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1、用继承和发展的眼光看函数概念的教学王庆丰(浙江省绍兴县柯桥中学 312030)1概念教学中一些流行的问题新课改以来，概念教学的重要性日益提高，李邦河院士就说， “数学根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！” ，由此可见一斑但在实际的一线教学中，许多教师并不重视概念教学，一到概念教学就觉得“没意思，没用，难教”等等，往往就走走过场：既没有在概念的背景上下功夫，也不让学生经历概念的概括生成过程，以解题教学代替概念教学为什么会造成这些问题呢？笔者认为，主要原因还是在教师这里其一是对数学教学的教育功能理解不到位，认为教书就是为了能够解题，考试考高分，而不是为了学生能力的发展；其二是对概念教学的作用
2、没有切实体会过实际上，哪怕说到高考，现在高考命题者的考察学生能力的意识已经大为提高，不再停留在以前的考察“条件反射式”的死板解题一些富有新意的精彩题目年年都有，比如 2010 年浙江卷理科数学第 10 题，其实题目并不见得很难，学生却普遍觉得难，症结便在于集合这个概念理解不到位当然，除了以上两个方面，可能还有一些更为可怕的原因有些老师甚至不知道如何教概念2010 年 8 月 26 日，绍兴市高中数学“教学内容的理解与把握”主题研修活动在绍兴市稽山中学展开上午的活动是由章建跃博士做讲座，他就以大量的篇幅谈了概念教学这个问题，大力倡导在核心概念的教学上要做到“不惜时，不惜力” ，应把教育关注的重点
3、落在对数学的内容、方法和意义的了解和理解上，这样才能真正的做到“教书育人” 下午，作为活动的一项内容，笔者以1.2.1 函数的概念（第一课时） 为题上了一节观摩课，就是对函数这个核心概念教学进行突破的一次尝试，结合课前和课后的一些思考，拿出来与广大教师交流2课题引入：用继承和发展的眼光看函数的概念许多教师在本课引入时（特别是公开课，优质课） ，常常喜欢在三个实例上“做文章” ，改编成一些与当前实事相关的实例，比如，嵊州市第二中学陈一凯老师就把射高这个实例与当前“黄海问题”做了结合，笔者也把恩格尔系数这个实例改为世界合唱节年份与参加团队数这样一个实例（因为 2010 年世界合唱节刚刚在绍兴举行过
4、） 这样的做法，积极因素当然很多，可以引起学生的兴趣，调动积极性等等但是我们回头想想，这样做对学生理解函数这个概念似乎并没有太大的帮助，并不是解决问题的关键那么关键在哪里呢？细读教材，读者可以发现本节起始有这么一段话：在初中我们已经学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述 变量之间的依赖关系现在我们将进一步学 习函数及其构成要素 其实，这段话已经给我们指明了方向，那就是高中函数的概念是在初中函数概念的基础上学习的，但是与初中函数的概念又有一些不同，需要我们用继承和发展的眼光去看待，这正是本节课教学方法的指导思想2.1 什么叫继承和发展？继承了什么？发展了什么？首先要从初中函数的概念说起，初中教
5、材对函数是这样定义的：一般地，在某个变化过程中， 设有两个变量x,y,如果对于 x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值,那么就说 y 是 x 的函数(function),其中 x 叫自变量(independent).我们看到，初中对函数的定义已经谈到了 “任意性” ，只不过更加通俗地表达为“每一个”而已，然而这没有关系，经过前一章集合中相关概念的学习，学生已经具备了这个过渡的能力同理， “唯一性”也可以平稳过渡得到，甚至“对应”这个观点也已经隐含在概念之中了从这个层面上来说，高中函数概念继承了初中函数概念中“任意性”和“唯一性” ，广泛地说还有“对应” ，而发展的部分则是强调变量的取值范围
6、，并用“集合”的语言加以包装，同时，还有“对应”的一部分（不变性的那部分） 2.2 教材中的三个实例有没有体现函数概念的“发展”？笔者有个疑问，教材中的三个实例有没有体现函数概念的“发展”呢？仔细分析，并不是太明显，这三个实例完全可以用初中函数的概念加以判断！那接着的问题就是，既然只需要初中的概念就可以解决三个实例，为什么硬要学生去换一套说辞呢？而且这套说辞还显得那么的晦涩难懂所以，高中函数概念提出的必要性和迫切性不解决，整节课就会显得不自然，感觉为了教概念而教概念，从而导致学习有效性下降2.3 一个思维含量丰富的课题引入方式基于以上两点分析，笔者结合自身思考及查阅资料，设计了一个思维含量丰富
7、，问题串形式的课题引入方式师：同学们初中已经学过了函数，你能举几个初中学过的函数的具体例子吗？（两位学生举了正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数各一个，教师板书记下来）师：除了解析式，函数还有那些表达的方法？（学生回答图像法和列表法，教师总结，解析式，图像，表格我们以后可统一称为对应关系，为后面函数概念的发展作铺垫， ）师：凭什么说它们是函数？（这个问题旨在唤起学生对函数定义的回忆：有学生从运动变化的角度去阐述，也有学生从对应的角度去阐述，然后教师摘录初中函数的完整定义展示给学生看） 师：同学们觉得这个函数的定义中有哪些关键字？（学生回答“每一个” ， “唯一” ，教师结合学生在集合概念
8、学习的经验，提出替代但更加严格的说法“任意性”和“唯一性” ，同时，也有学生回答“某个变化过程”也是关键字 ）师：由上述定义你能判断“ ”是函数吗？1y（大部分学生回答“不是” ，因为“ 的值不变化” 设计此问的目的，正是为了引起这个认知冲突，从而才需要对初中函数的概念进行发展 ）师：函数“ ”与函数“ ”表示同一函数吗？yx2xy（许多学生可以看出来“ 的取值范围不同” ，从而“不是同一个函数” 教师顺势指出，说明在函数这个概念中， 的取值范围有重要影响，应予以关注，并且学过了了集合之后，应把取值范围规范的写成集合形式，x,y不妨设 的取值集合为 ， 的取值集合为 ，为接下去三个实例的抽象概
9、括作铺垫，同时顺利地把初中函数AyB的概念进行了发展 ）3函数概念中“七项注意”的教学处理在函数概念的教学中，给出函数的概念之后，需要对函数概念中的“注意事项”进行讲解，以加深学生对函数概念的理解但许多教师往往在概念之后采用罗列的方式一一全面讲解，这样的“全面”又有什么意义呢？章建跃博士在中学课改的十个论题一文中第五论题就提出：怎样才是真正“教完了”？“教完了”应该以学生是否理解教的内容为标准，以学生是否达到了课标规定的教学要求，特别是学生达到的数学双基的理解和熟练水平为标准，而不是教师在课堂上有没有把内容“讲完” 为此，章博士还特意罗列了函数概念的“七个注意事项” ，认为在不恰当的时候、用不
10、恰当的方法强调细节，结果只能把学生“教糊涂了” 那么，什么是恰当的时候？什么是恰当的方法呢？章博士没有谈到为此，笔者进行了后续的思考与实践在“七个注意事项”中，以符号“ ”的引入最难，笔者尝试了一种新教学设计思路，力求引入自yfx然、流畅第一步：在三个实例的基础上，通过归纳总结，得出函数的概念：设 A,B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称为从集合 A 到集合 B 的一个函数教学时应注意两点，一方面要充分挖掘标记 的涵义，f:AB f:AB既有要素 ，又满足函数概念的核心 集合 A 中取值的任
11、意性和集合 B 中取值的唯一性符号,f中的箭头是有方向的：箭头的“始”蕴涵任意性，箭头的“终”蕴涵了唯一性f:第二步： 精心设计练习“已知函数 ，求 和 对应 的值 ”，让学132f:xyx32xy生充分理解函数中“对应”的意思，由学生回答教师板书“当 时， ”，教师1y适时地抛出问题“同学们能不能尝试利用对应关系 简记上述解题过程呢？” 结合学生的思考与回答，教师f总结，把上述解题过程简记为“ ”，那么下一个取值也可以简记为“ ”.这时，31f238f教师再抛出一个问题“同学们能不能把题目中的函数 也作类似的简记呢？”至此，13f:xyx因为有了特殊情况的概括，学生类比到一般情况概括出“ ”
12、也就很自然了，如果顺便引2入数学史“函数符号 是由德国数学家莱布尼兹在 18 世纪引入的” ，教育意义会显得更加深刻yfx应该说，以上这种教学设计是比较大胆的，它突破了教材把函数两种标记“ ”与“f:AB”平行处理的既有结构，转而分梯度处理特别是本节课的难点标记 的引入，按照yfx,A yfx从特殊到一般的原则，从便利、简洁、科学的角度加以阐释，区别于以往“一个定义，三项注意”灌输式讲解，可谓别开生面！结束语：概念教学的现实意义对于新课程，就广大一线教师而言有时是“矛盾”的，既想着贯彻新课程理念，又不得不面对高考甚至平时期末统考的压力但笔者觉得，这样的矛盾并非不可调和，机械的题海训练与优异的考试成绩不一定呈正相关，至少是以牺牲学生的大量时间为代价，并不可取其中， “轻负高质，有效教学”一个好的契合点就是对概念教学的把握，因为数学概念高度凝结着数学家的思维，是数学地认识事物的思想精华，蕴含了最丰富的创新教育素材，学生在学习数学概念时养成的思维方式、方法迁移能力也最强只要我们教师在概念教学上多做思考，返璞归真，在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目，长此积累，必将得到丰厚的收获！参考文献1 章建跃中学数学课改的十个论题中学数学教学参考，2010，3,4作者：王庆丰电话：(0)13989558213邮箱：地址：浙江省绍兴县山阴路 785 号柯桥中学数学组（312030）
