 L：中位数所在组的下限 b：组距 n：样本空间 f：中位数所在组的频数 ：低于中位数所在组的所有组的频数之和,顺序统计量的性质,对于连续的单峰对称概率密度：,对于右偏态概率分布：,对于左偏态概率分布：,样本中位值始终介于样本平均数和样本众数之间。,样本均值、中位值、众数反映了样本观察值的集中趋势。 样本方差、标准差、极差反映了样本观察值的分散趋势。,顺序统计量,设 X(1)，X(2)，X(n) 为顺序统计量， x(1)，x(2)，x(n) 为其观察值。 对任意实数 x ，总体 X 的经验分布函数表示为：,例2-4,设一组观察值为48，47，42，42，4，34，31，30，29，29

11、，29，26，试求样本均值、样本中位数、样本众数、样本极差，经验分布函数。,例2-4解,26，29，29，29，30，31，34，41，42，42，47，48,样本均值：,样本中位值：,样本众数：,样本极差：,例2-4解,经验分布函数：, 正态总体样本线性组合的分布,设总体 ，且相互独立。 随机变量是Xi的线性组合，即 则 Y 服从正态分布：,2分布的典型模式,设X1，X2，Xn相互独立，且同服从标准正态分布N(0,1) ，则它们的平均和 服从自由度为n的2分布。 请同学们证明,证明提示,首先求Y=X2的概率密度函数 再用2分布的可加性,Y=X2的概率密度函数,X服从标准正态分布 ，概率密度函

12、数 随机变量的函数的概率密度,Y=X2的概率密度函数,Y服从自由度为1的 2 分布,t分布的典型模式,设随机变量和相互独立，且 定义随机变量 T服从自由度为n的t分布，记为：,F分布的典型模式,设随机变量和相互独立，且 定义随机变量 F服从自由度为(n1,n2)的F分布，记为：,正态总体统计量的分布,设X1，X2，Xn是来自正态总体XN(,2) 记：,正态总体统计量的分布,两个正态总体统计量的分布,设X1，X2，Xn是来自正态总体 设Y1，Y2，Yn是来自正态总体 样本均值分别记作： 样本方差分别记作：,两个正态总体统计量的分布,设XN(1,12)，YN(2,22)，且它们独立。记,样本均值：

13、,样本方差：,两个正态总体统计量的分布,统计量：,两个正态总体统计量的分布,当1=2时，统计量：,两个正态总体统计量的分布,统计量：,两个正态总体统计量的分布,统计量：,例题2-5,假设随机变量X服从正态分布 ， 是来自X的样本， 为平均值， a，b的取值是多少，可使 。,例题2-5解,标准正态分布的概率密度是偶函数 与 同分布。,例题2-6,若对总体 X 有 ， 样本的平均值为 ，问n取多大值时，,例题2-6解,例题2-7,正态总体 抽取容量为10的样本。 求样本平方和大于1.44的概率。,例题2-7解,例题2-8,假设随机变量 是来自X的样本 为样本方差 求样本容量 n 的最小值，使其满足

14、：,例题2-8解,例题2-9,正态总体 中抽取容量为10的样本。 已知=0，求样本平方和不小于4的概率。 未知，求样本残差平方和不小于2.85的概率。,例题2-9解,已知=0,例题2-9解,未知,例题2-10,假设随机变量 是来自 X 的样本 试求下列概率：,例题2-10解,例题2-10解,例题2-11,从总体 中抽取10个样本， 从总体 中抽取5个样本， 令 若已知： 求：,例题2-11解,例题2-11解,例题2-12,假设随机变量 是来自X的样本 试求常数 c 使统计量,例题2-12解,例题2-13,正态总体 中抽取容量为16的样本，求样本均值与总体均值之差绝对值小于2的概率。 已知 未知

15、,例题2-13解,已知,例题2-13解,未知,例题2-14,随机变量 ， ， ， 求： 的概率密度,例题2-14解,例题2-14解,例题2-15,正态总体 的容量分别为10，15的两个独立样本平均值差的绝对值大于0.3的概率。,例题2-15解,例题2-16,总体 ， ，且相互独立 和 分别为两个样本的样本方差 取何值可使统计量,例题2-16解,例题2-17,设总体 ， 从两总体中分别抽样，得到以下数据 求：,习题2-17解,习题2-17解,习题2-17解,习题2-18,假设随机变量 ， ， 和 是来自X和Y的样本， 令 (1) 成立时的 (2) 成立时的,习题2-18解,习题2-18解,参数估计,参数的点估计，简称点估计。 参数的区间估