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1、08:14,第三章 线性系统的时域分析法,3-6 线性系统的稳态误差分析,08:14,稳定性、过渡过程性能(动态性能)和稳态性能是我们分析系统、评价系统、改善系统时所用的三类重要衡量标准。,08:14,3-6 控制系统的稳态误差 系统响应的稳态分量(例如tts的输出分量）反映了系统跟踪给定控制信号或希望输出信号的准确度或抑制扰动信号的恢复能力。通常用稳态误差来衡量。它与系统本身的结构、参数及外作用的形式有关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦等因素有关。本书只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的稳态误差，即原理性误差。 给定稳态误差（由给定输入引起的稳态误差）
2、扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差） 给定输入量变化时，要求系统输出量以一定的精度跟随输入量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性能。给定输入量不变时，需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能。,原理性误差、给定稳态误差、扰动稳态误差。,08:14,R(t),-,B(s),E(s),N(s),+,C(s), step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35), step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),1),0:.01:35), step(fe
3、edback(tf(1*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35),从图形中体会误差和稳态误差,理想值,08:14,输入（理想值）,K=5,K=1,K=0.3,阶跃响应,阶跃响应：稳态误差为零,斜坡响应：稳态误差为常数,t=0:.01:20; u=t; lsim(feedback(tf(5*0,1,conv(1,0,1.67,1),1),u,t),误差,从图形中体会误差和稳态误差,08:14,一、稳态误差的定义和基本概念 系统的误差 e(t)的基本定义为输出量的希望值与实际值之差。 典型系统结构如图所示，其误差定义有两种形式： （1）输出端定义法： 式中： 为系统输
4、出量的希望值； C(t)为输出量的实际值。 （2）输入端定义法： 式中： r(t)为给定输入； b(t)为系统主反馈信号。 H（s）是测量装置的传递函数（通常我们认为是理想的），故此时误差就是给定输入与测量装置的输出量之差。,误差的定义,08:14,希望情况下偏差信号E(S)0， 则系统在输入信号作用下的希望输出为：,对于扰动信号N(s)而言,希望的情况就是扰动信号引起的输出为0（R=0，E=0）,即系统的希望输出Cn(t)一点都不受扰动的影响。,“希望值”的基本概念：,希望的状态,总之：,一,08:14,从系统输出端定义的稳态误差，概念清晰，物理意义明确，也符合基本定义，但在实际系统中 无法
5、测量，因而，一般只有数学意义。而从系统输入端定义的稳态误差，它在系统中是可以测量的，因而具有实用性。对于单位反馈系统，要求输出量C(t)的变化规律与给定输入r(t)的变化规律一致，所以给定输入r(t)也就是输出量的希望值 ，即 。 此时，上述两种定义统一为 e(t)= r(t) - c(t),说明,一,08:14,对于非单位反馈系统，若设定义1的误差为 E(s),定义2的误差为E(s)，则E(s)与E(s)的关系如下： 可见，两种定义对非单位反馈系统是存在差异的，但两种定义下的误差之间具有确定的关系，即误差E(s)可以直接或间接地由 E(s)来确定。从本质上看，它们都能反映控制系统的控制精度。
6、在本书以后的讨论中，将采用第二种误差定义。 E(t)通常也称为系统的误差响应，它反映了系统在输入信号和扰动信号作用下整个工作过程中的精度。误差响应中也包含有瞬态分量和稳态分量两个部分，如果所研究的系统是稳定的，那么当时间t趋于无穷大时，瞬态分量趋近于零，剩下的只是稳态分量。,说明,一,08:14,稳态误差的定义：对于稳定的系统，误差信号的稳态分量称为系统的稳态误差，以 表示。,基本公式,注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、稳态误差等概念,注意：两种误差定义的统一性其关键在于反馈传递函数H(s)的确定性、可靠性、准确性。,稳态误差的定义,一,08:14,R(t),-,B(s),E(s),N
7、(s),+,C(s), step(feedback(tf(50*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),1),0:.01:35),C(t)=b(t),H(s)=1,注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念,单位反馈情况：,从图形和公式中体会误差和稳态误差,一,08:14,R(t),-,B(s),E(s),N(s),+,C(s), step(feedback(tf(50*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),2),0:.01:35),C(t),r(t)=1(t),H(s)=2,非单位反馈情况：,注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等
8、概念,从图形和公式中体会误差和稳态误差,一,08:14,注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念,1.误差： 或 一般意义； 2.误差响应：包括输入误差和干扰误差，也有具体误差响应曲线的意思； 3.稳态分量：tts 的 全称：误差响应的稳态分量； 4.瞬态分量：tts后误差响应的变化关系； 6.稳态误差： 7.心中一定要有开始给出的语言定义。,一,08:14,C(t)=b(t), step(feedback(tf(8*0.0,1,conv(1,1,conv(1.67,1,3,1),1),0:.01:135),从图形和公式中体会误差和稳态误差,一,08:14,输入,K=
9、5,K=1,K=0.3,阶跃响应,阶跃响应：零稳态误差,斜坡响应：稳态误差为常数,指令：t=0:.01:20; u=t; lsim(feedback(tf(5*0,1,conv(1,0,1.67,1),1),u,t),从图形和公式中体会误差和稳态误差,一,08:14,研究稳态误差的不同问题所使用的不同结构图。,一般形式,特殊形式1,特殊形式2,特殊形式3,特殊形式4,注意：这种形式好用梅孙公式。,一,08:14,二、输入作用下的稳态误差 如果不计扰动输入的影响，只求系统的给定稳态误差。此时，系统的结构图简化为。,注意分析的方法和思路,准备,08:14,由图可知 由误差的定义可知 式中 称为给定
10、输入作用下系统的误差传递函数。 应用拉氏变换的终值定理可以方便地求出计算系统的稳态误差的基本公式。,想着梅逊公式,基本公式,注意这里采用的是输入侧定义的方法。,准备,08:14,在给定输入作用下，系统的稳态误差与系统的结构、参数和输入信号的形式有关，对于一个给定的系统，当给定输入的形式确定后，系统的稳态误差将取决于开环传递函数描述的系统结构。 分析稳态误差与系统结构的关系，关键是根据开环传递函数G(s)H(s)中串联的积分环节个数所规定的控制系统类型。 设系统的开环传递函数一般形式为,准备,08:14,式中 称为系统的开环放大倍数或开环增益（第二章中已经给出该公式）。 开环传递函数的分类：以分
11、母中串联的积分环节 个数 来定义开环传递函数的型。当 时，分别称系统为0型、1型、2型系统。而G(s)H(s)中其它零、极点对分类没有影响。 下面分析系统在不同典型输入信号作用下的稳态误差。,开环传递函数的一般形式：,准备,08:14,基本公式小结：紧紧围绕公式来研究。,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,准备,08:14,令 称 为稳态位置误差系数。 稳态误差可表示为 因此，在单位阶跃输入下，给定稳态误差决定于系统的位置稳态误差。对于0型系统，,1、 单位阶跃输入时的稳态误差 对于单位阶跃输入，R(s)=1/s,由式（5）求得系统的稳态误差为,讨论：,注意方法和思路,再用讨论法,定义式,
12、基本公式,基本公式,开始,08:14,对于1型系统（或高于1型的系统）， 可见，由于0型系统中没有积分环节，它对阶跃输入的稳态误差为一定值，误差的大小与系统的开环放大系数K成反比，K越大， 越小，只要K不是无穷大，系统总有误差存在。 对实际系统来说，通常是允许存在稳态误差的，但不允许超过规定的指标（如5）。为了降低稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大系统的开环放大系数，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则必须选用1型或高于1型的系统。,说明：,08:14,R(t),-,B(s),E(s),N(s),+,C(s), step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,1,1.
13、67,1),1),0:.01:35), step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),1),0:.01:35), step(feedback(tf(1*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35),从图形中体会误差和稳态误差,08:14,2、 单位斜坡输入时的稳态误差 对于单位斜坡输入 ，此时系统的稳态误差为 令 称为稳态速度误差系数。 于是稳态误差可表示为 因此，在单位斜坡输入下，给定稳态误差决定于速度误差系数。,定义式,基本公式,基本公式,08:14,对于0型系统， 对于1型系统，,再用讨论法,08:14,对于2型系统（或高
14、于2型的系统）， 上面的计算表明，在单位斜坡输入作用下，0型系统的稳态误差为 ，而1型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。为了使稳态误差不超过规定值，可以增大系统的K值。2型或高于2型系统的稳态误差总为零。因此，对于单位斜坡输入，要使系统的稳态误差为一定值或为零，必需 ，也即系统必须有足够积分环节。,说明：,08:14,输入,K=5,K=1,K=0.3,阶跃响应,阶跃响应：零稳态误差,斜坡响应：稳态误差为常数,指令：t=0:.01:20; u=t; lsim(feedback(tf(5*0,1,conv(1,0,1.67,1),1),u,t),08:14,3、单位抛物线输入时的
15、稳态误差 对于单位抛物线输入 ，此时系统的稳态误差为 令 称 为稳态加速度误差系数。于是稳态误差可表示为 对于0型系统， 于是稳态误差可表示为,定义式,基本公式,基本公式,08:14,对于1型系统， 对于2型系统，,08:14,对于3型系统（或高于3型的系统）， 以上计算表明，在单位抛物线输入作用下，0型和1型系统的稳态误差为 ，2型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。对3型或高于3型的系统，其稳态误差为零。但是，此时要使系统稳定则比较困难。,说明：,08:14, t=0:.01:300; u=1/2*t.2; lsim(feedback(tf(0.001*conv(10,1,25,1),conv(1,0,conv(1,0,15,1),1),u,t) K=0.001,0.0005,0.0002,误差,08:14, t=0:.01:100; u=1/2*t.2; lsim(feedback(tf(0.14*conv(8,1,4,1),conv(1,0,conv(1,0,6,1),1),u,t) K=0.14,0.04,0.0094,误差,08:14,在各种典型输入信号作用下，不同类型系统的给定稳态误差如
