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1、 1 高中数学基础知识 - 高中数学基础知识 -献给高 2009 级 1 班同学们献给高 2009 级 1 班同学们 第一章 集合及简易逻辑 1 第一章 集合及简易逻辑 1、集合中元素集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2.用描述法表示集合时，2.用描述法表示集合时，注意区分集合中的元素.如： |lg x yx=函数的定义域； |lg y yx=函数的值域；( , )|lg x yyx=函数图象上的点集. 3、集合的性质3、集合的性质： 任何一个集合A是它本身的子集,记为AA. 空集是任何集合的子 集,记为A .空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为AB,在讨论的时候不要 遗忘了A=的情
2、况 4 4、集合的运算集合的运算：交、并、补 5、5、 （1）含 n 个元素的集合的子集数为 2 n,真子集数为 2 2n n1； 1；非空真子集的数为 2 2 n n-2； -2； （2）;BBAABABA=UI 注意： 讨论的时候不要遗忘了=A的情况。 6、6、原命题: pq；逆命题: qp；否命题: pq ；逆否命题: qp ； 原命题与逆否命题真假性相同如： “sinsin”是“”的 条件.(可以转化 为它的逆否命题来判断) 7、四种条件7、四种条件：充分而不必要条件；必要而不充分条件；充要条件，既不充分也不必要条件 8 8、小范围推出大范围小范围推出大范围；大范围推不出小范围.例：若
3、255pffxxx或， 第二章 函数 1、集合 A 到集合 B 的映射满足 第二章 函数 1、集合 A 到集合 B 的映射满足： （1）集合 A 中的每个元素在集合 B 必须有唯一的象； （2） 集合 A 中多个元素在集合 B 可以对应同一个象（3）集合 B 的元素可以没有原象。 2、构成函数的三大要素2、构成函数的三大要素：定义域，值域，对应法则（解析式） ，其中定义域指自变量的取 值范围，值域指值函数的取值范围，对应法则是联系定义域与值域的纽带。 3、求定义域3、求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0;偶次根式被开方数非负;对数真数0,底 数0 且1；零指数幂的底数0)；实际问题有意义；
4、若( )f x定义域为 , a b,复合函数 ( )f g x定义， 域由( )ag xb解出；若 ( )f g x定义域为 , a b,则( )f x定义域相当于 , xa b时( )g x的值域. 4、.求值域常用方法4、.求值域常用方法: 配方法(二次函数类)；观察法(简单函数)；换元法(特别注意 新元的范围).判别式法； 不等式法（均值不等式）单调性法； 导数法(一般适用 于高次多项式函数). 5、三类重要函数5、三类重要函数：分段函数（常考察分类讨论） ，复合函数，抽象函数（常与函数的性质考 察） 6.求函数解析式的常用方法6.求函数解析式的常用方法：待定系数法(已知所求函数的类型)
5、； 方程的思想-对 已知等式进行赋值，从而得到关于( )f x及另外一个函数的方程组。 7、函数的性质 7、函数的性质 （1） 、单调性：证明用比较法；求单调区间用导数法（注意和定义域找交集） ；增函数的反 函数是增函数；复合函数的单调性法则：同则增，异则减。 （2）奇函数：)()(xfxf=偶函数：)()(xfxf=证明用代入法，计算 ()fx 。奇函数的 图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。 （ 3 ） 、 周 期 性 ： ()( ) ()f xTf xxR+= ， 常 数 T 叫 周 期 。( )yf x=对xR 时,()( )f xaf x+= 或 1 ( ) () f x
6、 f xa+= ,则( )yf x=的周期 T=2|a； 2 8、反函数 8、反函数 （1） 、求反函数的方法：先解方程求出 x,然后 x 与 y 交换位置，最后确定定义域（看原函 数的值域） （2） 、反函数的性质：( )yf x=与函数 1( ) yfx =的图像关于直线yx=对称，且 1 ( )( )f abfba = 9. 指数函数9. 指数函数：) 10(=aaay x 且的图象和性质的图象和性质 奎屯王新敞 新疆 a1 0 （2）对数的性质：log 10 a =，log1 aa = （3） 对数的运算性质： () )12 )1( logloglogloglogloglog)(log
7、MnMNM N M NMNM a n aaaaaaa =+= （4）对数函数：xy a log=，它与 x ay =（1, 0aa f）互为反函数。 （5）对数函数图象的性质： a1 0y 奎屯王新敞 新疆 ) 1 , 0(x时 0y 奎屯王新敞 新疆 ), 1 ( +x时0= ba ba 7、a a 2 2 = 8.向量的平行与垂直 设 a= 11 ( ,)x y,b= 22 (,)xy，且 b0，则 （1）a|ba|bb=a 1221 0x yx y=. （2）a ab(b(a0)a abb=0 1212 0x xy y+= 9.平面两点间的距离公式： 22 1212 ()()PQxxyy
8、=+ 10、中点坐标公式： 12 12 2 2 (1) xx yy x y + + = = = 第六章 不等式 1、不等式的性质 第六章 不等式 1、不等式的性质 （1）同向不等式的可加性和可乘性（没有可减性和可除性） （2）若0ab,ba,则 11 ab .即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改 变. （3）如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定, 要注意分情况讨论。 （4）含绝对值不等式的性质： ab、同号或有0| |abab+=+| |abab=； ； ab、异号或有0| |abab=+| |abab=+. 2、均值不等式 2、均值不等式 （1
9、）利用均值不等式abba2+ 以及变式 2 () 2 ab ab + 等求函数的最值时，务必注意 a，b + R（或a ，b非负） ，和“等号成立”时的条件，且积ab或和ab其中之一应是定 值(一正二定三等一正二定三等)， 常用的方法为：拆、凑、平方等。 （2） 如果积xy是定值， 那么当yx =时和yx +有最小值； 如果和yx +是定值， 那么当yx = 时积xy有最大值 3、解不等式 3、解不等式 （1）解不等式的基础是：会解一元一次、一元二次、一元高次及绝对值不等式，其它不等 式通过转化解决。 ；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的 端点值 不等式解集的端点值
10、往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的 端点值. （2）解一元高次不等式的方法：数轴标根法（要求最高项系数为正） (3)解分式不等式 ( ) ( ) ()0aa xg xf 的一般解题思路移项通分，然后除变乘 （4）解绝对值不等式：公式法ax+bc （c0）cbax+或 ax+bcx+d(ax+b) 2(cx+d)2 （5）用分类讨论的思想解含参数的不等式 4.证明不等式常用方法4.证明不等式常用方法：比较法（0ABAB）综合法：由因导果分析法： 执果索因（将结论等价变形） 7 5、不等式恒成立问题（转化成最值问题） 5、不等式恒成立问题（转化成最值问题） （1）若不等式( )Axf在区
11、间D上恒成立,则等价于在区间D上( )minf xA （2）若不等式( )Bxf； （通过配方变为标准方程） 圆的参数方程： cos sin xar ybr =+ =+ (为参数),其中圆心为( , )a b半径为r（往往用于求最 值） 9 9、直线和圆相交计算弦长时直线和圆相交计算弦长时，注意抓住半径、半弦长、弦心距构成直角三角形注意抓住半径、半弦长、弦心距构成直角三角形 10.10.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x轴垂直 的直线. 11.直线与圆的位置关系11.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,dr相离 dr= 相切 dr+两圆相离；
12、 dRr=+两圆相外切； |RrdRr|F1F2|)的点的 轨迹 1到两定点 F1,F2的距 离之差的绝对值为定 值 2a(01） 与定点和直线的距离相 等的点的轨迹. 方 程 1 2 2 2 2 =+ b y a x ； cos sin xa yb = = (ba0) 1 2 2 2 2 = b y a x 0,0ab 2 2(0)ypx p= 范围 ,axabyb ,xa yR 0x 中心 原点(0,0)O 原点(0,0)O 9 顶点 ( ,0);(,0);(0, );(0,)aabb( ,0);(,0)aa (0,0) 对称轴 x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴； 实轴长2
13、a,虚轴长2b x轴 焦点 1( ,0) F c， 2( ,0)Fc 1( ,0) F c， 2( ,0)Fc)0 , 2 ( p F 离心率 ) 10(=e a c e 1e = 准线 x= c a 2 x= c a 2 2 p x= 渐近线 y= a b x 焦半径 exar= )(aexr= 2 p xr+= 2、圆锥曲线焦点位置的判断：圆锥曲线焦点位置的判断：椭圆看分母的大小，双曲线看正负，抛物线看一次项。 3、.圆锥曲线的两个定义圆锥曲线的两个定义：如果涉及到其两焦点(两相异定点)，那么将优先选用圆锥曲线第 一定义；如果涉及到其焦点、准线(一定点和不过该点的一定直线)或离心率，那么将
14、优先选 用圆锥曲线第二定义。 注意：圆锥曲线第二定义是： “点点距为分子、点线距为分母” ，椭圆点点距除以点 线距商是小于 1 的正数，双曲线点点距除以点线距商是大于 1 的正数，抛物线点点 距除以点线距商是等于 1 4.4.共渐近线 b a yx= 的双曲线标准方程为 22 22 xy ab =(为参数,0). 5、.圆锥曲线中点弦问题：5、.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”“韦达定理”或“点差法”求解. 6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 22 12112 22 1 (1)()41|kxxx xyy k =+=+( 弦 端 点
15、1122 ( ,), (,)A x yB xy, 由 方 程 ( , )0 ykxcb F x y =+ = 消去 y得到0 2 =+cbxax,0 ,k为斜率). 这里体现了解几中“设而不 求”的思想，最后利用根与系数的关系解决。 7.求轨迹方程的常用方法7.求轨迹方程的常用方法： 直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成( , )0F x y =,是求轨迹的最基本的方法. （2）代入法(一个点在已知曲线上运动，求另一个动点的轨迹). （3） 定义法： 如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出 方程. 第九章 排列、组合及二项式定理 1两个原理 第九章 排列、组合及二项式定理 1两个原理：加法原理（分类） ；乘法原理（分步）-解决排列组合的基础 2排列（与顺序有关）2排列（与顺序有关） ： ! (1)(1) ()! m n n An nnm nm =+= L。 当mn=时为全排列! n n An=!(1)(2)2 1 n n Ann nn=L 3组合（与顺序无关3组合（与顺序无关） ： (1)(1)! 1 2!()! m n n nnmn C mm nm + =
