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1、文硕考研教育文硕考研教育 1 2003 年考研数学（二）真题评注年考研数学（二）真题评注 一、填空题填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1） 若时， 与是等价无穷小，则 a= .0x1)1 ( 4 1 2 axxxsin （2） 设函数 y=f(x)由方程所确定，则曲线 y=f(x)在点(1,1)处的切线 4 ln2yxxy 方程是 . （3） 的麦克劳林公式中项的系数是 . x y2 n x （4） 设曲线的极坐标方程为 ，则该曲线上相应于从 0 变到的)0(aea2 一段弧与极轴所围成的图形的面积为 . （5） 设为 3 维列向量，是的转置
2、. 若，则 T 111 111 111 T = . T （6） 设三阶方阵 A,B 满足，其中 E 为三阶单位矩阵，若EBABA 2 ，则 . 102 020 101 AB 二、选择题二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设均为非负数列，且,则必, nnn cba0lim n n a1lim n n b n n clim 有 (A) 对任意 n 成立. (B) 对任意 n 成立. nn ba nn cb (C) 极限不存在. (D) 极限不存在. nn n ca lim nn n
3、 cb lim （2）设, 则极限等于dxxxa n n n n n 1 2 3 1 0 1 n n na lim (A) . (B) .1)1 ( 2 3 e1)1 ( 2 3 1 e (C) . (D) . 1)1 ( 2 3 1 e1)1 ( 2 3 e 文硕考研教育文硕考研教育 2 （3）已知是微分方程的解，则的表达式为 x x y ln )( y x x y y)( y x （A） (B) . 2 2 x y . 2 2 x y (C) (D) . 2 2 y x . 2 2 y x （4）设函数 f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有),( (A) 一个极小值点和
4、两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. y O x （5）设, 则 4 0 1 tan dx x x Idx x x I 4 0 2 tan (A) (B) . 1 21 II.1 21 II (C) (D) . 1 12 II.1 12 II （6）设向量组 I：可由向量组 II：线性表示，则 r , 21 L s , 21 L (A) 当时，向量组 II 必线性相关. (B) 当时，向量组 II 必线性相关.sr sr (C) 当时，向量组 I 必线性相关. (D) 当时，向量组 I 必线性相关.sr
5、 sr 三三 、 （本题满分（本题满分 10 分）分） 设函数 , 0 , 0 , 0 , 4 sin 1 , 6 , arcsin )1ln( )( 2 3 x x x x x axxe xx ax xf ax 文硕考研教育文硕考研教育 3 问 a 为何值时，f(x)在 x=0 处连续；a 为何值时，x=0 是 f(x)的可去间断点？ 四四 、 （本题满分（本题满分 9 分）分） 设函数 y=y(x)由参数方程所确定，求) 1( ,21 ln21 1 2 t du u e y tx t u . 9 2 2 x dx yd 五五 、 （本题满分（本题满分 9 分）分） 计算不定积分 . )1
6、( 2 3 2 arctan dx x xe x 六六 、 （本题满分（本题满分 12 分）分） 设函数 y=y(x)在内具有二阶导数，且是 y=y(x)的反函数.),()(, 0yxxy (1) 试将 x=x(y)所满足的微分方程变换为 y=y(x)满足的0)(sin( 3 2 2 dy dx xy dy xd 微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解. 2 3 )0(, 0)0(yy 七七 、 （本题满分（本题满分 12 分）分） 讨论曲线与的交点个数.kxyln4xxy 4 ln4 八八 、 （本题满分（本题满分 12 分）分） 设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点，其上
7、任一点 P(x,y)处的法线与 y 轴的) 2 1 , 2 2 ( 交点为 Q，且线段 PQ 被 x 轴平分. (1) 求曲线 y=f(x)的方程； (2) 已知曲线 y=sinx 在上的弧长为 ，试用 表示曲线 y=f(x)的弧长 s., 0ll 九九 、 （本题满分（本题满分 10 分）分） 有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕 y)0)(yyx 轴旋转而成的旋转曲面（如图） ，容器的底面圆的半径为 2 m. 根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，min/3 3 m 液面的面积将以的速率均匀扩大（假设注入液体前， min/ 2 m 容器内无液体）. (1) 根据 t 时刻液面的面积，写出
8、 t 与之间的关系式；)(y (2) 求曲线的方程.)(yx 文硕考研教育文硕考研教育 4 (注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 十十 、 （本题满分（本题满分 10 分）分） 设函数 f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且 若极限 . 0 )( x f 存在，证明： ax axf ax )2( lim (1) 在(a,b)内 f(x)0; (2) 在(a,b)内存在点，使 ； )( 2 )( 22 f dxxf ab b a (3) 在(a,b) 内存在与(2)中相异的点，使 b a dxxf a abf.)( 2 )( 22 十十 一、一、 （本题满分（
9、本题满分 10 分）分） 若矩阵相似于对角阵，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P 使 600 28 022 aA . 1 APP 十二十二 、 （本题满分（本题满分 8 分）分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为 ，: 1 l032cbyax ，: 2 l032acybx .: 3 l032baycx 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 . 0 cba 真真题题答案解析答案解析 1. 【分析分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知，反过来求 a. 1 sin )1 ( lim 4 1 2 0 xx ax x 文硕考研教育文硕考研教育 5 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价
10、代换进行化简. 【详解详解】 当时，.0x 2 4 1 2 4 1 1)1 (axax 2 sinxxx 于是，根据题设有 ，故 a=-4.1 4 1 4 1 lim sin )1 ( lim 2 2 0 4 1 2 0 a x ax xx ax xx 【评注评注】 本题属常规题型，完全类似例题见数学复习指南P.38 【例例 1.62】. 2 【分析分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可. 【详解详解】 等式两边直接对 x 求导，得 4 ln2yxxy ，yy x yxy 3 4 2 将 x=1,y=1 代入上式，有 故过点(1,1)处的切线方程为 . 1 ) 1
11、 ( y ，即 ) 1(11xy . 0 yx 【评注评注】 本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点，类似 例题见数学复习指南P.55 【例例 2.13】和【例例 2.14】. 3 【分析分析】 本题相当于先求 y=f(x)在点 x=0 处的 n 阶导数值，则麦克劳林公)0( )(n f 式中项的系数是 n x. ! )0( )( n f n 【详解详解】 因为 ，于是有2ln2xy 2 )2(ln2xy nxx y)2(ln2, )( L ，故麦克劳林公式中项的系数是 nn y)2(ln)0( )( n x. ! )2(ln ! )0( )( nn y nn 【评注评注】
12、 本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案. 4 【分析分析】 利用极坐标下的面积计算公式即可. dS )( 2 1 2 【详解详解】 所求面积为 dedS a 2 0 2 2 0 2 2 1 )( 2 1 =. 2 0 2 4 1 a e a ) 1( 4 1 4 a e a 【评注评注】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算 过程比较复杂. 完全类似例题见数学复习指南P.200 【例例 7.38】. 5 【分析分析】 本题的关键是矩阵的秩为 1，必可分解为一列乘一行的形式，而行 T 向量一般可选第一行（或任一非零行） ，列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.
13、 文硕考研教育文硕考研教育 6 【详解详解】 由=，知，于是 111 111 111 T 111 1 1 1 1 1 1 . 3 1 1 1 111 T 【评注评注】 一般地，若 n 阶矩阵 A 的秩为 1，则必有. 21 2 1 n n bbb a a a AL M 完全类似例题见数学复习指南P.389 【例例 2.11】和考研数学大串讲P.162 【例例 13】. 6 【分析分析】 先化简分解出矩阵 B，再取行列式即可. 【详解详解】 由知， EBABA 2 ，即 ，EABEA)( 2 EABEAEA)( 易知矩阵 A+E 可逆，于是有 .)(EBEA 再两边取行列式，得 ，1BEA 因为 , 所以 .2 002 010 100 EAB 2 1 【评注评注】 本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应 先化简再计算. 完全类似例题见考研数学大串讲P.160 【例例 11】. 二、选择题二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 7. 【分析分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除 (A),(B)； 而极限是型未定式
