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1、直线与双曲线一、知识梳理1双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：(1)在平面内；(2)与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数；(3)常数小于|F1F2|.2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyxa，b，c的关系c2a2b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半
2、轴长二、典型例题：例1双曲线y2x22的渐近线方程是 （ ）AyxByx Cyx Dy2x例2已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，c/a等于，则C的方程是 （ ）A.1 B.1 C.1 D.1例3斜率为2的直线l过双曲线1(a0，b0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的c/a的取值范围是 （ ）A(，) B(1，) C(1，) D(，)例4已知双曲线1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的c/a等于（ ）A. B. C. D.例5双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m_.例6已知中心在原点的双曲线C，过点P(2，)且c/a为2，则双曲线C的标准方程为例7设F1，
3、F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的c/a为_例8已知椭圆D：1与圆M：x2(y5)29，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程例9过双曲线1的右焦点F2，倾斜角为30的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点(1)求|AB|；(2)求AOB的面积例10已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，c/a为，且过点P(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)求F1MF2的面积11、已知曲线C的方程为，（1）若曲线C为椭圆，则m
4、的取值范围为 ； （2）若曲线C为双曲线，则m的取值范围为 12、直线与双曲线C：交于A、B两点，若，求k的取值范围。13、对于双曲线，过能否作直线，时使与双曲线交于两点，且是的中点 若存在，求出的值；若不存在，说明理由。14已知双曲线的方程，试问是否存在被点（1， 1）所平分的弦？如果存在，求出所在直线；如果不存在，说明理由。15、试问双曲线3x2-y2=1上是否存在A、B两点关于直线对称?若存在，求出AB直线方程；若不存在，说明理由16：已知双曲线C：x2=1，过点P（1，1）作直线l，若l与C左支有两个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围。练习：1与椭圆y21共焦点且过点P(2,1)的双
5、曲线方程是()A.y21 B.y21 C.1 Dx212中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的c/a为 ()A. B. C. D. 3双曲线1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为()A22或2B7 C22 D24(2010辽宁)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的c/a为()A. B. C. D. 5若点O和点F(2,0)分别是双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()A32，) B32，) C. D.6已知双曲线C：1(a0，b0)，以C的右焦
6、点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是()Aa Bb C. D. 7点P在双曲线上1(a0，b0)上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，F1PF290，且F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的c/a是()A2 B3 C4 D58已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线yx1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是()A. B.1 C.1 D.1 9设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上，且,则|+|= . 10已知双曲线x2(b0)的一条渐近线的方程为y2x，则b_.11已知双曲线kx2y21的一条渐近线与直线2xy10垂直，则双曲线
7、的c/a为_；渐近线方程为_12.已知双曲线1的一条渐近线方程为yx，则该双曲线的c/a为_13双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|m，则ABF2的周长为_14已知F1、F2分别为双曲线C：1的左、右焦点，点AC，点M的坐标为(2,0)，AM为F1AF2的平分线，则|AF2|_.15已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，过点F作直线PF垂直于该双曲线的一条渐近线l1于P(，)(1)求该双曲线方程；(2)过点F作直线l2交该双曲线于M，N两点，如果|MN|4，求直线l2的方程16.已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,
8、0),一条渐近线的方程是x-2y=0.(1)求双曲线C的方程;(2)若以k(k0)为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M,N且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围.17.直线:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.四、课后作业1已知双曲线 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线c/a的取值范围为 ()A(1,3) B(1,3 C(3，) D3
9、，)2.已知P是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3xy0.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点若|PF2|3，则|PF1|_.3.过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的c/a等于 .4.求适合下列条件的双曲线的方程：（1）焦点在轴上,虚轴长为12，c/a为；（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为5.已知双曲线的方程是16x29y2144.(1)求该双曲线的焦点坐标、c/a和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|PF2|32，求F1PF2的大小6.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在
10、x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，F1PF2，且PF1F2的面积为2，又双曲线的c/a为2，求该双曲线的方程7.已知椭圆的方程为 ，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.(1）求双曲线的方程；(2）若直线与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，求的范围参考答案双曲线1解析 B椭圆y21的焦点坐标是(，0)设双曲线方程为1(a0，b0)因为点P(2,1)在双曲线上，所以1，a2b23，解得a22，b21，所以所求的双曲线方程是y21.2解析设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，所以其渐近线方程为yx, 因为点(4，2)在渐近线上，所以，根
11、据c2a2b2，可得，解得e2，e，故选D.3答案A4答案D解析直线FB的斜率为，与其垂直的渐近线的斜率为，所以有1即b2ac，所以c2a2ac，两边同时除以a2可得e2e10，解得e.5解析 B 因为F(2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a214，即a23，所以双曲线方程为y21.设点P(x0，y0)，则有y1(x0)，解得y1(x0)因为(x02，y0)，(x0，y0)，所以x0(x02)yx0(x02)12x01，此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为x0，因为x0，所以当x0时，取得最小值32132，故的取值范围是32，)6答案B7 解析 D不妨设|PF1|，|PF2|，|F1F2|成等
12、差数列，则4c2|PF1|2|PF2|2，由2|PF2|2c|PF1|，且|PF2|PF1|2a，解得|PF1|2c4a，|PF2|2c2a，代入4c2|PF1|2|PF2|2，得4c2(2c2a)2(2c4a)2，化简整理得c26ac5a20，解得ca(舍去)或者c5a，故e5.8答案D解析设双曲线方程1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，得：，1，5a22b2.又a2b27，a22，b25，选D.9210。2 11。，xy0双曲线kx2y21的渐近线方程是yx.又因为一条渐近线方程与直线2xy10垂直，k.双曲线的c/a为e；渐近线方程为xy0.12答案或解析设m0，n0，.e.设m0，n0.则1，.e.双曲线的c/a为或.13 解析 4a2m 由|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)4a，又|AF1|BF1|AB|m，|AF2|BF2|4am.则ABF2的周长为|AF2|BF2|AB|4a2m. 14解析 6 根据角平分线的性质，.又6，故6.15解析(1
