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1、九年级数学（上册）第一章 证明(二),1.你能证明它们吗等边三角形的判定,阳泉市义井中学 高铁牛,驶向胜利的彼岸,八仙过海,一个三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？,与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.,你认为有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？,一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？,驶向胜利的彼岸,命题的证明,定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.,证明:AB=AC, B=600(已知), C=B=600.(等边对等角). A=600(三角形内角和定理). A=B（等式性质）. AC=CB（等角对等边）. AB=BC=AC（等式性质
2、）. ABC是等边三角形(等边三角形意义).,已知:如图,在ABC中AB=AC,B=600. 求证:ABC是等边三角形.,几何的三种语言,驶向胜利的彼岸,定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.,在ABC中, AB=AC,B=600(已知). ABC是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).,这又是一个判定等边三角形的根据之一.,驶向胜利的彼岸,命题的证明,定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.,证明:A=B (已知), BC=AC,(等角对等边). 又B=C(已知), AB=AC,(等角对等边). AB=BC=AC(等式性质). ABC是等边三角形(等边三角形意义)
3、.,已知:如图,在ABC中,A=B=C. 求证:ABC是等边三角形.,几何的三种语言,驶向胜利的彼岸,定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.,在ABC中, A=B=C(已知), ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).,这又是一个判定靠边三角形的根据之一.,驶向胜利的彼岸,命题的猜想,1 操作:用两个含有300角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？,能证明你的结论吗？,结论:在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半.,能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.,由此你想到，在直角三角形中, 300角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？,驶向胜利的彼岸,命题的证明,定理
4、:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.,在ABC中,ACB=900,A=300(已知), B=600(直角三角形两锐角互余). 又 ACB=900, (已知), ACD=900(平角意义). 在ABC与ADC中 BC=DC（作图）, ACB=ACD（已证）, AC=AC（公共边）, ABCADC（SAS）. ABD是等边三角形(有一个角600是的等腰三角形是等边三角形) BC= BD= AB(等式性质).,已知:如图,在ABC中,ACB=900,A=300. 求证:BC= AB.,证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.,几何的三种语言,驶
5、向胜利的彼岸,这又是一个判定两条线段成倍分关系的根据之一.,定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.,在ABC中, ACB=900,A=300. BC= AB.(在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半).,学无止境,这里有一个化归的数学思想即把问题转化为一个纯数学问题.,驶向胜利的彼岸,分析:如图,在ABC中AB=AC=2a,B=ACB=150,CDAB于D. 求:CD=?,解:B=ACB=150(已知), DAC=B+ACB= 150+150=300(三角形的一个外角,等于和不相邻的两内角的和). CD= AC= 2a=a(在直角三角
6、形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).,例2.已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a. 求:腰上的高.,含300角的直角三角形,驶向胜利的彼岸,1.已知:如图, 在ABC中,ACB900,A=300,CDAB于D. 求证:BD=AB/4.,分析:因为A=300,所以BC=AB/2.要证明BD=AB/4,只要能使BD=BC/2即可,此时若BCD=300就可以了.而由“双垂直三角形”即可求得.,你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗?,三角形,认识我吗,2.已知:如图,点P,Q在BC上,且BP=AP=AQ=QC=a,PAQ=600,AHBC于H.
7、 (1)求证:AB=AC; (2)试在图中标出各个角的度数; (3)求出图中各线段的长度,并说明理由.,驶向胜利的彼岸,胜利属于敢想敢干的人！ 你能与同学们交流探索证题的全过程吗?,反过来怎么样逆向思维,命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.是真命题吗? 如果是,请你证明它.,驶向胜利的彼岸,已知:如图,在ABC中,ACB=900,BC=AB/2. 求证:A=300.,反过来怎么样逆向思维,在ABD中,ACB=900(已知), AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等). 又BC=AB/2(已知), BC=BD/2(作图), AB=BD(
8、等量代换). AB=BD=AD(等式性质）. ABD是等边三角形(等边三角形意义). B=600(等边三角形意义). A=300(直角三角形两锐角互余).,驶向胜利的彼岸,证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.,几何的三种语言,驶向胜利的彼岸,这是一个通过线段之间的关系来判定一个角的具体度数(300)的根据之一.,定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.,在ABC中 ACB=900,BC=AB/2(已知), A=300(在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).,成功者的摇篮,1.如图(1):四边形ABC
9、D是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(2), 折痕交AE于点G,那么ADG等于多少度?你能证明你的结论吗?,成功者的摇篮,1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(2)中A1),折痕交AE于点G,那么ADG等于多少度?你能证明你的结论吗?,答:ADG等于150.,证明:DF=DC/2(中点意义),A1D=AD=CD(正方形各边都相等),DF=A1D/2(等量代换).,DA1F=300 (在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对
10、的锐角等于300).,又ADEF(中点意义),A1DA=DA1F=300 (两直线平行,内错角相等).,ADG=A1DA/2=150(角平分线意义).,300,回味无穷,等边三角形的判定: 定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形. 定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. 特殊的直角三角形的性质: 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300. 老师提醒: 反证法还认识你吗?,知识的升华,P9习题1.3 1,2,3题. 祝你成功！,习题1.3,驶向胜利的彼岸,1.已
11、知:如图,ABC是等边三角形,DEBC,分别交AB,AC于点D,E.求证: ADE是等边三角形.,证明1:,ABC等边三角形(已知), AB=A600(已知),又 DEBC(已知),1=B=600,2=C=600 (两直线平行,同位角相等)., A =1=2(等量代换)., ADE是等边三角形 (三个角相等的三角形是等边三角形).,F,习题1.3,驶向胜利的彼岸,2.房梁的一部分如图所示,其中BCAC,A=300,AB=7.4m,点D是AB的中点,DEAC,垂足为E. 求:BC,DE的长.,解:BCAC,A=300,AB=7.4m(已知), BC=AB/2=7.423.7(在直角三角形中, 如
12、果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半),又 AD=AB/2=7.423.7(中点意义), DE=AD/2=3.721.85(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).,答:BC=3.7m,DE=1.85m.,老师提示:对于含300角的直角三角形边之间,角之间的关系要作为常识去认可.,习题1.3,驶向胜利的彼岸,1.已知:如图,ABC是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的DEF,DEF是等边三角形吗?你还能找到其它的等边三角形吗?请证明你的结论.,答:(1)DEF是等边三角形;(2)ABE,ACF,BCD也是等边三角
13、形.,证明(1):ABC是等边三角形(已知),又EFBC,DEAC(已知),E600(三角形内角和定理).,同理,D=600,F600.,12=3600(等边三角形的三个角都相等并且每个 角都等于600 ).,3,42600,51600(两直线平行,内错角相等).,5, DE=F600(等量代换).,DEF是等边三角形(三个角相等的三角形是等边三角形).,习题1.3,驶向胜利的彼岸,1.已知:如图,ABC是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的DEF,DEF是等边三角形吗?你还能找到其它的等边三角形吗?请证明你的结论.,答:(1)DEF是等边三角形; (2)ABE,ACF,
14、BCD也都是等边三角形.,请同学们来证明(2)中的结论.,3,5,习题1.3,驶向胜利的彼岸,1.已知:如图,ABC是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的DEF,DEF是等边三角形吗?你还能找到其它的等边三角形吗?请证明你的结论.,答:(1)DEF是等边三角形;(2)ABE,ACF,BCD也是等边三角形.,证明(1):ABC是等边三角形(已知),又EFBC,DEAC(已知),E600(三角形内角和定理).,同理,D=600,F600.,12=3600(等边三角形的三个角都相等并且每个 角都等于600 ).,3,42600,51600(两直线平行,内错角相等).,5, DE=F600(等量代换).,DEF是等边三角形(三个角相等的三角形是等边三角形).,结束寄语,严格性之于数学家,犹如道德之于人. 证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.,
