《概率论与数理统计基础(概率分布的特征)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计基础(概率分布的特征)（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,概率论与数理统计基础 （二） 概率分布的数字特征,2,一、概率分布的数字特征 1、期望 考虑这样一个例子： 设射击手甲与乙在同样条件下射击，其命中环数是一个随机变量。假设根据历史记录得到他们分别有下面的命中概率分布表。试问：如何评定甲、乙的射击水平。,3,假设甲射击手发了100颗子弹 由于他命中10环的概率为0.5，那么约有 50次命中10环，同理，约有20次命中9环， 平均命中环数为： 同理可得E(Y)=5.6,4,期望是集中趋势的度量，反映平均意义 离散型随机变量X的期望值 如果X取有限个值x1,x2,xn 如果X取无限个值x1,x2,xn,5,例 子 随机抛一个骰子，求朝上一面的点数
2、的期望值。,E(X)=1/6+2/6 +3/6+4/6 +5/6+6/6 =21/6=3.5,6,在电脑/打印机销售一例中，电脑销售量的期望值为E(X)=0*0.08+1*0.12+2*0.24+3*0.24+4*0.32=2.60 同理，可得打印机销售量的期望值为 E(Y)=0*0.11+1*0.16+2*0.23+3*0.27+4*0.23=2.35.,7,连续型随机变量X的期望值,8,随机变量函数的期望,离散型： 连续型：,9,条件期望,10,例子：,在个人电脑/打印机一例中，计算E(Y|X=2).即求每天售出2台电脑的条件下，销售打印机的条件期望。 E(Y|X=2)=0*f(Y=0|X
3、=2)+1*f(Y=1|X=2)+2*f(Y=2|X=2)+3*f(Y=3|X=2)+4*f(Y=4|X=2)=1.875（条件期望） 注：f(Y=1|X=2)= E(Y)=0*0.11+1*0.16+2*0.23+3*0.27+4*0.23=2.35（非条件期望） 结论：条件期望一般不等于非条件期望。当然，如果两个变量相互独立，那么条件期望与非条件期望相同。,11,二元随机变量函数的情况（多元概率分布的期望值）,Z=XY,12,例子：,继续个人电脑/打印机销售一例。 E(XY)= =1*1*0.05+1*2*0.06+1*3*0.02+1*4*0.01+4*0*0.01+4*1*0.01+4
4、*2*0.01+4*3*0.05+4*4*0.15 =7.06 （取每一对X和Y的值，乘以它们的联合概率，然后加总）,13,期望的性质,E(C)=C C为常数 E(CX)=CE(X) E(X+C)=E(X)+C E(X+Y)=E(X)+E(Y) 若X与Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y),14,2、方差 期望值仅仅给出了随机变量的重心（或取值的平均程度），但没有表明单个值在均值附近是如何分布或分散的。度量这种分散程度的最常用工具就是方差（variance). 考察两组成绩 甲组：40，50，60，70，80，90，100 乙组：60，60，70，70，70，80，80 甲组平均成绩：70
5、 乙组平均成绩：70,15,方差是离散程度的度量,16,17,方差的性质,18,变异系数 由于标准差(或方差）与度量单位有关，因此如果度量单位不同，很难对两个或多个标准差进行比较。为了解决这个问题，引入变异系数。,无量纲（纯数值）,例题：期中考试中，A班实行百分制，其平均分为80分，标准差为10，B班实行10分制，平均分为7.8，标准差为1.2，哪个班的成绩更好呢？,19,X,f(X),A,均值大小的图示判别,B,20,X,f(X),A,B,小方差,大方差,方差大小的图示判别,21,3、协方差,协方差是一种特殊形式的期望值，度量两个随机变量如何共同变动。如果两个变量同方向变动，则协方差为正；如
6、果两个变量反方向变动，则协方差为负；如果变量之间不存在线性关系，则协方差为0.,22,例子：,再一次回到个人电脑/打印机销售一例。计算电脑销售量（X)和打印机销售量（Y）的协方差。 COV(X,Y)= =7.06-2.60*2.35=0.95 表明电脑销售量和计算机销售量是正相关的。,23,协方差的性质,24,度量两个随机变量的线性关系,4、相关系数,25,相关系数的性质,即若两个变量的相关系数为0，并不意味这它们相互独立，它们可能存在非线性关系。如Y=X2.,26,正线性相关,负线性相关,非线性相关,不相关,典型相关关系图示,27,描述概率分布形状的数字特征,5、偏度（S）和峰度(K),对称
7、,右偏,左偏,28,低峰,尖峰,常峰,29,偏度和峰度的计算公式,S如果为正，则概率密度函数为正偏或右偏 S如果为负，则概率密度函数为负偏或左偏,K3称为高峰，K=3称为常峰,30,6、样本数据所体现的随机变量的数字特征 引例：要想了解某一时点上居住在湘潭所有居民的平均收入，显然需要知道湘潭居民总体的信息。但实际上很难收集到总体中每个成员的信息（收入水平）。实践中所能做到的是从总体中抽取一个“有代表性的”或“随机的”样本（比如抽取100名居民作为一个样本），然后计算抽取的样本的人均收入。 注：样本容量n=100 样本值=100个（即100个收入取值） 样本均值： 总体均值E(X) （未知，但客观存在）,31,样本均值,样本均值是真实E(X)的一个很好的替代,32,样本方差、样本标准差,N-1 自由度,33,样本协方差,34,35,样本相关系数,36,样本偏度,样本峰度,
