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1、文硕考研教育文硕考研教育 1 2003 年考研数学(二)真题评注年考研数学(二)真题评注 一、填空题填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 把答案填在题中横线上) (1) 若时, 与是等价无穷小,则 a= .0x1)1 ( 4 1 2 axxxsin (2) 设函数 y=f(x)由方程所确定,则曲线 y=f(x)在点(1,1)处的切线 4 ln2yxxy 方程是 . (3) 的麦克劳林公式中项的系数是 . x y2 n x (4) 设曲线的极坐标方程为 ,则该曲线上相应于从 0 变到的)0(aea2 一段弧与极轴所围成的图形的面积为 . (5) 设为 3 维列向量,是的转置
2、. 若,则 T 111 111 111 T = . T (6) 设三阶方阵 A,B 满足,其中 E 为三阶单位矩阵,若EBABA 2 ,则 . 102 020 101 AB 二、选择题二、选择题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设均为非负数列,且,则必, nnn cba0lim n n a1lim n n b n n clim 有 (A) 对任意 n 成立. (B) 对任意 n 成立. nn ba nn cb (C) 极限不存在. (D) 极限不存在. nn n ca lim nn n
3、 cb lim (2)设, 则极限等于dxxxa n n n n n 1 2 3 1 0 1 n n na lim (A) . (B) .1)1 ( 2 3 e1)1 ( 2 3 1 e (C) . (D) . 1)1 ( 2 3 1 e1)1 ( 2 3 e 文硕考研教育文硕考研教育 2 (3)已知是微分方程的解,则的表达式为 x x y ln )( y x x y y)( y x (A) (B) . 2 2 x y . 2 2 x y (C) (D) . 2 2 y x . 2 2 y x (4)设函数 f(x)在内连续,其导函数的图形如图所示,则 f(x)有),( (A) 一个极小值点和
4、两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. y O x (5)设, 则 4 0 1 tan dx x x Idx x x I 4 0 2 tan (A) (B) . 1 21 II.1 21 II (C) (D) . 1 12 II.1 12 II (6)设向量组 I:可由向量组 II:线性表示,则 r , 21 L s , 21 L (A) 当时,向量组 II 必线性相关. (B) 当时,向量组 II 必线性相关.sr sr (C) 当时,向量组 I 必线性相关. (D) 当时,向量组 I 必线性相关.sr
5、 sr 三三 、 (本题满分(本题满分 10 分)分) 设函数 , 0 , 0 , 0 , 4 sin 1 , 6 , arcsin )1ln( )( 2 3 x x x x x axxe xx ax xf ax 文硕考研教育文硕考研教育 3 问 a 为何值时,f(x)在 x=0 处连续;a 为何值时,x=0 是 f(x)的可去间断点? 四四 、 (本题满分(本题满分 9 分)分) 设函数 y=y(x)由参数方程所确定,求) 1( ,21 ln21 1 2 t du u e y tx t u . 9 2 2 x dx yd 五五 、 (本题满分(本题满分 9 分)分) 计算不定积分 . )1
6、( 2 3 2 arctan dx x xe x 六六 、 (本题满分(本题满分 12 分)分) 设函数 y=y(x)在内具有二阶导数,且是 y=y(x)的反函数.),()(, 0yxxy (1) 试将 x=x(y)所满足的微分方程变换为 y=y(x)满足的0)(sin( 3 2 2 dy dx xy dy xd 微分方程; (2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解. 2 3 )0(, 0)0(yy 七七 、 (本题满分(本题满分 12 分)分) 讨论曲线与的交点个数.kxyln4xxy 4 ln4 八八 、 (本题满分(本题满分 12 分)分) 设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点,其上
7、任一点 P(x,y)处的法线与 y 轴的) 2 1 , 2 2 ( 交点为 Q,且线段 PQ 被 x 轴平分. (1) 求曲线 y=f(x)的方程; (2) 已知曲线 y=sinx 在上的弧长为 ,试用 表示曲线 y=f(x)的弧长 s., 0ll 九九 、 (本题满分(本题满分 10 分)分) 有一平底容器,其内侧壁是由曲线绕 y)0)(yyx 轴旋转而成的旋转曲面(如图) ,容器的底面圆的半径为 2 m. 根据设计要求,当以的速率向容器内注入液体时,min/3 3 m 液面的面积将以的速率均匀扩大(假设注入液体前, min/ 2 m 容器内无液体). (1) 根据 t 时刻液面的面积,写出
8、 t 与之间的关系式;)(y (2) 求曲线的方程.)(yx 文硕考研教育文硕考研教育 4 (注:m 表示长度单位米,min 表示时间单位分.) 十十 、 (本题满分(本题满分 10 分)分) 设函数 f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,且 若极限 . 0 )( x f 存在,证明: ax axf ax )2( lim (1) 在(a,b)内 f(x)0; (2) 在(a,b)内存在点,使 ; )( 2 )( 22 f dxxf ab b a (3) 在(a,b) 内存在与(2)中相异的点,使 b a dxxf a abf.)( 2 )( 22 十十 一、一、 (本题满分(
9、本题满分 10 分)分) 若矩阵相似于对角阵,试确定常数 a 的值;并求可逆矩阵 P 使 600 28 022 aA . 1 APP 十二十二 、 (本题满分(本题满分 8 分)分) 已知平面上三条不同直线的方程分别为 ,: 1 l032cbyax ,: 2 l032acybx .: 3 l032baycx 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 . 0 cba 真真题题答案解析答案解析 1. 【分析分析】 根据等价无穷小量的定义,相当于已知,反过来求 a. 1 sin )1 ( lim 4 1 2 0 xx ax x 文硕考研教育文硕考研教育 5 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价
10、代换进行化简. 【详解详解】 当时,.0x 2 4 1 2 4 1 1)1 (axax 2 sinxxx 于是,根据题设有 ,故 a=-4.1 4 1 4 1 lim sin )1 ( lim 2 2 0 4 1 2 0 a x ax xx ax xx 【评注评注】 本题属常规题型,完全类似例题见数学复习指南P.38 【例例 1.62】. 2 【分析分析】 先求出在点(1,1)处的导数,然后利用点斜式写出切线方程即可. 【详解详解】 等式两边直接对 x 求导,得 4 ln2yxxy ,yy x yxy 3 4 2 将 x=1,y=1 代入上式,有 故过点(1,1)处的切线方程为 . 1 ) 1
11、 ( y ,即 ) 1(11xy . 0 yx 【评注评注】 本题属常规题型,综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点,类似 例题见数学复习指南P.55 【例例 2.13】和【例例 2.14】. 3 【分析分析】 本题相当于先求 y=f(x)在点 x=0 处的 n 阶导数值,则麦克劳林公)0( )(n f 式中项的系数是 n x. ! )0( )( n f n 【详解详解】 因为 ,于是有2ln2xy 2 )2(ln2xy nxx y)2(ln2, )( L ,故麦克劳林公式中项的系数是 nn y)2(ln)0( )( n x. ! )2(ln ! )0( )( nn y nn 【评注评注】
12、 本题属常规题型,在一般教材中都可找到答案. 4 【分析分析】 利用极坐标下的面积计算公式即可. dS )( 2 1 2 【详解详解】 所求面积为 dedS a 2 0 2 2 0 2 2 1 )( 2 1 =. 2 0 2 4 1 a e a ) 1( 4 1 4 a e a 【评注评注】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算,也可化为参数方程求面积,但计算 过程比较复杂. 完全类似例题见数学复习指南P.200 【例例 7.38】. 5 【分析分析】 本题的关键是矩阵的秩为 1,必可分解为一列乘一行的形式,而行 T 向量一般可选第一行(或任一非零行) ,列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.
13、 文硕考研教育文硕考研教育 6 【详解详解】 由=,知,于是 111 111 111 T 111 1 1 1 1 1 1 . 3 1 1 1 111 T 【评注评注】 一般地,若 n 阶矩阵 A 的秩为 1,则必有. 21 2 1 n n bbb a a a AL M 完全类似例题见数学复习指南P.389 【例例 2.11】和考研数学大串讲P.162 【例例 13】. 6 【分析分析】 先化简分解出矩阵 B,再取行列式即可. 【详解详解】 由知, EBABA 2 ,即 ,EABEA)( 2 EABEAEA)( 易知矩阵 A+E 可逆,于是有 .)(EBEA 再两边取行列式,得 ,1BEA 因为 , 所以 .2 002 010 100 EAB 2 1 【评注评注】 本题属基本题型,综合考查了矩阵运算与方阵的行列式,此类问题一般都应 先化简再计算. 完全类似例题见考研数学大串讲P.160 【例例 11】. 二、选择题二、选择题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) 7. 【分析分析】 本题考查极限概念,极限值与数列前面有限项的大小无关,可立即排除 (A),(B); 而极限是型未定式