《高考数学导与练（理）-第四篇-平面向量-第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学导与练（理）-第四篇-平面向量-第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3节平面向量的数量积及平面向量的应用【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的数量积4平面向量的夹角与垂直1,3,9,14平面向量的模2,8平面向量数量积的综合问题7,10,11平面向量与其他知识的交汇5,6,12,13,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2016哈尔滨六中期中)已知向量m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),则等于(B)(A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1解析:由题意得m+n=(2+3,3),m-n=(-1,-1),因为(m+n)(m-n),所以(m+n)(m-n)=0(2+3,3)(-1,-1)=0,所以=-3.故选B.2.(2016长春外
2、国语学校检测)设向量a=(,1),b=(+2,1),若|a+b|=|a-b|,则实数的值为(C)(A)1(B)2(C)-1 (D)-2解析:因为向量a=(,1),b=(+2,1),所以a+b=(2+2,2),a-b=(-2,0),于是由|a+b|=|a-b|可得(2+2)2+22=2,解得=-1,故选C.3.(2016衡水中学调研)已知a,b是两个向量,|a|=1,|b|=2,且(a+b)a,则a,b的夹角为(C)(A)30(B)60(C)120(D)150解析:因为(a+b)a,所以a2+ab=0,所以ab=-1,所以|a|b|cos=-1,所以cos =-12,所以=120,故选C.4.(
3、2016兰州一中期中)设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,则a与b的数量积等于(D)(A)-72(B)-12(C)32(D)52解析:由已知可得a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),因为a+2b与2a-b平行,所以(-1+2m)3-(-2-m)4=0,解得m=-12.即b=(-12,1).所以ab=-1(-12)+21=52.故选D.5.(2016遵义校级期末)在ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边,设向量m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若mn,则角A的大小为(B)(A)6(B)3(C)2(D)23解析:因为m
4、n,所以mn=b(b-c)+(c+a)(c-a)=0,化为b2-bc+c2-a2=0,即b2+c2-a2=bc.所以cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.因为A(0,),所以A=3.6.(2016广东实验中学测试)在ABC中,已知向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)BC=0且AB|AB|AC|AC|=12,则ABC为(D)(A)三边均不相等的三角形(B)直角三角形(C)等腰非等边三角形(D)等边三角形解析:设BAC的角平分线为AD,则AB|AB|+AC|AC|=AD.由已知得ADBC,所以ABC为等腰三角形.又由AB|AB|AC|AC|=12得cosBAC=12,所
5、以BAC=60,所以ABC为等边三角形,故选D.7.已知点G为ABC的重心,A=120,ABAC=-2,则|AG|的最小值是(C)(A)33(B)22(C)23(D)34解析:设BC的中点为M,则AG=23AM.又M为BC中点,所以AM=12(AB+AC),所以AG=23AM=13(AB+AC),所以|AG|=13AB2+AC2+2ABAC.又因为ABAC=-2,A=120,所以|AB|AC|=4.所以|AG|=13AB2+AC2-4132|AB|AC|-4=23,当且仅当|AB|=|AC|时取“=”,所以|AG|的最小值为23,故选C.8.(2016江西临川一中期中)设a=(x,3),b=(
6、2,-1),若ab,则|2a+b|=.解析:因为ab,所以2x-3=0,解得x=32,所以|2a+b|=(232+2)2+(23-1)2=52.答案:529.(2016牡丹江一中月考)已知P,Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且P点的纵坐标为45,Q点的横坐标为513,则cosPOQ=.解析:由题意可得点P的坐标为(35,45),点Q的坐标为(513,-1213),则OP=(35,45),OQ=(513,-1213),由向量的夹角公式得cosPOQ=OPOQ|OP|OQ|=-3365.答案:-336510.导学号 18702229已知平面向量a=(1,x),b=
7、(2x+3,-x)(xR).(1)若ab,求x的值;(2)若ab,求|a-b|.解:(1)由ab得ab=0,故2x+3-x2=0,解得x=-1或x=3.(2)a-b=(-2x-2,2x),因为ab,所以x(2x+3)+x=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a-b=(-2,0),|a-b|=(-2)2+02=2.当x=-2时,a-b=(2,-4),|a-b|=22+(-4)2=25.综上,|a-b|为2或25.11.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|;(3)若AB=a,BC=b,求ABC的面积.解:(1)因为(2a-3b)(
8、2a+b)=61,所以4|a|2-4ab-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4ab-27=61,所以ab=-6.所以cos =ab|a|b|=-643=-12.又0,所以=23.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13,所以|a+b|=13.(3)因为AB与BC的夹角=23,所以ABC=-23=3.又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3,所以SABC=12|AB|BC|sinABC=124332=33.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016宁夏银川模拟)已知正三角形ABC的边长是3,D是BC上的点,BD=1,则A
9、DBC等于(B)(A)-92(B)-32(C)152(D)52解析:由余弦定理得AD2=32+12-231cos 60=7,所以AD=7,所以cosADB=1+7-9217=-714,所以ADBC=73cosADB=37(-714)=-32.故选B.13.导学号 18702232若a,b,c均为单位向量,ab=-12,c=xa+yb(x,yR),则x+y的最大值是(D)(A)1(B)3(C)2(D)2解析:因为ab=-12,c=xa+yb,所以c2=(xa+yb)2=(x2+y2)+2xy(-12)=x2+y2-xy=1,所以(x+y)2-3xy=1,即(x+y)2=3xy+13(x+y2)2
10、+1,所以(x+y)24,所以|x+y|2,故选D.14.(2016洛阳统考)已知A(-1,cos ),B(sin ,1),若|OA+OB|=|OA-OB|(O为坐标原点),则锐角=.解析:法一利用几何意义求解:由已知可知OA+OB是以OA,OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量OD,OA-OB则是对角线向量BA,于是对角线相等的平行四边形为矩形.故OAOB.因此OAOB=0,所以锐角=4.法二坐标法:OA+OB=(sin -1,cos +1),OA-OB=(-sin -1,cos -1),由|OA+OB|=|OA-OB|可得(sin -1)2+(cos +1)2=(-sin -1)2+(
11、cos -1)2,整理得sin =cos ,于是锐角=4.答案:415. 导学号 18702234在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),|OC|=1,且AOC=,其中O为坐标原点.(1)若=34,设点D为线段OA上的动点,求|OC+OD|的最小值;(2)若0,2,向量m=BC,n=(1-cos ,sin -2cos ),求mn的最小值及对应的值.解:(1)设D(t,0)(0t1),由题意知C(-22,22),所以OC+OD=(-22+t,22),所以|OC+OD|2=12-2t+t2+12=t2-2t+1=(t-22)2+12,所以当t=22时,|OC+OD|最小
12、,为22.(2)由题意得C(cos ,sin ),m=BC=(cos +1,sin ),则mn=1-cos2+sin2-2sin cos =1-cos 2-sin 2=1-2sin(2+4),因为0,2,所以42+454,所以当2+4=2,即=8时,Sin(2+4)取得最大值1.所以mn的最小值为1-2,此时=8.好题天天练导学号 18702235在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B),n=(cos B,-sin B),且mn=-35.(1)求sin A的值;(2)若a=42,b=5,求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影.解:(1)由mn=-35,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-35,所以cos A=-35,因为0Ab,所以AB,则B=4,由余弦定理得(42)2=52+c2-25c(-35),解得c=1,故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B=ccos B=122=22.
