《正弦量的基本概念正弦量的相量表示法电容元》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正弦量的基本概念正弦量的相量表示法电容元（197页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1 正弦量的基本概念 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 电容元件和电感元件 3.4 三种元件伏安特性的相量形式 3.5 基尔霍夫定律的相量形式 3.6 RLC串联的交流电路 3.7 RLC并联电路 3.8 用相量法分析正弦交流电路 3.9 正弦交流电路中的功率 3.10 正弦交流电路中的最大功率,第3章 正弦交流电路,3.1 正弦量的基本概念 3.1.1 正弦交流电的三要素 按正弦规律变化的交流电动势、交流电压、交流电流等物理量统称为正弦量，如图3-1-1所示。,瞬时值和振幅值（最大值） 正弦量瞬时值中的最大值, 叫振幅值, 也叫峰值。 用大写字母带下标“m”表示, 如Um、Im等。 2
2、. 周期和频率 正弦量变化一周所需的时间称为周期。通常用“T”表示，单位为秒(s)。正弦量每秒钟变化的周数称为频率，用“f ” 表示，单位为赫兹(Hz)。周期和频率互成倒数，即,以正弦电流为例，对于给定的参考方向，正弦量的一般解析函数式为,3.相位、角频率和初相,t+相位角 在不同的瞬间，正弦量有着不同的相位，因而有着不同的状态。相位的单位一般为弧度(rad)。 角频率相位角变化的速度。 单位：rad/s或1/s。 相位变化2rad，经历一个周期T，那么,当=0时，正弦波的零点就是计时起点,当0，正弦波零点在计时起点之左，其波形相对于=0的左移角， 当0，正弦波零点在计时起点之右，其波形相对于
3、=0的波形右移|角，,确定角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点,几种不同计时起点的正弦电流波形,例 在选定的参考方向下, 已知两正弦量的解析式为u=200sin(1000t+200) V, i=-5sin (314t+30) A, 试求两个正弦量的三要素。 解 (1) u=200sin(1000t+200)=200sin(1000t-160)V 所以电压的振幅值Um=200V, 角频率=1000rad/s, 初相u=-160。 (2) i=-5sin(314t+30)=5sin(314t+30+180) =5sin(314t-150)A 所以电流的振幅值Im=5A, 角频率=314rad/
4、s, 初相i=-150。 ,例 已知选定参考方向下正弦量的波形图如图4.4所示, 试写出正弦量的解析式。 ,解,例 3-1 图3-1-4给出正弦电压uab和正弦电流iab的波形。(1)写出uab和iab的解析式并求出它们在t=100ms时的值。(2)写出iab的解析式并求出t=100ms时的值。,由波形可知电压和电流的最大值分别为300mV和5mA，频率都为1kHz，角频率为2000rad/s，初相分别为/6和/3，它们的解析式分别为:,(1)T =100ms时，,(2)当t100ms时,3.1.2 相位差 两个同频率正弦量的相位之差, 称为相位差, 用字母“”表示。,当两个同频率正弦量的计时
5、起点改变时，它们之间的初相也随之改变，但二者的相位差却保持不变。,下面分别加以讨论： 12=1-20且|12|弧度 (2) 12=1-20且|12|弧度 (3) 12=1-2=0,称这两个正弦量同相 (4) 12=1-2=, 称这两个正弦量反相 (5) 12=1-2=/2, 称这两个正弦量正交,同频率正弦量的几种相位关系,例 分别写出下图中各电流i1、 i2的相位差, 并说明i1 与i2的相位关系。,解 (a) 由图知1=0, 2=90, 12=1-2=-90, 表明i1滞后于i2 90。 (b) 由图知1=2, 12=1-2=0, 表明二者同相。 (c) 由图知1-2=, 表明二者反相。 (
6、d) 由图知1=0, , 表明i1越前于 。,3.1.3 正弦量的有效值 有效值的定义 交流电的有效值。 交流电的有效值是根据它的热效应确定的。交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量和直流电流I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量相等, 则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效值, 用大写字母表示, 如I、 U等。 ,正弦量的有效值,例 3-4 一个正弦电流的初相角为60,在T/4 时电流的值为5A，试求该电流的有效值。,解 该正弦电流的解析式为,代入已知量有：,3.2 正弦量的相量表示法 复数及四则运算 1.复数 在数学中常用A=a+bi表示复数。其中a为实部, b为虚部, 称为虚
7、单位。在电工技术中, 为区别于电流的符号, 虚单位常用j表示。,复数在复平面上的表示,复数的矢量表示,2. 复数的四种形式 复数的代数形式,(2) 复数的三角形式,(3) 复数的指数形式,(4) 复数的极坐标形式,例 写出复数A1=4-j3, A2=-3+j4的极坐标形式。 解 A1的模 辐角 则A1的极坐标形式为A1=5 -36.9,（在第四象限）,辐角,(在第二象限),则A2的极坐标形式为,A2的模,例 写出复数A=100/30的三角形式和代数形式。 解 三角形式A=100（cos30+jsin30） 代数形式A=100(cos30+jsin30)=86.6+j50 3. 复数的四则运算
8、(1) 复数的加减法 设,则,（4.16）,复数相加减矢量图,(2) 复数的乘除法,例 求复数A=8+j6 , B=6-j8之和A+B及积AB。 解 A+B=（8+j6)+(6-j8)=14-j2 AB=(8+j6)(6-j8)=10/36.910/-53.1=100/-16.2 =96-j28=4(24-j7)=100/-16.2 ,1.正弦量的相量表示,设某正弦电流为：,而,上式的虚部恰好是正弦电流i，用Im 是取复数虚部的运算符号，则：,其中,它是一个与时间无关的复常数，它的模即正弦量有效值，它的辐角即正弦量的初相正弦量的相量,正弦电压的相量为,相量是一个复数，它表示一个正弦量，所以在符
9、号字母上加上一点，以与一般复数相区别。特别注意，相量只能表征或代表正弦量而并不等于正弦量。二者不能用等号表示相等的关系，只能用“”符号表示相对应的关系,相量也可以用振幅值来定义。即,2.相量图及参考相量,在复平面上可用一个矢量表示相 量，该矢量称正弦量的相量图(也 简称相量)，其符号与相量相同， 如图3-2-1(a)所示。画几个同频 率正弦量的相量图时，可选择某 一相量作为参考相量先画出，再根据其它正弦量与参考正弦量的相位差画出其它相量。参考相量的位置可根据需要任意选择。,相量与ejwt相乘是一个随时间变化的函数，它随时间的推移而旋转，且旋转速度为。我们把相量乘以ejwt再乘以常数 称为旋转相
10、量，旋转相量在虚轴上的投影Imsin(t+i)为正旋量的瞬时值。Imsini为i(t)的初始值，如图3-2-1（b）所示。所以也可以用正弦相量来表示正旋量。 其中 就是旋转因子。,3.旋转因子及旋转相量,例 3-5 已知正弦电压u1(t)=141 sin(t+/3)V，u2(t)=70.5 sin(t-/6)V，写出u1和u2的相量，并画出相量图。,相量图如右所示:,例 3-6 已知两个频率均为50Hz的正弦电压，它们的相量分别为1=380/6 V, 2=220/-/3 V，试求这两个电压的解析式。,解 =2f =250=314 rad/s 1=sin(t+1)=380sin(314t+/6)
11、V 2=sin(t+2)=220sin(314t-/3)V,3.2.2 两个同频率正弦量之和,1.两个同频率正弦量的相量之和,利用三角函数，可以得出它们之和为同频率的正弦量，即,其中,要求出同频率正弦量之和，关键是求出它的有效值和初相。,2.求相量和的步骤,(1) 写出相应的相量，并表示为代数形式。 (2) 按复数运算法则进行相量相加，求出和的相量。 (3) 作相量图， 按照矢量的运算法则求相量和。,相量加减的多边形法则,例3-7 uA(t)=220sintV， uB(t)=220sin(t-120)V，求uA+uB和uA-uB 。,解:,作相量图求解。见下图，根据等边三角形和顶角为120的等
12、腰三角形的性质也可得出与上述同样的结果.,3.3 电容元件和电感元件,3.3.1 电容元件 1.电容元件 电容元件是各种实际电容器的理想化模型，其符号如图3-3-1(a)所示。,图 3-3-1理想电容的符号和特性,电荷量与端电压的比值C=Q/U电容元件的电容， 理想电容器的电容为一常数 电容的单位为法拉，简称法，符号为F。 常用单位有，微法(F)，皮法(pF),2.电容元件的伏安特性,对于图3-3-1(a)，当u、i取关联参考方向时,电容的伏安特性说明：任一瞬间，电容电流的大小与该瞬间电压变化率成正比，而与这一瞬间电压大小无关,任选初始时刻t以后，t 时刻的电压为,3电容元件的电场能,在关联参
13、考方向下，电容吸收的功率,电容元件从u(0)=0(电场能为零)增大到u(t)时，总共吸收的能量，即t时刻电容的电场能量。,当电容电压由u减小到零时，释放的电场能量也按上式计算动态电路中，电容和外电路进行着电场能和其它能的相互转换，本身不消耗能量。,例 3-8 (1) 2F电容两端的电压由t =1s时的6V线性增长至t=5s时的50，试求在该时间范围内的电流值及增加的电场能。(2) 原来不带电荷的100F的电容器，今予以充电，充电电流为1mA，持续时间为2s，求电容器充电后的电压。假定电压、电流都为关联参考方向。,解(1),增加的电场能量,(2) 2s末的电压,4 电容的连接,1、电容器的串联
14、把几个电容器的极首尾相接，连成一个无分支电路的连接方式叫做电容器的串联。如图是三个电容器的串联，接上电压为U的电源后，两极板分别带电为+q和-q ，由于静电感应，中间各极所带的电荷量也等于+q 或-q ，所以串联时每个电容器带的电荷量都是q。如果各个电容器的电容分别为C1、C2、C3，电压分别为U1、U2、U3，那么 U1=q/C1 U2=q/C2 U3=q/C3,规律：各电容器的带电量相等： q1=q2=q3=q 或U1C1 = U2C2 = U3C3 总电压U等于各个电容器上的电压之和： U=U1+U2+U3=q（1/ C1+1/C2+1/C3） 总电容的倒数等于各电容的倒数之和 1/C=
15、1/C1+1/C2+1/C3 各电容上的电压与电容成反比 U1/U2/U3=C3/C2/C1,串联电容器相当于增大了电容器两板间的距离，所以串联后的等效电容会小于任何一个分电容。,2、电容器的并联：把几个电容器的正极连在一起，负极也连在一起，这就是电容器的并联，如图是三个电容器的并联，接上电压为U的电源 后，每个电容器的电压都是U。如果各个电容器的电容分别 是C、C、C， 则所带的电荷量分别是q、q、q， 那么： q1=C1U q2=C2U q3=C3U,规律：各电容器上的电压均为U 电容器组贮存的总电荷量q等于各个电容器所带电荷量之和， 即：q=q1+q2+q3=（CCC）U 设并联电容器的总电容为，因为qCU， 所以CCCC 即并联电容器的总电容等于各个电容器的电容之和。电容器并 联之后，相当于增大了两极板的面积，因此总电容大于每个电容器的电容。 电容器并联的目的是：为了得到容量更大的等效电容。 并联电容器上的带电量q与其电容C成正比： q1/q2/q3=C1/C2/C3,串并联电容与串并联电阻的区别:,例、如图所示，三个相同的电容器接成（a）、（b）
