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1、辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）1 立体几何部分立体几何部分知识点归纳总结知识点归纳总结 辽宁家教协会内部辽宁家教协会内部资料资料禁止翻印禁止翻印 姓名：姓名： 编号：编号： 学校：学校： 年级：年级： 科目：科目： 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）2 一、一、几何体的机构特征几何体的机构特征 1 1 1 1. . . .多面体的结构特征多面体的结构特征 (1)(1)(1)(1)棱柱棱柱的上下底面平行,侧棱都平行且长度相等,上底面和下底面是全等的 多边形
2、(2)(2)(2)(2)棱锥棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形 (3)(3)(3)(3)棱台棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形 相似 2 2 2 2. . . .旋转体的结构特征旋转体的结构特征 (1)(1)(1)(1)圆柱圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到 (2)(2)(2)(2)圆锥圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到 (3)(3)(3)(3)圆台圆台可以由直角梯形绕垂直于底边的腰所在的直线或等腰梯形绕上下底 中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到 (4)(4)(4)(4)球球可以由半圆或圆绕其直径旋转得到
3、二、二、空间几何体的三视图空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面 图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括主视主视 图、左视图、俯视图图、左视图、俯视图。 简单几何体的三视图的画法应三视图的画法应从以下几个方面加以把握： (1)搞清主视、左视、俯视的方向，同一物体由放置的位置不同，所画的三视 图可能不同 (2)看清简单组合体是由哪几个基本元素组成 (3)画三视图时要遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则，还要注意几何体 中与投影垂直或平行的线段及面的位置关系 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：135
4、91657580 （姚老师）3 注注：( ( ( (I I I I) ) ) )几何体的三视图的排列规则几何体的三视图的排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视 图一样， 左视图放在主视图右面， 高度与主视图一样， 宽度与俯视图一样， 即“长对正，高平齐，宽相等”注意虚、实线的区别 ( ( ( (II II II II) ) ) )应用：应用：在解题的过程中，可以根据三视图的形状及图中所涉及到的线段 的长度，推断出原几何图形中的点、线、面之间的关系及图中的一些线段 的长度，这样我们就可以解出有关的问题 三、三、空间几何体的直观图空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用斜二侧斜二侧画法，
5、基本步骤是：画法，基本步骤是： (1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点 O，画直观图时， 把它们画成对应的x轴、y轴，两轴相交于点 O，且使xOy45. (2)已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、 y轴的线段 (3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴 的线段，长度变为原来的一半 (4)在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面，在直观图中对应的 z轴也 垂直于 xOy平面，已知图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z轴且长度不变 画图时要紧紧把握住画图时要紧紧把握住： 一斜一斜在已知图形
6、中垂直于 x 轴的线段,在直观图中均与 x 轴成 45; 二测二测两种度量形式,即在直观图中,平行于 x 轴的线段长度不变,平行于 y 轴的线段变为原长度的一半 根据斜二测画法将水平放置的平面图形的直观图，还原成原来的图形根据斜二测画法将水平放置的平面图形的直观图，还原成原来的图形， 其 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）4 作法就是逆用斜二测画法逆用斜二测画法，也就是使平行于 x 轴的线段的长度不变，而平 行于 y 轴的线段长度变为直观图中平行于 y轴的线段长度的 2 倍 四、四、中心投影与平行投影中心投影与平行投影 (1)
7、平行投影平行投影的投影线互相平行，而中心投影中心投影的投影线相交于一点 (2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影 下画出来的图形 五、五、空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面 积等于侧面积和底面积之和。 1.柱体：chS= 直棱柱侧 (c为底面多边形的周长，h为棱柱的高)； hSV= 直棱柱 (S为底面多边形的面积，h为棱柱的高) lcS= 斜棱柱侧 (c为直截面周长，l为棱柱的高) lSV= 斜棱柱 (S为直截面的面积，l为棱柱的高) 2.圆柱：rhS2= 圆柱侧 (r为底面圆的半径，h为
8、圆柱的高) hrhSV 2 = 圆柱 (S为底面圆面积,r为底面圆的半径,h为圆柱的高) 3.棱锥： 2 1 2 1 chnahS= 正棱锥侧 (a为底面边长,c为底面周长,h为斜高) hSV= 3 1 锥体 (S为底面多边形的面积，h为棱锥的高) 4.圆锥：rlclS= 2 1 圆锥侧 (c为底面圆周长,r为底面圆的半径,l为圆柱的高) hrhSV 2 3 1 3 1 = 圆锥 (S为底圆的面积，h为圆锥的高) 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）5 求锥体的体积常用方法为：求锥体的体积常用方法为：割补法和等积变换法： (1)
9、割补法： 求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、 锥体， 分别求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积有时将 几何体补成易求几何体的体积，如长方体、正方体，然后求出 两个或几个几何体的体积之差 (2)等积变换法：利用三棱锥的任一面可作为三棱锥的底面 求体积时，可选择容易计算的方法来计算； 利用“等积性”可求“点到面的距离” 5.棱台：()() 2 1 2 1 hcchaanS+=+= 正棱台侧 (正n棱台上下底面边长为a,a,上下底没周长为c,c，斜高为h) ()hSSSSV 下下上上棱台 += 3 1 (S 上S下为上下底面多边形的面积，h为棱锥的高) 6.圆台：( )()lR
10、rlccS+=+= 2 1 圆台侧 (c,c为上下底面周长，r,R分别为上下底面半径，l为圆台母线) ()() 22 3 1 3 1 RrRrhhSSSSV+=+= 下下上上圆台 (S 上S下为上下底面圆面积，r,R上下底面圆半径h为棱锥的高) 7.球的表面积和体积： 32 3 4 4RVRS= 球球 ，.(R 为球半径） 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）6 方法点拔：方法点拔： 1. 1. 1. 1.要注意牢固把握各种几何体的结构特点，利用它们彼此之间的联系来加强牢固把握各种几何体的结构特点，利用它们彼此之间的联系来加强
11、记忆，记忆，如棱柱、棱锥、棱台为一类；圆柱、圆锥、圆台为一类；或分成柱 体、锥体、台体三类来分别认识只有对比才能把握实质和不同，只有联 系才能理解共性和个性 2.要适当与平面几何的有关概念、图形和性质进行对比，通过平面几何与立 体几何相关知识的比较，丰富自己的空间想象力对组合体可通过把它们 分解为一些基本几何体来研究 3. 3. 3. 3.处理有关锥体时，应注意充分利用直角三角形，处理有关锥体时，应注意充分利用直角三角形， 正棱锥问题常归结到高、侧棱、斜高、底面正多边形的内切圆半径、外 接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形； 圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋
12、转面、轴截面； 台体可以看成由锥体截得的，但一定要强调截面与底面平行 4.常涉及一些截面问题常涉及一些截面问题, , , ,把空间图形的性质、 画法及有关论证、 计算融为一体， 常见的常见的、基本的截面问题基本的截面问题：如直截面、对角截面、中截面等，要求熟知并 掌握要知道这些截面的形状、位置，并能画出其图形，这常常可以将较 难的问题变得简单，如“用一个平面截一个球，截面是圆面”这一点很重 要，它把有关球的一些问题转化为圆的问题来解决 5.对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题， 要结合它们的结构特点与平面几
13、何知识来解决，这种题目难度不大 6.要注意将空间问题转化为平面问题 7.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）7 不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用采用“ “ “ “割割” ” ” ”、“ “ “ “补补” ” ” ”的技巧的技巧， 化复杂几何体为简单几何体化复杂几何体为简单几何体( ( ( (柱柱、 锥锥、 台台), ), ), ),或化离散为集中或化离散为集中, , , ,给解题提供便利给解题提供便利 (1)(1)(1)(1)几何体的几何体的“ “
14、 “ “分割分割” ” ” ” 几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求 体积的几何体，进而求之 (2)(2)(2)(2)几何体的补形几何体的补形 与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体， 如长方体、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方 法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积 (3)(3)(3)(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用应以公式为基础，充分利用 几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素
15、 8.与球有关的组合体问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图 形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面 图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的 直径；球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于 球的直径 球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题,球与多面体的组合, 通过多面体的一条侧棱和球心,或“切点”、“接点”作出截面图 常见常见球的组合体问题球的组合体问题：关键是正确地作出截面图,用圆的知识把立体问题化 为平面问题解决 (1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是 正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3)球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的高为：ah 3 6 =；内切球的半径为 6 12 a； 外接球的半径为 6 4 a。 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）8
