自动控制原理—第五章-2

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1、5.2幅相频率特性及其绘制,绘制奈氏图的坐标系是极坐标与直角坐标系的重合。取极点为直角坐标的原点,极坐标轴为直角坐标的实轴。 由于系统的频率特性表达式为 G（j）=A（）ej,5.2.1幅相频率特性曲线（奈氏图）基本概念,对于某一特定频率i下的G（ji）总可以用复平面上的一个向量与之对应，该向量的长度为A（i），与正实轴的夹角为（i）。,由于A()和()是频率的函数，当在0的范围内连续变化时，向量的幅值与相角均随之连续变化，不同下的向量的端点在复平面上扫过的轨迹即为该系统的幅相频率特性曲线（奈氏曲线），如图5-6所示。,在绘制奈氏图时，常把作为参变量，标在曲线旁边，并用箭头表示频率增大时曲线的

2、变化轨迹，以便更清楚地看出该系统频率特性的变化规律。,前面已经指出，系统的幅频特性与实频特性是的偶函数，而相频特性与虚频特性是的奇函数，即G（j）与G（-j）互为共轭。因此，假定可为负数，当在-0的范围内连续变化时，相应的奈氏图曲线G（j）必然与G（j）对称于实轴。取负数虽然没有实际的物理意义，但是具有鲜明的数学意义，主要用于控制系统的奈氏稳定判别中。,1.求系统或元件的传递函数G（s） 2.用j代替s，求出频率特性G（j） 3.求出幅频特性A()与相频特性（）的表达式，也可求出实频特性与相频特性，帮助判断G（j）所在的象限。 4.在0的范围内选取不同的，根据A()与（）表达式计算出对应值，在

3、坐标图上描出对应的向量G（j），将所有G（j）的端点连接描出光滑的曲线即可得到所求的奈氏曲线。,当系统或元件的传递函数已知时，可以采用解析的方法先求取系统的频率特性，再求出系统幅频特性、相频特性或者实频特性、虚频特性的表达式，再逐点计算描出奈氏曲线。具体步骤如下：,5.2.2典型环节的奈氏图,一、比例环节,用j替换s，可求得比例环节的频率特性表达式为 G(j)=K 幅频特性 A()= | K |= K 相频特性 （）=0,比例环节的传递函数为 G(s)=K,比例环节的奈氏图如图5-7所示。可以看出,比例环节的幅频特性、相频特性均与频率无关。所以当由0变到,G(j)始终为实轴上一点，说明比例环节

4、可以完全、真实地复现任何频率的输入信号，幅值上有放大或衰减作用；()=0,表示输出与输入同相位，既不超前也不滞后。,二、积分环节,积分环节的传递函数为,积分环节的频率特性为,幅频特性为 A()=|1/|=1/ 与角频率成反比,相频特性为 ()=-90,积分环节的幅相频率特性如图5-8所示，在0的范围内,幅频特性与负虚轴重合。 积分环节的奈氏图表明积分环节是低通滤波器，放大低频信号、抑制高频信号，输入频率越低，对信号的放大作用越强；并且有相位滞后作用，输出滞后输入的相位恒为90。,三、微分环节,理想微分环节的 传递函数为 G(s)=s 频率特性为 G(j)=j 故幅频特性为 A()=|= 与成正

5、比。 相频特性为 ()=90。,理想微分环节的奈氏图如图5-9所示，在0的范围内,其奈氏图与正虚轴重合。 可见，理想微分环节是高通滤波器，输入频率越高，对信号的放大作用越强；并且有相位超前作用，输出超前输入的相位恒为90，说明输出对输入有提前性、预见性作用。,四、惯性环节,相频特性 ()= -arctan T 当从0变到时,可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘制奈氏图，例如可以绘出三个点，见表5-1,根据这些数据,可以绘出幅相频率特性,如图5-10所示,这是一个位于第四象限的半圆,圆心为(1/2,0),直径为1。 若惯性环节的比例系数变为K，则幅频特性成比例扩大K倍，而相频特性保持不变，即奈

6、氏图仍为一个半圆，但圆心为(K/2,0),直径为K。 由惯性环节的奈氏图可知，惯性环节为低通滤波器，且输出滞后于输入，相位滞后范围为0-90。,惯性环节的传递函数为,频率特性为,根据实频特性与虚频特性表达式，可以判断出实频特性恒0，而虚频特性恒0，由此可见惯性环节的奈氏图必在坐标系的第四象限。,幅频特性 A()=,五、一阶微分环节,一阶微分环节的传递函数为 G(s)=(s+1) 为环节的时间常数 频率特性为 可见一阶微分环节的实频特性恒为1，而虚频特性与输入频率成正比。 幅频特性为 与输入频率成正比。 相频特性为 ()=arctan() 当从0变到时,可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘制奈

7、氏图，可以绘出三个点，见表5-2,根据这些数据绘出幅相频率特性,如图5-11所示，是平行于正虚轴向上无穷延伸的直线。 由一阶微分环节的奈氏图可知，一阶微分环节具有放大高频信号的作用，输入频率越大，放大倍数越大；且输出超前于输入，相位超前范围为090，输出对输入有提前性、预见性作用。 一阶微分环节的典型实例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二阶系统的动态性能，但存在放大高频干扰信号的问题。,六、二阶振荡环节,二阶振荡环节的传递函数为 式中 T为时间常数;为阻尼比,01。 振荡环节的频率特性为 可以判断出虚频特性恒0，故曲线必位于第三与第四象限。 振荡环节的幅频特

8、性为 相频特性为 以为参变量,计算不同频率时的幅值和相角, 其中几个重要的特征点见表5-3。,在极坐标上画出由0变到时的矢量端点的轨迹,便可得到振荡环节的幅相频率特性,如图5-12所示，且12。且振荡环节与负虚轴的交点频率为=1/T，幅值为1/(2)。,由奈氏图可知，振荡环节具有相位滞后的作用，输出滞后于输入的范围为0-180；同时的取值对曲线形状的影响较大，可分为以下两种情况,1. 0.707 幅频特性A()随的增大而单调减小，如图5-12中1所对应曲线，此刻环节有低通滤波作用。当1时，振荡环节有两个相异负实数极点，若足够大，一个极点靠近原点，另一个极点远离虚轴（对瞬态响应影响很小），奈氏曲

9、线与负虚轴的交点的虚部为1/(2)0，奈氏图近似于半圆，即振荡环节近似于惯性环节，如图5-13所示。,2.00.707 当增大时，幅频特性A()并不是单调减小，而是先增大，达到一个最大值后再减小直至衰减为0，这种现象称为谐振。奈氏图上距离原点最远处所对应的频率为谐振频率r，所对应的向量长度为谐振峰值Mr= A(r) = A(r)/ A(0) 。谐振表明系统对频率r下的正弦信号的放大作用最强。由幅频特性A()对频率求导数,并令其等于零,可求得谐振角频率r和谐振峰值Mr，如图5-14所示。,可得振荡环节的谐振角频率 谐振峰值为,可见随的减小,谐振峰值Mr增大，谐振频率r也越接近振荡环节的无阻尼自然

10、振荡频率n。谐振峰值Mr越大，表明系统的阻尼比越小，系统的相对稳定性就越差，单位阶跃响应的最大超调量%也越大。当=0时，rn，Mr，即振荡环节处于等幅振荡状态。,七、延迟环节,延迟环节又称时滞环节，传递函数为 G(s)=e-s，为延迟时间。 频率特性为 G(j)=e- j 幅频特性为 A()=1 相频特性为 ()=- 单位为弧度（rad）。,或者()=,=时，()=-，即输出相位滞后输入为无穷大。当从0连续变化至时，奈氏曲线沿原点作半径为1的无穷次旋转，越大，转动速度越大。 故延迟环节的奈氏图是一个以原点为圆心,半径为1的圆,如图5-17所示。即延迟环节可以不失真地复现任何频率的输入信号，但输

11、出滞后于输入，而且输入信号频率越高，延迟环节的输出滞后就越大。,在低频区，频率特性表达式根据泰勒公式展开为,当很小时，有,即在低频区，延迟环节的频率特性近似于惯性环节。从奈氏图也可见，二者的曲线在低频区基本重合。,延迟环节与其他典型环节相结合不影响幅频特性，但会使相频特性的最大滞后为无穷大。如某系统传递函数是惯性环节与延迟环节相结合，传递函数为,单位为度（）,可见随的增大，幅频特性A()单调减小，而相位滞后单调增加，相频特性()从0一直变化到负无穷大。故该系统的奈氏图是螺旋状曲线，绕原点顺时针旋转次，最后终止于原点，与实轴、虚轴分别有无数个交点，如图5-18所示。,5.2.3开环奈氏图的绘制,

12、一、定义 系统的频率特性有两种，由反馈点是否断开分为闭环频率特性（j）与开环频率特性Gk（j），分别对应于系统的闭环传递函数（s）与开环传递函数Gk（s）。由于系统的开环传递函数较易获取，并与系统的元件一一对应，在控制系统的频率分析法中，分析与设计系统一般是基于系统的开环频率特性。 系统的开环频率特性为,对于由多个典型环节组合而成的系统， 其频率特性应该满足下面的规律：,控制系统是由典型环节组成的，则系统频率特性的绘制与典型环节的频率特性的绘制方法是基本相同的。可根据复变函数的性质求出系统开环频率特性的幅频特性A()与相频特性()的表达式，或由分母有理化求出实频特性与虚频特性，再由奈氏图的基本

13、绘制方法求出系统的开环奈氏图。,一、基本绘制规律 当系统开环传递函数为多个典型环节组合时，其开环奈氏图的绘制与根轨迹的绘制类似，具有一定的规律。可以先根据开环传递函数的某些特征绘制出近似曲线，再利用A()与()等的表达式描点，在曲线的重要部分修正。 1.低频段（0），Gk（j）的低频段表达式为,根据向量相乘是幅值相乘、相位相加的原则，求出低频段幅频特性与相频特性表达式分别为,可见低频段的形状（幅值与相位） 均与系统的型别v与开环传递系数K有关。,1.0型系统，v =0：A（0）=K，(0)=0 低频特性为实轴上的一点(K,0)。 2.型系统，v =1：A（0）=，(0)= -90 3.型系统，

14、v =2：A（0）=，(0)= -180,2. 高频段（） 不失一般性，假定系统开环传递函数全为不相等的负实数极点与零点。,m为分子多项式的阶数， n为分母多项式的阶数，且一般mn,故A()=0,高频段终止于坐标原点；而最终相位为()=-(n-m)90， 由n-m确定特性以什么角度进入坐标原点。,(n-m)=1,则()=-90,即幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。 (n-m)=2,则()=-180,即幅相特性沿负实轴进入坐标原点。 (n-m)=3,则()=-270,即幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。,3.奈氏图与实轴、虚轴的交点 将频率特性表达式按照分母有理化的方法分解为实部与虚部。 1）曲线与实轴

15、的交点处的频率由虚部为0求出 ImG(j)=I()=0 求出交点处的，再代回频率特性表达式求出交点的坐标。 2）曲线与虚轴的交点处的频率由实部为0求出 ReG(j)=R()=0 求出交点处的，再代回频率特性表达式求出交点的坐标。,4.开环零点对曲线的影响 1）如果系统的开环传递函数没有开环零点，则在由0增大到过程中,特性的相位单调连续减小（滞后连续增加）,特性曲线平滑地变化。奈氏曲线应该是从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。 2）如果系统的开环传递函数有开环零点，则在由0增大到过程中,特性的相位不再是连续减小。视开环零点的时间常数的数值大小不同,特性曲线的相位可能在某一频段范围内呈增加趋势，此时,特性曲线出现凹部。 根据以上绘制规律，可以方便地绘制系统的开环概略奈氏图。 在的区段，奈氏曲线的形状与所有典型环节及其参数有关，但通过奈氏曲线并不能非常直观地显示出系统的开环传递函数的结构与参数。,三、绘制实例 某系统开环传递函数如下，绘制开环奈氏图,系统开环频率特性表达式为,此系统为型系统,当0时，幅值趋于无穷大，而相角位移为-180。在时,A()=0，(