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1、9.2 两直线的位置关系,一.直线与直线的位置关系：,1.平行与垂直,若直线l1和l2有斜截式方程l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则,（1）直线l1l2的充要条件是k1=k2且b1b2. （2）直线l1l2的充要条件是k1k2=1.,若l1和l2都没有斜率，则l1与l2平行或重合. 若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l1l2.,2.相交,（1）交点：直线l1：A1x+B1y+C1=0和 L2：A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组,A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0,的解一一对应.,相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行方程组无
2、解. 重合方程组有无穷多个解.,二.点与直线的位置关系：,若点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上， 则有Ax0+By0+C=0； 若点P（x0，y0）不在直线Ax+By+C=0上， 则有Ax0+By0+C0。,三.两点间的距离公式：,四.点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离：,d=,两平行线l1：Ax+By+C1=0和l2：Ax+By+C2=0之间的距离：,d=,五.直线系(属知识拓展),1共点直线系方程：,过两直线 的交点的直线系方程 为参数， 不包括在内）,2平行、垂直直线系： Ax+By+m=0(m为参数)表示与Ax+By+C=0 平行的直线系 Bx-Ay+n=0
3、(n为参数)表示与Ax+By+C=0垂直的直线系,确定参数，使两直线分别相交、平行、重合,已知两直线l1：x+2y+6=0， l2：（-2）x+3y+2=0， 当为何值时，l1与l2 (1)相交；(2)平行；(3)重合?,思路分析：依据两直线位置关系判断方法便可解决.,解：当m=0时，l1：x+6=0，l2：x=0， l1l2.,当m=2时，l1：x+4y+6=0，l2：3y+2=0， l1与l2相交.,得m=-1或m=3，,由 = 得=3.,故 (1)当-1，3且0时，l1与l2相交； (2)当=-1或=0时，l1l2； （3）当=3时，l1与l2重合.,点评与感悟 ：对这类问题，要从直线有
4、斜率、没有斜率两个方面进行分类讨论. 在确定参数的值时，应注意先讨论、系数为的情况。,两直线垂直的充要条件的应用,已知两条直线 和 互相垂直，则 等于,（A）2 （B）1 （C）0 （D）-1,解析：两条直线 和 互相垂直，则 ， a=1，选D.,点评与感悟：（1）若直线l1和l2有斜截式方程l1： y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则 直线l1l2的充要条件是k1k2=1. (2) 设l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0.则 l1l2A1A2+B1B2=0.,点到直线的距离公式的应用,已知点P（2，3）到直线l:3x+my-4=0的距离为2， 求实数m的值。
5、,思路分析：逆用点到直线的距离公式即可求得。,点到直线的距离公式与直线的方程的整合,已知点P（2，-1），求： (1)过P点与原点距离为2的直线的方程； (2)过P点与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。,思路分析： 已知直线过定点求方程，首先想到的是求斜率或设方程的斜截式，但不要忘记考察斜率不存在的直线是否满足题意.若满足，可先把它求出，然后再考虑斜率存在的一般情况.图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据求得解决.,解：（1）过P点的直线l与原点的距离为2，而P点坐标为（2，-1），可见过P（2，-1
6、）垂直于x轴的直线满足条件，其方程为：x=2.,由已知，得 解得 ，,这时设l的方程为,综上，可得直线l的方程为 x=2.或,（2） P点在直线l上 , 原点到直线的距离d= 过P点与原点O距离最大的直线是 过P点且与PO垂直的直线,由 ,得, ,得直线l的方程为 ,即直 线 是过P点且与原点O距离最大的直线， 最大距离为,(3) 解法一：由（2）知，过P点的直线与原点O 最大距离为 ，故过P点不存在 到原点距离为6的直线。,解法二：由于斜率不存在且过P点的直线到原点距离不是 6，因此，设过P点到原点距离为6的直线的斜率存在且 方程为y+1=k（x2），即kxy2k1=0.原点O到它 的距离d
7、= =6，即32k24k+35=0.因=16 432350，故方程无解.所以不存在这样的直线.,点评与感悟（1）求直线方程时一定要注意斜率不存在的况； （2）第（3）问是判断存在性问题，通常的解决方法是先假设判断 对象存在， 令其满足应符合的条件， 若有解，则存在，并求得； 若无解，则不存在，判断无解的过程就是结论的理由.,与两直线的交点有关的问题,求过直线 和 的交点，且与直线x+4y-7=0垂直的直线方程。,思路分析根据所求的直线与已知直线的位置关系， 灵活选择直线方程的形式。,法：由 求得l1与l2的交点 的坐标为（1，-1）。,因为直线x+4y-7=0的斜率为-1/4，所以直线l的斜率
8、为。 因此满足条件的直线l的方程为y+1=4(x-1),即4x-y-5=0。,法：由直线l垂直于直线x+4y-7=0，则可设直线l的方程 为4x-y+t=0。,因为l1与l2的交点为(1,-1)，所以 从而t=-5,所以直线l的方程为4x-y-5=0。,法：由于直线过l1与l2的交点，所以直线l的方程为，,即,因为l与直线x+4y-7=0垂直，,所以,从而,所以直线l的方程为x+4y-7=0。,点评与感悟：与直线 平行的直线 可表示为 ； 与直线 垂直的直线可表示为.,两直线的综合问题,当m为何值时，三条直线 l1:4x+y=4, l2:mx+y=0, l3:2x-3my=4不能构成三角形？,思路分析：三条直线不能构成三角形的情况： 有两条直线平行； 三条直线相交于一点.,解：当l1l2时，m=4.,当l1l3时， = 即m=-.,当l2l3时， = 无解.,当l1,l2,l3相交于一点时，,由 得交点A( , ),A点在l3上，即 -3m =4.,解得m= 或m=-1.,综上，当m=-1, -1/6, 2/3, 4时三条直线不能构成三角形.,点评与感悟： 三条直线不能构成三角形的情况有 其中有两条直线平行或三条直线相交 于一点.,本 节 完,
