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1、建立数学模型的原则,第2章 油气渗流的数学模型,运动方程,状态方程,质量守恒方程,典型油气渗流数学模型建立,数学模型的初边值条件,典型油气渗流综合微分方程建立,第五节 典型油气渗流综合微分方程建立,单相不可压缩液体稳定渗流综合微分方程 弹性多孔介质单相微可压缩液体不稳定渗流微分方程 油水两相渗流综合微分方程,一、单相不可压缩液体稳定渗流综合微分方程,假设：单相均质液体符合线性运动规律，忽略多孔介质及液体的压缩性(不需要建立状态方程)，等温、稳定渗流。,(1),(2),由于K/为常数，故,将(1)式代入(2)式,连续性方程：,运动方程：,上式是一个二阶椭圆形微分方程，又称Laplace方程。除用
2、直角坐标表示外，也可以转换为圆柱坐标系或球坐标系。,二、弹性多孔介质单相微可压缩液体不稳定渗流综合微分方程,假设：单相微可压缩液体线性渗流，地层岩石均质微可压缩，等温弹性不稳定渗流。模型由运动方程、状态方程和连续性方程组成。,(1),(2),(3),(4),单相液体质量守恒方程：,运动方程：,状态方程：,对弹性孔隙介质：,对弹性液体：,式中,将(1)(2)(3)代入(4)，第一项中,因为CL、Cf都是很小的数，可略去含CLCf项得：,综合压缩系数，单位岩石体积在降低单位压力时,由孔隙收缩和液体膨胀共排挤出来的液体体积,可看成是常数 。,故,(5),(4),(4)式第二项由三部分组成:,(4),
3、由此可得：,(6),同理可得：,(5)、(6)代入(4)式,它表征了地层压力波传导的速率。当渗透率K单位为m2，液体粘度单位为mPa.s，综合压缩系数Ct单位为10-1MPa-1时，导压系数的单位为cm2/s，其物理意义为单位时间内压力波传播的地层面积。,二阶抛物线型偏微分方程(或称热传导方程),导压系数:,三、油水两相渗流综合微分方程,油水两相渗流的连续性方程,运动方程,对于油相：,对于水相：,对于油相：,对于水相：,将运动方程代入连续性方程得：,此外还有,Hamilton算子,可写成：,油水两相稳定渗流过程，液体饱和度不随时间变化，即,此时两相稳定渗流数学模型为,建立数学模型的原则,第2章
4、 油气渗流的数学模型,运动方程,状态方程,质量守恒方程,典型油气渗流数学模型建立,数学模型的初边值条件,数学模型的初边值条件,第六节 数学模型的边界条件和初始条件,数学模型是对同类物理现象作的一般定性描述，它本身并不包括涉及描述一个具体情况下的定量数据。所以任何一个方程都可能有无穷多个解。,完整的数学模型必须包括微分方程(组)和它的初始条件、边界条件，使数学模型具体化，从定性研究提升到定量研究,要从许多解中得到所需要的具体情况的解，就需要补充方程中没有包括的数据，要确定一个具体问题需要包括的条件有： 发生这个物理现象的区域和几何形状； 影响这个物理现象的物理参数和系数； 描述所研究系统的初始状
5、况的条件； 问题区域的边界条件,一、初始条件,指开始时刻整个渗流区域渗流速度和压力的分布(只有不稳定渗流问题才需要),表示的是渗流区域D上t=0时，势函数(x,y,z,t)为0(x,y,z),势函数为压力的函数,如,二、边界条件,1.给出势函数的边界条件第一类边界条件,指渗流区域边界上的已知条件。,特殊情况是势函数为常数，即=0=常数。 这种边界对三维流动称为等势面，对二维流动称为等势线,待求的势函数(x,y,z,t)在边界上已知。,例如：圆形定压边界油层中心一口井稳定渗流时的边界条件即为第一类边界条件。,待求的势函数在边界上是未知的，但边界上的流量(或流速)是已知的,n边界S的外法线方向；
6、q单位面积上的流量(流入正，流出负)为已知函数。,2.给出流量或流速的边界条件第二类边界条件,例如圆形封闭地层中心一口井弹性不稳定渗流的边界条件即为第二类边界条件。,、f均为边界上的已知函数。 第三类边界条件在多孔介质渗流中很少遇到，一般是用混和边值问题：就是在有些边界上是第一类边界条件，其余的边界上用第二类边界条件。,3.第三类边界条件,待求的势函数及其导数在边界上均未知，但其关系是已知的,例如：圆形有界定压油层中心一口井不稳定渗流的边界条件即为混和边界条件。,数学模型求解,解析法：分离变量，拉普拉斯变换 数值法：有限差分法、有限元法、流线法,数学模型应用,开发指标概算 数值模拟 试井解释,
