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1、2019/1/29,1,Lagrange定理,Lagrange 定理： |G| = |H| G:H 证明： 令G 的不同的陪集为Ha1, Ha2, , Har, |G| = |Ha1|+|Ha2|+|Har| = |H| r = |H| G:H,2019/1/29,2,Lagrange定理推论,推论 (1) 群的元素的阶是群的阶的因子. 证明：构造子群 ，| = |a|. (2) 素数阶群一定是交换群（实际上是循环群）. 证明：|G| = p, p1, 存在非单位元a, |a| 的阶是p 的因子，只能是 |a| = p. 故G=.,2019/1/29,3,循环群,定义10.7:设G是群，若在G
2、中存在一个元素a,使得G中的任意元素都是a的幂，则称该群为循环群，元素a为循环群G的生成元。记G =.,2019/1/29,4,2019/1/29,4,例10.14(1-3),(1) 整数加群, 1,-1都是生成元 (2) 模p整数加群 除0外，每个元都是生成元 (3) 模n整数加群 与n互素的元都是生成元, 生成元不唯一,2019/1/29,5,2019/1/29,5,例10.14(4-6),(4) n阶实矩阵加群 (5) n阶实可逆矩阵乘法群； (6)集合A=1,2,3上所有的双射函数关于映射复合构成群S3=f1, f2, f3, f4, f5, f6， H1=f1, f2 H2=f1,
3、f5 , f6,f1=, f2=, f3=, f4=, f5=, f6=,2019/1/29,6,循环群必是阿贝尔群,性质:任何一个循环群必为阿贝尔群。,证：设G为一个循环群，其生成元为a,则x,y G ，必r,sZ, s.t. x=ar ,y=as 而且， x*y=ar*as=ar+s=as+r=as+ar=y*x 因此， G为一阿贝尔群,2019/1/29,7,阶数,有限群G的阶数集合G的元素个数.群G的阶数记作|G|=n 元素a的阶数r是使ar =e成立的最小正整数,此时称r为元素a的阶.,2019/1/29,8,循环群分类,生成元的阶无限，则G 为无限循环群 生成元a 为n 阶元，则G
4、=e,a,a2,an1为 n 阶循环群，循环群的阶和生成元的阶相等。 实例 为无限循环群 为n 阶循环群,2019/1/29,9,循环群的生成元,定理10.11 G=是循环群 (1) 若G 是无限循环群，则G 的生成元是a 和a1; (2) 若G 是n 阶循环群，则G 有(n)个生成元，当n=1 时G=的生成元为e；当n1 时,r(rZ+rn),ar 是G 的生成元(n,r)=1.,2019/1/29,10,Euler函数,Euler函数(n)：当n1 时，(1)1；当n1时，它的值(n)等于比n小而与n互素的正整数的个数。 考虑群(Zn*,)， Zn* 是Zn中所有可逆元组成的集合，则|Zn
5、*|= (n),2019/1/29,11,2019/1/29,11,例10.14(1-3),(1) 整数加群, 1,-1都是生成元 (2) 模p整数加群 除0外，每个元都是生成元 (3) 模n整数加群 与n互素的元都是生成元, 生成元不唯一,2019/1/29,12,证明思路：,(1) 证明a1 是生成元 证明若存在生成元b，则b=a 或a1. (2) 只需证明 (r,n)=1, 则ar 是生成元 反之，若ar 是生成元，则 (r,n)=1.,2019/1/29,13,证明,2019/1/29,14,循环群的子群,定理10.12 G=是循环群，那么 (1) G 的子群也是循环群 (2) 若G
6、是无限阶，则G 的子群除e外也是无限阶 (3) 若G 是n 阶的，则对于n 的每个正因子d, 在G 中有且仅有一个d 阶子群.,2019/1/29,15,证明思路：,(1) 子群H 中最小正方幂元am 为H 的生成元 (2) 若子群H=有限，ae, 则推出 |a| 有限. (3) 是d 阶子群，然后证明唯一性.,2019/1/29,16,证明,2019/1/29,17,证明(续),2019/1/29,18,例10.16,G=为r阶循环群，证明|at| = r/(t,r),证： 令|at| = s, (t, r) = d t =dp, r = dq r/(t,r) = r/d = q 只要证s
7、= q (at)q = (at)r/d = (ar)t/d= ep = e s | q (at)s= e ats=e r | ts q | ps q | s （p, q互素）,2019/1/29,19,实例,(1) , 求生成元、子群. 生成元为与12 互质的数：1, 5, 7, 11 12 的正因子为1, 2, 3, 4, 6, 12， 子群：, , , (2) G=为12阶群，求生成元和子群. 生成元为a2, a10, a14, a22 G的子群：, , , , ,2019/1/29,20,实例,(3) 为无限循环群，求生成元和子群. 生成元为a, a1；子群为，i = 0,1,2,； (
8、4) G=，求生成元和子群. 生成元：1, 1; 子群nZ, n = 0,1,2019/1/29,21,置换,定义：设A是一个非空有限集合，从集合A到A的一个双射称为A的一个置换 A 上的n 元置换：|A| = n 时A 上的一一变换 置换的表示法：令A= 1, 2, , n ,2019/1/29,22,2019/1/29,例10.14(6),(6)集合A=1,2,3上所有的双射函数关于映射复合构成群S3=f1, f2, f3, f4, f5, f6，,f1=, f2=, f3=, f4=, f5=, f6=,2019/1/29,23,置换举例,eg: A=1,2,3,4 f: A A 12
9、23 34 41 则f1, f2, f3, f4,2019/1/29,24,置换的表示法2 -k阶轮换,轮换:(i1 i2ik) 不交轮换的分解式： = 12t, 其中 1,2,t,为不交轮换,(1 2 3 4),(1 3)(2 4),(1 4 3 2),(1),2019/1/29,25,置换的表示法2,(132)(5648),2019/1/29,26,n元置换的轮换表示,性质： 任何n元置换都可以表成不交的轮换之积，并且表法是唯一的. =12t =12l,1,2,t =1,2,l ,2019/1/29,27,置换的表示法3,对换分解式： 对换 ( i j ) =( j i ) (i1 i2i
10、k) = (i1 i2) (i1 ik-1) (i1 ik),(1 2)(1 3)(1 4),(1 3)(2 4),(1 4)(1 3)(1 2),(1),2019/1/29,28,置换的表示法3,(132)(5648) =(13)(12)(56)(54)(58),2019/1/29,29,n元置换的对换表示,任意轮换都可以表成对换之积 对换可以有交 表法不唯一，但是对换个数的奇偶性不变,2019/1/29,30,奇置换、偶置换,奇置换：表成奇数个对换之积 偶置换：表成偶数个对换之积 奇置换与偶置换之间存在一一对应，因此各有n!/2个,2019/1/29,31,置换的乘法与求逆,置换的乘法：函
11、数的复合 例如：8元置换=(132)(5648)，=(18246573), 则 =(15728)(3)(4)(6)=(15728) 置换求逆：求反函数 =(132)(5648)，-1=(8465)(231),2019/1/29,32,对称群、置换群、交错群,令Sn为1,2,n上所有n元置换的集合. Sn关于置换乘法构成群，称为n元对称群. Sn的子群称为n元置换群. 所以偶置换的集合做成Sn的子群称为n元交错群An. 例 3元对称群S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132) 3元交错群A3=(1),(123),(132),2019/1/29,33,置换群举例,eg: A
12、=1,2,3,4 f: A A 12 23 34 41 则f1, f2, f3, f4 对f复合做成一个置换群.,(1 2 3 4),(1 3)(2 4),(1 4 3 2),(1),2019/1/29,34,置换群中元素的阶,元素的阶 k 阶轮换(i1 i2ik) 的阶为k =12l 是不交轮换的分解式，则 |=|1|,|2|,|l|,2019/1/29,35,置换群子群,(1), Sn， n 元交错群An 2元子群,2019/1/29,36,置换群子群,S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132) 子群6 个 , S3, , , A3=,2019/1/29,37,置换群子群,S4=(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),2019/1/29,38,置换群子群,2019/1/29,39,Calay定理,Calay定理：每个有限群都与一个置换群同构,2019/1/29,40,作业,(1)阶5的群都是交换群？举出一个6阶群不是交换群。 P204，26-28,29-31,
