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1、第7章 数字滤波器设计,7.1 数字滤波器的分类 7.2 数字滤波器的设计原理 7.3 IIR数字滤波器设计 7.4 FIR数字滤波器设计 7.5 IIR与FIR数字滤波器的比较 本章内容参考： 郑君里等信号与系统（第二版）下册 第十章 模拟与数字滤波器 MATLAB: Signal Processing Toolbox,7.1 数字滤波器的分类,数字滤波器是具有一定选择特性的数字信号处理系统（物理装置或软件算法）。按照不同的分类方法，可以对数字滤波器进行多种分类。此处首先介绍一种最重要的分类方法，所得到的概念不仅是数字滤波器的最基本和最重要的概念，而且是数字滤波器设计的理论基础。 数字滤波器
2、是离散时间系统，其系统函数（或称为传递函数）一般可以表示为有理函数的形式：,此处不失一般性，令a0=1，称为归一化。,（1）FIR数字滤波器,如果其余系数ai全为零，则此时数字滤波器的系统函数为： 对此式作z反变换，可得相应的单位脉冲响应函数h(n)为有限长度的脉冲序列： 称此类数字滤波器为有限脉冲响应数字滤波器（Finite Impulse Response Digital Filter），简称FIR数字滤波器。,（2）IIR数字滤波器,如果其余系数ai不全为零，此处以最简单的情况为例，设a1=-1，且设b0=1，其余系数ai和bi全为零，则此时数字滤波器的系统函数为： 对此式作z反变换，可
3、得相应的单位脉冲响应函数h(n)为无限长度的脉冲序列： 称此类数字滤波器为无限脉冲响应数字滤波器（Infinite Impulse Response Digital Filter），简称IIR数字滤波器。,例1：已知某数字滤波器的差分方程为,即该离散时间系统的输出序列y(n)是当前时刻的输入序列x(n)与前一时刻的输入序列x(n-1)的两点加权平均值（也称为输入序列的两点移动加权平均值），其中b0和b1为加权平均系数。试求该系统的单位脉冲响应序列h(n)。 解：对差分方程的两边取（单边）z变换，得,进而得数字滤波器的传递函数为,对上式取z反变换，可得该数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)为,显
4、然，此h(n)为有限长序列，此系统为FIR系统。,该FIR系统的频率特性（频率响应）：,b0=0.5; b1=0.5; num=b0 b1; den=1; freqz(num,den);,由图可见： （1）该系统的幅频特性具有低通滤波的特性。 （2）该系统没有极点，或者可以认为极点在原点处，所以系统总是稳定的。 （3）当b0=0.5，b1=0.5时，具有线性相位。,该FIR系统的实现：非递归（开环，无反馈）。 从该FIR系统的差分方程为可知，这种滤波器的输出y(n)只与当前时刻的输入x(n)以及过去时刻的输入x(n-1)有关，而与过去时刻的输出无关。所以，该FIR系统通常采用非递归的结构形式来
5、实现。,可以证明，FIR数字滤波器具有严格线性相位的充要条件是其单位脉冲响应序列h(n)为偶对称，即h(n)=h(N-1-n)，即n=(N1)/2是h(n)的偶对称中心。,例2：已知某数字滤波器的差分方程为,即该离散时间系统的输出序列y(n)不仅与当前时刻的输入序列x(n)有关，而且与前一时刻的输出序列y(n-1)也有关，其中a和b为系数。试求该系统的单位脉冲响应序列h(n)。 解：对差分方程的两边取（单边）z变换，得,进而得数字滤波器的传递函数为,对上式取z反变换，可得该数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)为,显然，此h(n)为无限长序列，此系统为IIR系统。,该IIR系统的频率特性（频率响
6、应）：,b=0.5; a=0.5; num=b; den=1 -a; freqz(num,den);,由图可见： （1）该系统的幅频特性具有低通滤波的特性。 （2）当a1时，极点z=a位于单位圆以内，系统稳定。（3）稳定的系统具有非线性相位。,该IIR系统的实现：递归（闭环，有反馈）。 从该IIR系统的差分方程为可知，这种滤波器的输出y(n)不仅与当前时刻的输入x(n)有关，而且与前一时刻的输出y(n-1)也有关。所以，该IIR系统通常采用递归的结构形式来实现。,7.2 数字滤波器的设计原理,数字滤波器是一种具有频率选择性的离散时间线性时不变系统，即选频滤波器。许多信息处理过程，例如信号的过滤
7、、检测、预测等都要用到滤波器。数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。 数字滤波器的功能（本质）是，将一组输入的数字序列，通过一定的运算后，转变为另一组输出的数字序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。 数字滤波器的设计，就是确定其系统函数（传递函数）并实现的过程。,7.2.1 数字滤波器的基本设计步骤,（1）按照实际需要确定滤波器的性能指标。 （2）用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能要求，求出H(z)或h(n)。根据不同要求，可以用IIR系统函数，也可以用FIR系统函数去逼近。 （3）利用有限精度算法来实现这个系
8、统函数。这里包括选择运算结构（例如级联型、并联型等），选择合适的字长（包括系数的量化，输入变量、中间变量和输出变量的量化），以及选择有效数字的处理方法（舍入、截尾）等。 （4）采用适当的软件和硬件技术来实现。包括可以采用通用计算机软件或数字滤波器硬件来实现，或者采用二者结合的方法来实现。,7.2.2 数字滤波器的基本设计思想,（1） 确定数字滤波器的传递函数H(z)的过程，称为数字滤波器设计。 （2） 在大多数应用中，关键的问题是用一个可实现的传递函数去逼近给定的滤波器幅度响应指标，而滤波器的相位响应可以通过级联全通滤波器来校正。 （3）在设计数字传递函数H(z)之前，有两个关键的问题需要考虑
9、： 分析使用数字滤波器的整个系统的需求，确定合理的滤波器频率响应指标。 确定所设计的滤波器是FIR数字滤波器，还是IIR数字滤波器。,7.2.3 数字滤波器的基本性能指标,符号规则说明： 在数字信号处理中，为了书写方便起见，原来用大写希腊字母表示的数字频率，现在用小写希腊字母来表示。而模拟频率却用大写希腊字母表示。 （1）理想滤波器的幅频响应 理想滤波器的单位脉冲响应是非因果、无限长序列，在物理上无法实现。现实中，需要指定可接受的误差容限，并且在通带和阻带之间指定一个过渡带。,说明： 前面已经证明，数字频率具有周期性，且最小周期为2。 数字滤波器与模拟滤波器相似，根据幅频响应的特性也可以分为低
10、通、高通、带通、带阻等类型。 与模拟滤波器不同之处是，数字滤波器是离散系统，其幅频特性|H(ej)|是以2为周期的周期函数。因为实数序列的离散时间傅里叶变换为偶函数，所以数字低通、高通、带通、带阻等幅频特性都是指数字角频率在=0的频率范围之内而言的。在一般情况下，=0为最低数字角频率，=为最高数字角频率。,（2）实际低通数字滤波器的典型幅频响应性能指标,数字滤波器指标：,通带：0 p,阻带：s ,p: 通带截止频率(passband edge frequency) s: 阻带截止频率(stopband edge frequency) p: 通带波纹(peak ripple value in t
11、he passband) s: 阻带波纹(peak ripple value in the stopband),p:峰值通带波纹（Peak passband ripple ）,s:最小阻带衰减（Minimum stopband attenuation）,损益函数（loss function）：,（3）归一化的（normalized form）低通数字滤波器的典型幅频响应性能指标,通带幅度的最大值设定为1。 最大通带波纹(maximum passband deviation): 最大阻带波纹(maximum stopband magnitude): 最大通带衰减(maximum passband
12、 attenuation):,数字滤波器设计，需要将以Hz为单位的截止频率，按归一化角频率来设计，需要做如下计算： 设FT为采样频率（Hz），Fp 和Fs分别为通带和阻带的截止频率（Hz），则归一化截止角频率为：,例：设FT=25kHz, Fp=7kHz, Fs=3kHz, 则归一化截止角频率为（rad）：,7.3 IIR数字滤波器设计,IIR数字滤波器的基本设计思想： 将IIR数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标，设计出该模拟滤波器，然后再将其转换成IIR数字滤波器。,7.3.1 IIR数字滤波器的设计原理,7.3.1.1 IIR数字滤波器的设计步骤 （1）按照实际需要确定滤波器的
13、性能要求。 （2）用一个因果稳定系统的H(z)或h(n)去逼近这个性能要求。 （3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。,7.3.1.2 IIR数字滤波器的设计方法 （1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。 （2）由于模拟滤波器的设计理论已经发展得很成熟，模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设计起来方便、准确，可以将这些理论推广到数字滤波器的设计，作为设计数字滤波器的工具。 （3）因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同，这时数字滤波也可看作是“模仿”模拟滤波器。在IIR滤波器设计中，采用这种设计方法目前最普遍。,7.3.1.2 根据模拟滤波器设计
14、IIR滤波器的原则 利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数H(s)出发，设计数字滤波器的传递函数H(z)，这归根到底是一个由s平面到z平面的映射，这种映射应当遵循两个基本原则： （1）H(z)的频响要能模仿H(s)的频响，即s平面的虚轴应当映射到z平面的单位圆上。 （2）H(s)的因果性和稳定性应当在映射成H(z)之后保持不变，即s平面的左半平面Res0应当映射到z平面的单位圆以内|z|1。,下面介绍IIR数字滤波器设计的两种常用的映射方法： （1）脉冲响应不变法(Impulse Invariance Method) （2）双线性变换法(Bilinear Transfor
15、m Method or Tustins Method) 所对应的MATLAB Function分别为： （1）Function: impinvar Description: Impulse invariance method for analog-to-digital filter conversion. （2）Function: bilinear Description: Bilinear transform method for analog-to-digital filter conversion. 具体使用方法参见： MATLAB Signal Processing Toolbox F
16、ilter Discretization,7.3.2 脉冲响应不变法,采用模拟滤波器的理论设计数字滤波器，就是使数字滤波器能够“模仿”模拟滤波器的特性。这种“模仿”可从不同的角度出发。 脉冲响应不变法就是从滤波器的单位脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的单位脉冲响应h(t)的采样值，即h(n)=h(t)|t=nT，其中T为采样周期。 下图为脉冲响应不变法的原理图。 以H(s)和H(z)分别表示h(t)的拉氏变换和h(n)的z变换，即H(s)=Lh(t)，H(z)=Zh(n)，下面举例说明如何从H(s)推导和计算出H(z)。,脉冲响应不变法的原理：数字滤波器的单位脉冲响应序列是模拟滤波器的单位脉冲响应函数的采样值。 (ILT) (Sample) (ZT) H(s)h(t)h(n)H(z),不失一般性，设具有单极点的模拟滤波器的传递函数H(s)为,显然此H(s)的极点为s=-a。 下面推导脉冲响应不变法的映射规律。 对H(
