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1、保险精算学 Actuarial Science,单 位：广东医人文管理院 主讲教师：曾理斌 联系方式：,第三节,年金,第三节汉英名词对照,年金 支付期 延付年金 初付年金 永久年金 变额年金 递增年金 递减年金,Annuity Payment period Annuity-immediate Annuity-due perpetuity Varying annuity Increasing annuity Decreasing annuity,一、年金的定义与分类,定义 按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。 分类 基本年
2、金 等时间间隔付款 付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定 一般年金 不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金,二、基本年金,基本年金 等时间间隔付款 付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定 分类 付款时刻不同：初付年金/延付年金 付款期限不同：有限年金/永久年金,基本年金图示,1.延付年金（期末付年金）,2.初付年金（期初付年金）,基本年金公式推导,年金现值与累积值的关系,例1.11,一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半年转换9%，求此项年金的现时值。,例1.12,某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月
3、等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？,例1.12答案,（1） （2）,例1.13,假定现在起立即开始每6个月付款200直到满4年，随后再每6个月付款100直到从现在起满10年，若 求这些付款的现时值。,例1.13答案,方法一： 方法二：,例1.14,某人在30岁时计划每年初存入银行300元建立个人帐户，假设他在60岁退休，存款年利率假设恒定为3。 （1）求退休时个人帐户的积累值。 （2）如果个人帐户积累值在退休后以固定年金的方式在20年内每年领取一次，求每年可以领取的数额。,例1.14答案,（1）退休时个人帐户积累值计算
4、 （2）退休后每年可领取退休金,例1.15,有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出5万元奖金，问在年实质利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？,例1.16永久年金,A留下一笔100000元的遗产。这笔财产头10年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的利息都付给慈善机构D。若此项财产的年实质利率为7%，试确定B，C，D在此笔财产中各占多少份额？,例1.16答案,基本年金公式总结,未知时间问题,年金问题四要素 年金、利率、支付时期（次数）、积累值（现时值） 关注最后一次付款问题 在最后一次正规付款之后，下一个付款期做一次较小付款（drop payment
5、） 在最后一次正规付款的同时做一次附加付款（balloon payment）,例1.17,有一笔1000元的投资用于每年年底付100元，时间尽可能长。如果这笔基金的年实质利率为5%，试确定可以作多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小付款是： （1）在最后一次正规付款的日期支付。 （2）在最后一次正规付款以后一年支付 （3）按精算公式，在最后一次付款后的一年中间支付。（精算时刻）,例1.17答案,变利率年金问题,类型一：时期利率(第K个时期利率为 ),变利率年金问题,类型二：付款利率（第K次付款的年金始终以利率 计息）,例1.18:,某人每年年初存进银行1000元,前4年的年利率为6
6、%,后6年由于通货膨胀率,年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.,例1.18答案,例1.19:,某人每年年初存进银行1000元,前4次存款的年利率为6%,后6次付款的年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.,例1.19答案,三、一般年金,一般年金 利率在支付期发生变化 付款频率与利息转换频率不一致 每次付款金额不恒定 分类 支付频率不同于计息频率的年金 支付频率小于计息频率的年金 支付频率大于计息频率的年金 变额年金,支付频率不同于计息频率年金,分类 支付频率小于利息转换频率 支付频率大于利息转换频率 方法 通过名义利率转换，求出与支付频率相同的实质利率。 年金的代数分析
7、,支付频率小于计息频率年金,0,k,2k,nk,计息,支付,1,1,1,例1.20:,某人每年年初在银行存款2000元,假如每季度计息一次的年名义利率为12%,计算5年后该储户的存款积累值.,例1.20答案,方法一:利率转换法 方法二:年金转换法,例1.21：永久年金,有一永久年金每隔k年末付款1元，问在年实质利率为i的情况下，该永久年金的现时值。,支付频率大于利息转换频率,支付频率大于,0,第m次每次支付,第2m次每次支付,第nm次每次支付,计息,支付,1,2,n,年金分析方法,方法一：利率转换法,年金转换法,例1.22,某购房贷款8万元,每月初还款一次,分10年还清,每次等额偿还,贷款年利
8、率为10.98%,计算每次还款额.,例1.22答案,方法一: 方法二:,例1.23：永久年金,一笔年金为每6个月付1元，一直不断付下去，且第一笔付款为立即支付，问欲使该年金的现时值为10元，问年度实质利率应为多少？,例1.23答案,年金关系,一般年金代数公式,连续年金,定义:付款频率无穷大的年金叫连续年金. 公式:,恒定利息效力场合,例1.24,确定利息效力使,变额年金,等差年金 递增年金 递减年金 等比年金,等差年金,一般形式 现时值 积累值,0,1,2,n,P,P+Q,P+(n-1)Q,特殊等差年金,例1.25,从首次付款1开始,以后每次付款递增1,只增加到M,然后保持付款额不变的N年期期
9、末付年金,可以表示成 计算,例1.25答案,例1.26,有一项延付年金，其付款额从1开始每年增加1直至n，然后每年减少1直至1，试求其现时值。,例1.26答案,等比年金,0,1,2,n,1,1+k,例1.27:,某期末付永久年金首付款额为5000元,以后每期付款额是前一期的1.05倍,当利率为0.08时,计算该永久年金的现时值.,例1.27答案,1 、 某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用 5 万元 如果它们前十年每年底存款 1000元 后十年每年底存款 1000+ X 元 年利率 7 ，计算 X。(651.7238) 2 、价值 10,000 元的新车 购买者计划分期付款方式 每月底还 2
10、50 元 期限 4 年 月结算名利率 18， 计算首次付款金额。(1489.36159 ),3、已知 半年结算名利率 6 计算下面年金的现值 ，从现在开始每半年付款 200 元 共计 4 年 然后 减为每次 100 元 共计 10 年。 (2389.72) 4、某人现年 40 岁 现在开始每年初在退休金帐号上存入 1000 元 共计 25 年 然后 从65 岁开始每年初领取一定的退休金 共计 15 年 设前 25 年的年利率为 8 后 15 年的年利率7 ，计算每年的退休金。(8102),5、现有价值相等的两种期末年金 A和 B 年金， A在第110年和第21 30年中每年1元在第 11 20
11、 年中每年 2 元； 年金 B在第 1 10 年和第 21 30 年中每年Y 元， 在第 1120 年中没有。 已知 V10 =1/2 ，计算Y 。(1.8),6、已知年金满足 2 元的 2n期期末年金与 3 元的n期期末年金的现值之和为 36 ，另外 递延n年的 2 元n期期末年金的现值为 6 计算i (7%)。,7、某雇员在退休前的第 37 年参加企业养老金计划 年收入为18,000 元 然后每年以 4的速度增加 假定提薪恰好在每年的年中进行 。计算 分别对以下两种退休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例 1）如果年退休金为工作期间年平均工资的 70 年退休金为年平均工资的 2.5 再乘以工作年限 ；2） 如果企业和个人分别将年工资的 3 存入年利率 6 的养老基金； 试对以上两种退休金方式计算退休金的领取年限。 (37.7%,49.8% ,12.19,8.34),
