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1、1,第七章,第二节,极大似然估计,极大似然估计,2,极大似然法的基本思想,先看一个简单例子：,一只野兔从前方窜过 .,是谁打中的呢？,某位同学与一位猎人一起外出打猎 .,如果要你推测，,你会如何想呢?,只听一声枪响，野兔应声倒下 .,3,基本思想:,若事件Ai 发生了,则认为事件Ai在这n个可能结果,中出现的概率最大。,极大似然估计就是在一次抽样中,若得到观测值,则选取,若一试验有n个可能结果,现做一试验,作为的估计值。,使得当,时,样本出现的概率最大。,4,极大似然估计法:,事件 发生的概率为,为 的函数，,形式已知,(如离散型) X的分布列为,的联合分布列为：,为样本的似然函数。,定义7.
2、1,5,与,有关, 记为,称为参数的极大似然估计值。,称为参数的极大似然估计量。,达到最大的参数,作为的估计值。,现从中挑选使概率,样本的似然函数,6,若总体X属连续型, 其概率密度,的形式已知，,为待估参数；,则,的联合密度：,一般，,关于可微，故可由下式求得：,因此,的极大似然估计也可从下式解得：,在同一点处取极值。,7,8,故似然函数为,例1,设,是来自总体X的一,个样本，,试求参数 p 的极大似然估计值.,解：设,是一个样本值。,X的分布列为：,而,令,9,它与矩估计量是相同的。,解得,p的极大似然估计值,p的极大似然估计量,令,解得,10,设总体X的分布列为：,是来自总体X的样本，求
3、 p 的极大,解：,似然函数为,似然估计值。,例2,11,令,即,12,解,例3,设 X1, X2, , Xn 是取自总体X 的一个样本,，求参数的极大似然估计值。,似然函数为:,13,例4,设,未知，,是一个样本值,解 设,的概率密度为：,似然函数为,14,等价于,因为,即,时,取最大值,在,似然函数为,15,即,时,取最大值,在,似然函数为,16,今取得一组样本Xk数据如下，问如何估计？,某电子管的使用寿命 X （单位：小时) 服从指数分布,例5 指数分布的点估计,分析 可用两种方法：矩法估计 和极大似然估计.,17,1）矩法估计,18,2）极大似然估计,构造似然函数,当xi0,（i=1,
4、2, ,n) 时，似然函数为,取对数,建立似然方程,19,5. 得极大似然估计量：,求解得极大似然估计值,20,似然函数为：,例6,设,为未知参数，,是来自X的一个样本值，求,的极大似然估计值。,解：,X的概率密度为：,21,解得：,令,即：,22,注：lnx 是 x 的严格单增函数，lnL 与L有相同的极大值，一般只需求lnL 的极大值.,求极大似然估计的一般步骤：,写出似然函数,2. 对似然函数取对数,3. 对i (i =1, m)分别求偏导,建立似然方程(组),解得 分别为 的极大估计值.,23,例7 矩估计与似然估计不等的例子,设总体概率密度为,求参数的极大似然估计, 并用矩法估计.,
5、解 1) 极大似然估计法,构造似然函数,2. 取对数：,当 0xi1, (i=1,2, ,n) 时,24,2. 取对数：,当 0 xi 1, (i=1,2, ,n) 时,建立似然方程,求解得极大似然估计值为,5. 极大似然估计 量为,25,2) 矩估计法,26,1. 矩法估计量与极大似然估计量不一定相同；,2. 用矩法估计参数比较简单,但有信息量损失；,3. 极大似然估计法精度较高,但运算较复杂；,4. 不是所有极大似然估计法都需要建立似然方程,小 结,求解.,27,作业,P294 1；2；3；4,28,解,例6. 不合格品率的矩法估计,分析 设总体X 即抽一件产品的不合格产品数，相当于抽取了
6、一组样本X1，X2， ，Xn , 且,因 p=EX, 故 p 的矩估计量为,设某车间生产一批产品，为估计该批产品不合格品率，抽取了n件产品进行检查.,(即出现不合格产品的频率).,29,不合格品率p 的估计,设 总体X是抽一件产品的不合格品数，记 p= PX=1=P产品不合格,则 X的分布列可表示为,现得到X的一组样本X1，X2，,Xn的实际观 察值为 x1, x2, ,xn , 则事件,X1=x1，X2=x2，,Xn=xn,例7,出现的可能性应最大, 其概率为,30,应选取使L(p) 达到最大的值作为参数 p 的估计.,31,令,解得,（频率值）,注意到,32,其中0，与是未知参数，X1，X2，,Xn，,解,设总体X的概率密度为,是X 的一组样本，求与 的矩估计量.,例8,33,令,注意到 DX=E(X2)E(X)2=2,=2+(+)2,34,例 9 均匀分布的极大似然估计,设样本X1，X2， ，Xn来自在区间 0 , 上均匀分布的总体X , 求 的极大似然估计.,解 设x1, x2 , xn是X1, X2, , Xn的样本值，,似然函数为,35,#,如图所示，似然函数L 在,取到最大值，故的极大似然估计量为,36,注 意： 该似然函数不能通过求导构造似然方程. 尝试用其他方法求解！,分析 的估计应满足：,2. 的值不能小于任何一个xi.,1. 的值尽可能小；,37,
